江苏省南京江北新区浦口外国语学校2025-2026学年九年级上学期数学12月月考试题

2025-2026第一学期九年级数学12月份评学单 班级： 姓名： 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在等题卡相应位置上) 1. 下列函数中，是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=x² D.y=x³+x²-1 2. 抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 第四题 第五题 第六题 3. 小明在演讲比赛中获得了9位评委打的分数，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么 下列统计量中一定不发生变化的是 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 如图，l1//l2//l3, 则下列比例式成立的是 A. B. C. D. 5. 如图是二次函数y=a²+bx+c的图像，当-1<x<2时 ，y 的取值范围是 A.-3<y<0 B.-3≤y <0 C.-4< y <0 D.-4≤y <0 6. 如图，矩形纸片ABCD,AB=15cm,BC=20cm, 先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪 开，再将三角形纸片ABC 沿着对角线AC 向下适当平移，得到三角形纸片A'BC',然后 剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径是 A.cm B.cm C.cm D.cm 二 、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写答题卡相应位置上) 7 . 若,则= 8. 二次函数y=x²-1的图象的顶点坐标是 9.已知C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC. 若AB=2, 则 AC 的长为 10. 一元二次方程x²+2mx+m=0 的两个根分别为x₁,x₂, 若 x₁+x₂=2, 则 x₁x₂= 11.已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF 面积的比为1:4.若AB=2, 则 DE的长为 12. 如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4,∠D=110°, 则AC的长为 第12题 第14题 13. 二次函数y=a(x-2)(x+4)的图象的对称轴是 14. 如图，l1//l2//l3, 若 AB=4,BC=6,AD=2,CF=8, 则BE 的长为 15. 如图，在四边形ABCD中 ，BC⊥CD,AB=BC,∠B=60°, 点 E 在边AB上，连接CE,将四边形ABCD 沿CE 折叠，使得B点落在D点处，连接DE, 则∠ADE= 第15题 第16题 16. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°, 点 D,E 分别在BC,AC 上 ，AD,BE 分别平分∠BAC,∠ABC,AD,BE相交于点 F, 过点D 作DG⊥AD, 且与AB,BE交于点G,H.若H 是 BF 中点,AG=,则DH的长为 三 、解答题(本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (8分)解方程： (1)x²+2x-1=0; (2)2x(x-1)=x-1. 18. (8分)某博物馆开设了A,B,C 三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆 . (1)甲从A 通道进入博物馆的概率是 (2)求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率. 学科网（北京）股份有限公司 19.(8分)某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下： 一月 二月 三月 四 月 五月 六月 七月 A品牌 16 31 29 24 24 24 20 B品牌 16 20 24 25 26 27 30 (1)A品牌洗衣机销售的众数是 ,中位数是 . (2)分别求这7个月A,B两种品牌洗衣机销量的方差； (3)由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B 两种品牌洗衣机以满足市场需求。请 你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出一条建议，并说明理由。 20. (8分)某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的路线是一条抛物线，铅球在离地 面0.5米高的A 处推出，推出后达到最高点B 时的高度是2.5米，水平距离是4米，铅 球在地面上点C 处着地. (1)根据如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式： (2)这个同学推出的铅球有多远? (第20题) 21. (8分)已知二次函数y=a²+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 0 -3 -4 -3 … ( 1 ) 该 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 是 ; ( 2 ) 方 程ax²+bx+c=0的根为 ; 22 . (8分)如图，△ABC的高BD,CE相交于点 H, 连接DE. 求证：(1)△BEH∽△CDH; (2)△DEH∽△CBH. (第22题) 2 3 . ( 8分 ) 二 次 函 数y=a²+bx+c的部分图象如图所示 .根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是 ; (2)二次函数图象与x 轴的交点坐标为 (3)b 0,c 0,a+b+c 0; (填>、<或=) ( 4 ) 当y<0时，x的取值范围 是 (第23题) 2 4 . ( 8 分 ) 如 图 ， 在 ⊙O 中 ，AB是直径，CD 与⊙O相切于点C,CD⊥AD, 垂 足 为D. (1)求证：∠ BAC=∠CAD; (2) 若AB=6,AC=5, 求 AD的长， (第24题) 25 . (8分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件。市场调 查反映：如果调整价格,一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件， (1)若某天的销售利润为2000元，则该商品销售价是多少? (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大为多少元? 26. (8分)下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型。 【认知】如图(1),已知点 E 是线段BC 上一点，若∠AED=∠B=∠C. 求证△ABE∽△ECD. (1) 【延伸】如图(2),已知点E、F 是线段BC上两点，AE 与 DF 交于点H, 若∠AHD=∠B =∠C. 求证△ABE∽△FCD. (2) 【应用】如图(3),⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点D 是BC 上一点，连接BD 并延长交AC 的延长线于点E, 连接CD 并延长交AB的延长线于点F. 猜想 BF,BC,CE 三条线段的关系，并说明理由. (3) 27. (8分)已知二次函数y=ax²+2ax-4(a为常数，且a≠0). ( 1 ) 若a>0, 求证：函数图像与x 轴总有两个公共点； ( 2 ) 若a< 当 0<x<2 时，求证y<0; ( 3 ) 当 - 4<x<1 时 ，y<0, 直接写出a 的取值范围 一、选择题答案 1. 答案：B 解析：二次函数定义为“形如y=ax²+bx+c(a≠0)的整式函数”。A是一次函数，C是分式函数，D是三次函数，仅B符合。 2. 答案：C 解析：抛掷一枚硬币只有“正面朝上”“反面朝上”两种等可能结果，正面朝上的概率为1/2。 3. 答案：B 解析：9位评委打分，去掉1个最高分和1个最低分后剩7个分数，中位数是第5个分数，与原数据的中位数一致，一定不变；平均数、众数、方差可能变化。 4. 答案：A 解析：∵ l₁//l₂//l₃，根据平行线分线段成比例定理，对应线段成比例，故。 5. 答案：D 解析：由二次函数图像可知，顶点坐标为(1,-4)（最小值），当x=-1和x=2时y=0，∴ -1<x<2时，-4≤y<0。 6.答案：A 解析：矩形AB=15cm，BC=20cm，对角线AC=25cm。平移后形成梯形A'BCD'，最大圆为梯形内切圆，际结合相似三角形性质，最终得半径r=cm。 二、填空题答案 7. 答案： 解析：设x=2k，y=3k，则。 8. 答案：(0,-1) 解析：二次函数y=x²-1为顶点式y=x²+0x-1，顶点坐标为(0,-1)。 9. 答案： 解析：黄金分割点AC>BC，AC=。 10. 答案：-1 解析：由根与系数的关系，x₁+x₂=-2m=2，解得m=-1，故x₁x₂=m=-1。 11. 答案：4 解析：相似三角形面积比=1:4，相似比=1:2，AB=2，故DE=2×2=4。 12. 答案：28π/9 解析：圆内接四边形∠D=110°，∴ ∠ABC=70°，弧AC对应的圆心角=140°，弧长=140×π×=。 13. 答案：x=-1 解析：二次函数y=a(x-2)(x+4)的对称轴为x=(2+(-4))/2=-1。 14. 答案：3 解析：∵ l₁//l₂//l₃，∴ ，即，解得BE=3。 15. 答案：30° 解析：∵ AB=BC，∠B=60°， ∴ △ABC为等边三角形，BC=AB=CD。折叠后△CBE≌△CDE，∠CDE=60°，∠BCD=90°， ∴ ∠ADC=150°，∠ADE=150°-120°=30°。 16. 答案： 解析：通过角平分线性质、相似三角形推导，H是BF中点，DG⊥AD，最终得DH=。 三、解答题答案 17. 解方程： (1) 解：x²+2x-1=0 配方法：x²+2x=1，x²+2x+1=2，(x+1)²=2，解得x=-1±。 (2) 解：2x(x-1)=x-1 移项得2x(x-1)-(x-1)=0，提取公因式(2x-1)(x-1)=0，解得x=1或x=。 18. 解： (1) 答案： 解析：3个安检通道，甲随机选择1个，概率为。 (2) 答案： 解析：甲有3种选择，乙有3种选择，总共有3×3=9种等可能结果。 甲、乙选择不同通道的结果有3×2=6种，故概率=。 19. 解： (1) 答案：24；24 解析：A品牌销量：16,20,24,24,24,29,31，出现次数最多的是24（众数），中间数为24（中位数）。 (2) 方差计算： - A品牌平均数：(16+20+24×3+29+31)÷7=164÷7≈23.43 方差：[(16-23.43)²+(20-23.43)²+3×(24-23.43)²+(29-23.43)²+(31-23.43)²]÷7≈22.9 - B品牌平均数：(16+20+24+25+26+27+30)÷7=168÷7=24 方差：[(16-24)²+(20-24)²+(24-24)²+(25-24)²+(26-24)²+(27-24)²+(30-24)²]÷7≈15.1 (3) 建议：采购B品牌洗衣机。 理由：B品牌销量呈上升趋势，且方差更小，销售更稳定，市场需求潜力大。 20. 解： (1) 抛物线表达式：y=(x-4)²+2.5 解析：∵ 顶点为(4,2.5)，设表达式为y=a(x-4)²+2.5。 代入A(0,0.5)：0.5=a×16+2.5，解得a=，故表达式为y= (x-4)²+2.5。 (2) 铅球推出距离：4+≈8.94米 解析：着地时y=0，即 (x-4)²+2.5=0，解得x=4±。 舍去负根，落地横坐标为4+，故推出距离为4+米。 21. 解： (1) 顶点坐标：(1,-4) 解析：由表格可知，x=0和x=2时y=-3，对称轴对称轴为x=1，对应y=-4，故顶点为(1,-4)。 (2) 方程的根：x₁=-1，x₂=3 解析：x=-1时y=0，由对称性，x=3时y=0，故根为-1和3。 22. 证明： (1) ∵ BD、CE是△ABC的高， ∴ ∠BEH=∠CDH=90°。 又∵ ∠BHE=∠CHD（对顶角相等）， ∴ △BEH∽△CDH（两角分别相等）。 (2) 由(1)知△BEH∽△CDH， ∴ ，即。 又∵ ∠DHE=∠CHB（对顶角相等）， ∴ △DEH∽△CBH（两边成比例且夹角相等）。 23. 解： (1) 对称轴：x=1 (2) 交点坐标：(-1,0)，(3,0) (3) 符号：b<0，c<0，a+b+c=0 (4) y<0时x的取值范围：x<-1或x>3 解析：由图像开口向上知a>0，对称轴x=1，故b=-2a<0；与y轴交于负半轴，c<0；x=1时y=0，故a+b+c=0。 24. 解： (1) 证明：连接OC。 ∵ CD是⊙O的切线， ∴ OC⊥CD。 又∵ CD⊥AD， ∴ OC//AD， ∴ ∠OCA=∠CAD。 ∵ OC=OA， ∴ ∠OCA=∠BAC， ∴ ∠BAC=∠CAD。 (2) 答案： 解析：∵ AB是直径， ∴ ∠ACB=90°。 由(1)知∠BAC=∠CAD，且∠ACB=∠ADC=90°， ∴ △ABC∽△ACD。 ∴ ，即，解得。 25. 解： (1) 销售价：30元或40元 解析：设涨价x元，利润y=(25+x-20)(250-10x)=2000。 即(5+x)(250-10x)=2000，整理得x²-20x+75=0，解得x=5或x=15。 销售价=25+5=30元或25+15=40元。 (2) 最大利润：2250元，对应售价35元 解析：利润y=-10x²+200x+1250，开口向下，顶点横坐标x=10。 销售价=25+10=35元，最大利润y=-10×10²+200×10+1250=2250元。 26. (1) ∵ ∠AED=∠B， ∴ ∠BAE+∠AEB=180°-∠B。 又∵ ∠AEB+∠DEC=180°-∠AED， ∴ ∠BAE=∠DEC。 ∵ ∠B=∠C， ∴ △ABE∽△ECD（两角分别相等）。 (2) ∵ ∠AHD=∠B， ∴ ∠AHF=180°-∠AHD=180°-∠B。 又∵ ∠BAE+∠AEB=180°-∠B，且∠AEB=∠AHF， ∴ ∠BAE=∠DFC。 ∵ ∠B=∠C， ∴ △ABE∽△FCD（两角分别相等）。 (3) 猜想：BC²=BF×CE 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠FBC=∠ECB=120°。 ∵ ∠F=∠E（同弧所对圆周角相等）， ∴ △FBC∽△ECB（两角分别相等）。 ∴ BF/BC=BC/CE，即BC²=BF×CE。 27. 证明与取值范围： (1) 证明：判别式Δ=(2a)²-4×a×(-4)=4a²+16a=4a(a+4)。 ∵ a>0，∴ Δ>0，故函数图像与x轴总有两个公共点。 (2) 证明：对称轴x=-1。 当a<0时，开口向下，在0<x<2上y随x增大而减小，x=0时y=-4<0； 当0<a<时，开口向上，x=2时y=8a-4<0，故0<x<2时y<0。 (3) 答案：a≤1/2且a≠0 解析：当a>0时，x=-4时y=8a-4≤0，x=1时y=3a-4≤0，解得0<a≤； 当a<0时，开口向下，顶点y=-a-4<0，满足-4<x<1时y<0，故a<0。 综上，a≤且a≠0。 $