4.7一元二次方程的应用 同步练习 2025--2026学年青岛版九年级数学上册

4.7一元二次方程的应用 答案 知识点一：一般图形问题 1．A 【分析】由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为， 则由题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 2．A 【分析】如果设这条底边长为xcm，那么高线就应该为（x-1）cm，根据梯形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：设这条底边长为xcm， 那么高线就应该为（x﹣1）cm， 根据梯形的面积公式得（x+3）（x﹣1）÷2＝16， 化简后得x2+2x﹣35＝0． 故选：A． 【点睛】此题要利用梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，主要根据梯形的面积公式列出方程． 3．D 【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程． 【详解】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m， 根据题意得：π（x+5）2=2πx2， 解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的面积计算及一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 知识点二：边框与甬道问题 1．A 【分析】运用平移的思想,设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程. 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得（62-x）（42-x）=2400． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 2．A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 知识点三：营销问题 1．D 【分析】由每件衬衫售价每降价元，每星期可以多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，进而由总利润单件利润数量，列出方程即可． 【详解】解：原来每件赢利元，每星期可以卖出件， 所以每件售价降价元后，利润为每件（）元． 每件衬衫售价每降价元，每星期可以多卖出件， 因为每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为． 根据题意得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出方程并检验结果是否符合题意是解题的关键． 本题可根据利润的计算公式列出方程，再结合利润限制条件求解，设每件商品的售价应定为元，则利润为元，根据要盈利元，列方程求解． 【详解】解：设每件商品的售价应定为元，则利润为元，由题意得， 整理得 解得： 当时， 每件商品的利润不得超过． 不符合题意，舍去． 故每件商品的售价应定为元． 故选：A． 3．（Ⅰ）当时，；当时， ；（Ⅱ）该单位共有30人去旅游． 【分析】（Ⅰ）根据旅游团人数分别写出不足25人和超过25人的函数关系式； （Ⅱ）首先判断出旅游团人数是否大于25人，再根据求出的函数关系式列出对应的方程求解． 【详解】解：（Ⅰ）当时，； 当时，，即． 综上：当时，；当时， ； （Ⅱ）因为，所以该单位组团旅游人数超过了25人．       解方程，        得：，．　          因为当时，人均旅游费用为：，不合题意．   答：该单位共有30人去旅游． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键以支付给旅行社的费用作为等量关系列方程求解，最后要注意舍去不符合题意的解． 4．（1）300+5x；（2）这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元. 【分析】（1）根据题意，即可得出降价后每天可售出的个数； （2）根据题意，设降低了x元，列出方程，求解即可. 【详解】（1）由题意，得 降价后每天可售出的个数是：300+5x， （2）设降低了x元 依题意，得：（200-100﹣x）（300+5x）=32000， 整理，得：x2﹣40x+400=0， 解得：x1=x2=20， 所以200-x=180＜200，符合题意， 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握，即可解题. 知识点四：循环问题 1．D 【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数（学生数）总握手次数，把相关数值代入即可求解 【详解】设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手次， ∴可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 2．B 【分析】设有n人参加聚会，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，每人送出件礼物，根据题意可列出方程为 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意建立一元二次方程是解题的关键． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设邀请x个球队参加比赛，则每个球队打场，再根据单循环赛形式和计划安排21场比赛即可列出方程求解，解题的关键在于得到正确的等量关系． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛，则每个球队打场， 但由于采用单循环赛形式，则需要除以2， 故可得方程， 解得（舍去）， 故的值为7， 故选：B． 4．B 【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有个足球队，比赛场次共有场，再根据共有场比赛活动来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加，依题意， ， 整理，得， ， 解得：，舍去； 即：共有个足球队参加比赛． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 知识点五：传播、分裂问题 1．C 【分析】第一轮分裂成x个细胞，第二轮分裂成个细胞，结合题意可得答案． 【详解】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到第二轮分裂后的等量关系是解决本题的关键，属于一元二次方程的应用的基础题，比较简单． 2．C 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 即 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 知识点六：数字问题 1．x2－7x＋12＝0 【分析】如果设其中一个数为x，那么另一个数为（6-x），根据乘积等于5，那么可列出方程． 【详解】设其中一个数为x，那么另一个数为（7-x）， ∵两个数的积为12， ∴x（7-x）=12， 整理得：x2-7x+12=0． 故答案是：x2-7x+12=0． 【点睛】考查一元二次方程的运用，解题关键是根据题意列出方程. 2． 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键，首先设较小的边长为，表示出其余两边长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设较小的边长为，则另一边长为，斜边长为， ∴， 解得（不合题意，舍去），， 故斜边长为， 故答案为：10． 3．81 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 设个位上的数为，则十位上的数为，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 知识点七：平均变化率问题 1．B 【分析】设2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为x，则3月份的自行车产量为辆，4月份的自行车产量为辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率为， ∴3月份自行车产量为辆， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 2． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年5月份的售价该款燃油汽车今年3月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 3．(1) (2)能，第四阶段水稻亩产量为公斤． 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据等量关系：第三阶段水稻亩产量第一阶段水稻亩产量（1+增长率），即可得出方程，进行解答． （2）利用求出的增长率，计算第四阶段水稻亩产量，进行对比即可解答． 【详解】（1）解：设水稻亩产量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 水稻亩产量的平均增长率为． 答：水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：（公斤）， ， 他们的目标能实现． 【点睛】本题考查了一元二次方程关于增长率的应用，找准等量关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7一元二次方程的应用 知识点一：一般图形问题 1．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 2．有一个面积为16cm2的梯形，它的一条底边长为3cm，另一条底边比它的高线长1cm．若设这条底边长为xcm，依据题意，列出方程整理后得（　　） A．x2+2x﹣35＝0 B．x2+2x﹣70＝0 C．x2﹣2x﹣35＝0 D．x2﹣2x+70＝0 3．如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（    ） A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m 知识点二：边框与甬道问题 1．如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米．则可列方程为（  ）    A． B． C． D． 2．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 知识点三：营销问题 1．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件赢利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到3125元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某商店以每件元的价格购进一批商品，根据规定，每件商品的利润不得超过．若每件商品的售价定为元，则可卖出件．如果商店预期要盈利元，那么每件商品的售价应定为（   ） A．20元 B．20.8元 C．20元或30元 D．30元 3．某旅行社为吸引市民组团去某新开发的风景区旅游，推出了如下收费标准：如果旅游团人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果旅游团人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．设旅游团人数为人． （Ⅰ）写出支付给旅行社费用（单位：元）关于的函数关系式； （Ⅱ）某单位组织员工组团去此风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少人去旅游？ 4．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元． （1）设销售单价降低了元，用含的代数式表示降价后每天可售出的个数是 ； （2）问这种电子产品降价后得销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？ 知识点四：循环问题 1．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（    ） A． B．n（n﹣1）＝30 C．30 D．n（n＋1）＝30 3．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环赛形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛，设应邀请个队参加比赛，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用个球场，每天每个球场共安排场比赛，若连续天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（    ） A．15支 B．16支 C．17支 D．18支 知识点五：传播、分裂问题 1．某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（    ） A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n 2．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　） A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81 C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 知识点六：数字问题 1．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程 . 2．已知直角三角形的三边长恰好是三个连续的偶数，则这个直角三角形的斜边长是 ． 3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 知识点七：平均变化率问题 1．某厂家2022年月份的自行车产量统计图如图所示，3月份自行车产量不小心被墨汁覆盖．若2月份到4月份该厂家自行车产量的月增长率都相同，则3月份自行车产量为（    ） A．218辆 B．240辆 C．256辆 D．272辆 2．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为 ． 3．“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $