4.7 第1课时 几何图形问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

4.7一元二次方程的应用 第1课时几何图形问题（答案37） 4.(2023·泰安新泰期末)将一条长28cm的铁 丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方 知识点几何图形问题 形，使这两个正方形的面积之和等于25cm2, 1.应用意识为了改善居民生活环境，某小区对 则其中较大正方形的边长为 cm. 一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多 5.应用意识》如图所示，有长为24m的篱笆，一 6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米， 面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间 根据题意，所列方程正确的是() 隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积 A.x(x-6)=720 B.x(x+6)=720 为45m的花圃，求AB的长 C.x(x-6)=360 D.x(x+6)=360 -10m 2.扬帆中学有一块长30m、宽20m的矩形 空地，计划在这块空地上划出的区域种花， 小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽 度.设花带的宽度为xm,则可列方程 为() 30m 用 x m 20 易错固忽略根的实际意义而致错 A.(30-x)(20-)=3 ×20×30 4 6.如图所示，在长为50m、宽为38m的矩形地面 内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草 B.(30-2.x)(20-x)=4×20×30 坪.要使草坪的面积为1260m2,道路的宽应 C.(30x+2×20x)=1×20X30 为多少？ 4 50m D.(30-2x)20-）-×20X30 38m 3.几何直观》如图所示，在长为100m、宽为 50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小 路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面 积是3600m2,则小路的宽是( A.5 m B.70m C.5m或70m D.10m -九年级上册·数学：QD 126 通能力》9>29999沙999》》9” 通素养 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 7.如图所示，将一块正方形空地划出部分区域进 10.探究拓展》如图所示，在Rt△ABC中，∠B= 行绿化，原空地一边减少了2m,另一边减少了 90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始 3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原 沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 正方形空地的边长是( 从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速 3m 度移动.当P,Q两点中有一点到达终点，则 同时停止运动. 20m2 d (1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那 么几秒后，△PBQ的面积为4cm? (2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那 A.10m B.9 m C.8m D.7m 么几秒后，PQ的长度等于5cm? 8.空间观念有一张长40cm、宽30cm的长方 (3)在(1)中的条件下，△PBQ的面积能否等 形硬纸片（如图①所示），截去四个全等的小正 于7cm2？说明理由. 方形之后，折成无盖的纸盒（如图②所示）.若 纸盒的底面积为600cm,则纸盒的高 为 ① ② 9.(2023·东营中考)如图所示，老李想用长为 70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够 长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上 留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成 一个面积为640m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请 你给出设计方案；如果不能，请说明理由 BEF 127 优计学案·课时通一当m=10时方程变为x2-22x十105=0， 当x=1时，有1+m-1=0,解得m=0; 解得x1=7,x2=15. .7+7<15,∴.不能构成三角形，舍去. 当x=3时，有9十3m-1=0,解得m=-8 3 当m=4时方程变为x2-10x十21=0， 解得x1=3,x2=7,3十7>7，此时能构成三角形， 故m的值为0或-三 三角形的周长为7+7+3=17. 14.解：(1).原方程有实根，.b2-4ac≥0， 18.解：(1)存在.，x1,x2是一元二次方程(a一6)x2+ ,.(-2)2-4(2k-1)≥0，..k1. 2ax十a=0的两个实根， /a6≠0， (2),x1,x2是方程的两根，∴.根据一元二次方程 1(2a)2-4(a-6)a≥0. 根与系数的关系，得x1十x2=2,x1·x2=2k一1. 解得a≥0且a≠6. 又2+=14-，·， 假设存在实数a,使-x1十x1x2=4十x2成立，则 x1·x2 4十(x1十x2）一x1x2=0, .(x1十x2)2-2x1x2=(x1·x2)2,22-2(2k 4+-2aa a-6a-6 =0,解得a=24.经检验，a=24 1)=(2服-1)，解得，= 2k2、⑤ 2 是原分式方程的解. .a=24满足a≥0且a≠6， ·≤1，=-5 2 .存在实数a,使一x1十x1x2=4十x2成立. 15.解：(1)存在.，a十B=k十3，a8=3k, .∴.a=24. (2)(x1+1)(x2+1)=(x1+x2)+x1x2+1= aB -31 -2a+a。+a-6--6, a6十a6a一6。-6，且。-6为负整数， a-6 :e+32 3k =3解得=3.经检验，k=3是分式方程 ∴.a-6>0且a-6≤6，即6<a≤12. 的解. 取a-7,8,9,10,11,12验证，可知当a=7,8,9,12 时，一6均为负整数且满足(1)中a≥0且a≠6的 当=3时，4=0，∴存在实数k=3,使十】=名 a B 3 a-6 成 条件， (2)解方程x2一(k+3)x十3k=0,得a=,B=3. ∴.使(x1十1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值 为7,8,9,12. 当4为斜边时，a2+B2=42,即k2+32=16, 阶段检测七（4.5~4.6) 解得k1=√7,2=一√7（舍去）， 1.C2.C3.D4.C5.B6.D7.B 此时Rt△ABC的周长为4+3+√7=7+√7； 8.-129.710.6 当4为直角边时，42+B2=a2, 11.解：设此方程的两个根是&，3， 即16+32=k2, 根据题意，得a十8=-6=8十2=10， 解得k1=5,k2=一5（舍去），此时Rt△ABC的周长 a 为4+3+5=12. g=C=(-9)X(-1)=9, 综上所述，Rt△ABC的周长为7+√7或12. 4.7一元二次方程的应用 则以a,B为根的一元二次方程是x2一10x十9=0. 第1课时几何图形问题 12.解：(1)证明：△-[-(2m-1)]2-4×1×1.A2.D3.A4.4 (-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m= 5.解：设AB的长为xm,则BC的长为(24一3x)m. 16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， 依题意，得x(24-3x)=45, ,.无论m为何值，方程总有实根. 整理，得x2-8x+15=0, （2)由题意，知x1十x2=2m一1，x1x2= 解得x1=3,x2=5. -3m2+m. 当x=3时，BC=24-9=15>10不成立， z2+21=x十x_(x1+x2) x1x2 -2--5 当x=5时，BC=24-15=9<10成立. 2 答：AB的长为5m. (2m-1)2 6.解：设道路的宽应为xm.根据题意，得 -2= 6 (50-2x)(38-2x)=1260. -3m2+m ,整理，得5m2-7m+ 解得x1=4,x2=40(不合题意，舍去. 2=0, 所以x=4. 解得m=1或m=号经检验，m=1或m=号是原 答：道路的宽应为4m. 7.D8.5cm 方程的根，且符合题意，故m的值为1或5 9.解：(1)设矩形ABCD的边AB长为xm,则边BC 长为70-2x+2=(72-2x)m 13.解：(1)一元二次方程(k一2)x2-4x+2=0有两 根据题意，得x(72一2x)=640 个不相等的实根， 化简，得x2一36x+320=0. 信--x4-x2>0. 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40(cm); 解得k<4且k≠2. 当x=20时，72-2x=72-40=32(cm). (2)结合(1)可知=3， 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 .方程可化为x2一4x十3=0， 为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈. .(x-1)(x-3)=0, (2)不能.理由如下： 解得x1=1,x2=3. 由题意，得x(72-2x)=650. 化简，得x2-36x+325=0: 9.解：设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利(40一x)元 △=(-36)2-4X325=-4<0, .一元二次方程没有实根. 平均每天可售出20+号×10=(20+5x)个， .羊圈的面积不能达到650m2 依题意，得(40-x)(20+5x)=1440. 10.解：(1)设x秒后，△BPQ的面积为4cm,此时 整理，得x2-36x十128=0. AP=x cm,BP=(5-x)cm,BQ-2x cm, 解得x1=4,x2=32(不符合题意，舍去). 由2BP·BQ=4,得2(5-x)X2z=4, 答：每个“冰墩墩”应降价4元 10.解：(1)设车厘子的进价是每千克x元， 整理，得x2-5x十4=0， 依题意，得16×200十18×100一(200十100)x=3200, 解得x1=1,x2=4. 解得x=6. 当x=4时，2x=8>7,说明此时点Q越过点C,不 答：车厘子的进价是每千克6元： 符合题意，舍去.故x-1. (2)设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销 答：1秒后，△PBQ的面积为4cm2. 量为100+20，'×10)千克， (2)设t秒后PQ的长度等于5cm,此时AP 2 t cm,BP=(5-t)cm,BQ 2t cm,BP2+ 依题意，得20×100+y·（100+20,y×10) BQ2=52,得(5-t)2+(2t)2=52, 2 整理，得t2-2t=0, 6×300=2020. 解得t1=0(舍去)，t2=2. 整理，得y2-40y十364=0. 所以2秒后，PQ的长度等于5cm. 解得y1=14,y2=26(不合题意，舍去)， (3)不可能.理由： 没售完的车厘子共有300-100-（100+20，y× 2 假设y秒后，△PBQ的面积等于7cm2,则根据题 意，得合6-y)X2y=7, 10)=300-10-(10+20,14×10)=70(千克. 2 整理，得y2-5y+7=0. 答：没售完的车厘子共有70千克， ,△=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0, 第3课时增长率问题 1.B2.D3.A .方程没有实根， ∴.△PBQ的面积不可能等于7cm2. 4.301(1+x)2=5005.20%6.10% 7.解：设2021年到2023年该校购书费用的年平均增 第2课时销售问题 长率为x,根据题意，得5000(1+x)2=7200: 1.C2.40 解得x1=0.2,x2=一2.2（不合题意，舍去） 3.解：(1)由题意，得50十x-40=x+10. 答：2021年到2023年该校购书费用的年平均增长 (2)由已知，得(x+10)(400-10x)=6000. 率为20%. 整理，得x2-30x十200=0. 8.解：(1)设2021年到2023年该村人均收入的年平均 解得x1=10,x2=20. 增长率为x, 进货量较少，x=20, 根据题意，得20000(1十x)2=24200, .定价为20+50=70（元），进货量为400一10x= 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 400-200=200(个). 答：2021年到2023年该村人均收入的年平均增长率 答：当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货 为10%. 量为200个. (2)24200×(1+10%)=26620(元). 4.B5.26.5 答：预测2024年该村的人均收入是26620元. 7.解：(1)设每件售价应定为x元，则每件的利润为 9.A10.15% （x-40)元，日销售量为20+10(60-x) =(140 11.解：(1)450+450×12%=504（万元）. 5 答：该商店去年“十一”黄金周这七天的总营业额为 2x)件， 504万元. 依题意，得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20. (2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为 整理，得x2一110x十3000=0. x,依题意，得350(1十x)2=504. 解得x1=50,x2=60(舍去). 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. 答：该商店去年8,9月份营业额的月增长率 (2)该商品需要打a折销售， 为20%. 由愿意，得62.5×0≤50， 12.解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x,依题 意，得200(1-x)2=128. 解得a8. 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去). 答：该商品至少需打8折销售， 答：该种商品每次降价的百分率为20%. 8.解：.1200>10×80=800，.设购买了x(x>10)件 (2)设每件商品应降价x元，根据题意，得 这种服装.根据题意，得 (128-80-x)(20+5x)-100=1475. [80-2(x-10)]x=1200. 解得x1=41,x2=3. 解得x1=20,x2=30. ·在降价幅度不超过10元的情况下， 当x=20时，80-2(20-10)=60（元），60>50，符合 x=41不合题意，舍去.x=3. 题意； 答：每件商品应降价3元. 当x=30时，80-2(30-10)=40（元），40<50，不合 13.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题 题意，舍去 意，得128+128(1+x)+128(1+x)2=608. .小颖购买了20件这种服装。 化简，得4x2+12x一7=0. 38