4.7一元二次方程的应用 同步习题 2025-2026学年青岛版数学九年级上册

4.7一元二次方程的应用 同步习题 一、单选题 1．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 3．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 4．某外贸公司受全球金融危机影响，今年五月份销售额为万元，从六月份起经济有所复苏，销售额逐月上升，七月份销售额达到万元．则该公司六、七两月份销售额平均增长率为（ ） A．10% B．20% C．19% D．25% 5．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(    ) A．x(x+1)= 110 B．x(x-1)= 110 C．x(x+1)=110×2 D．x(x-1)= 110×2 6．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　） A．1+x+x（1+x）＝225 B．1+x2＝225 C．2（1+x）＝225 D．1+（1+x2）＝225 8．如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．列一元二次方程解用用题的一般步骤： （1）审题，明确已知和未知； （2）找相等关系，设未知数； （3） ； （4） ； （5）检验根的合理性； （6）作答． 10．一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为 ． 11．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 ． 12．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为 . 13．某西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低 元． 14．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为 三、解答题 15．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽． 16．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？ 17．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 18．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B B C A B 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为， 可列方程为， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），熟练掌握公式（为初始量，为增长率或下降率，为变化后的量）是解题的关键．本题是一道关于增长率（下降率）的应用题．解题的关键在于设出年平均下降率，根据2023年和2025年药剂的价格列出方程，然后求解方程并检验得到符合条件的解． 【详解】解：设2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为． ∵2023年药剂价格为元，经过两年下降到2025年的元，第一年下降后的价格为元，第二年在第一年下降后的价格基础上再下降，价格为元． ∴可列方程． 方程两边同时除以可得：． ∴． 当时，； 当时，(舍去)， 故选：A． 4．B 【分析】设增长率是x，则六月份的销售额是万元，第七月份的销售额是万元，据此即可列出方程从而求解． 【详解】解：设该公司六、七两月份销售额平均增长率为x，则 解得x=0.2=20%，x=−2.2(舍去)， ∴该公司六、七两月份销售额平均增长率为20%， 故选B． 【点睛】本题主要考查百分率的问题，应理解“价格上调”的含义．一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）． 5．B 【详解】全组有x名同学， 则每名同学所赠的标本为：（x-1）件， 那么x名同学共赠：x（x-1）件， 所以，x（x-1）=110， 故选B． 6．C 【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】设共有x个班级参赛，根据题意得： =15， 解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系准确的列出方程． 7．A 【分析】根据每人传染人数，算出每轮增加的人数，再求和即可； 【详解】第一轮传染以后会增加x人，共有1+x人感染，1+x人每人传染x人，第二轮会增加（1+x）x，所以两轮以后共有1+x+x(1+x)人，根据题意可列方程1+x+x(1+x)=225 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程解决问题，掌握知识并熟练使用，找到题中的等量关系并根据等量关系列出对应方程是本题的解题关键． 8．B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 9． 列方程 解方程 【解析】略 10．或 【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为()． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为25或36． 11．40% 【详解】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x， 由题意得， ， 解得：x=0.4或x=-2.4（不合题意舍去）， 即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%． 故答案为40%． 12．(无需写成一般式) 【分析】根据AD=xm，就可以得出AB=38-x，由矩形的面积公式结合矩形是“优美矩形”就可以得出关于x的方程. 【详解】∵AD=xm，且AB大于AD， ∴AB=38-x， ∵矩形ABCD是“优美矩形”， ∴ 整理得：. 故答案为. 【点睛】考查了根据实际问题列一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 13．或 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-x），由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为:200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元． 根据题意，得[（3-2）-x]（200+）-24=200． 原式可化为：50x2-25x+3=0， 解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3． 故应将每千克小型西瓜的售价降低0.3或0.2元． 故答案为0.3或0.2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 14． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道进出口的宽度为，利用平移性质的应用得到种植花草的实际图形的面积就是长、宽分别为、新矩形的面积，由种植花草的面积为，即可列出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．根据题意得到种植花草的实际图形是一个新矩形是解题的关键． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， ， 整理，得：． 故答案为：． 15． 【分析】设道路的宽为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 16．这个两位数是36或25. 【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)， 由题意，得x2=10(x-3)+x. 解得x1=6，x2=5. 当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2. 答：这个两位数是36或25. 17．(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 18．(1)6米 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为， 则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ， ∴的长为 6 米； （2）解：不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $