精品解析：安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024级高二第一学期第二次质检数学试卷 命题人：左华 梁晋文 审题人：张楠 满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的标准方程，再求抛物线的准线方程． 【详解】抛物线的标准方程为， 抛物线的准线方程为． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用． 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式一一计算即可. 【详解】因为，， 所以，，，. 故选：A 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 5. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先确定三棱锥的底面积和高，再根据三棱锥的体积公式进行计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中， 为坐标原点，，， 可以看出,即两两互相垂直， 以为底面，为高，则, 根据三棱锥的体积公式可得. 故选：. 6. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线过定点与图形可得答案. 【详解】曲线即表示如图所示的半圆， 又过定点：. 当与半圆相切时，圆心到直线距离为1，则， 当直线过如图点时，斜率为：， 则实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有 ① 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ② 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可. 【详解】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确. 故选：BD 10. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，等体积法即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为,故与不垂直，故A错误； 对于B：， ， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：, 若存在实数使得，则， 即，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接代入即可判断；对B，化简得，再结合对勾函数的单调性即可判断数列单调性；对C，利用裂项求和法即可判断；对D，利用不等式性质进行放缩即可. 【详解】对A，，令得，即，解得，故A正确； 对B，，，由，可得，则，根据对勾函数性质知在上单调递增， 且，当且仅当时等号成立， 则在上单调递减，则为递减数列，从而，故B正确； 对C，由得， ，故C正确； 对D，因为，且，， ，结合，则，故D不正确， 故选：ABC． 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________． 【答案】##2.4 【解析】 【分析】利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】由题意不妨设，则， 所以两平行线，之间的距离. 故答案为： 13. 已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知数列是首项为10，公差为的等差数列，求出前n项和，转化为求函数的最大值问题即可. 【详解】当时，，且， 所以，数列是首项为10，公差为的等差数列， 则数列的前n项和为， 因，故当时，取得最大值18． 故答案为：． 14. 已知直三棱柱，，且，过作平面，使，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共面的性质，通过设未知数建立方程组求解； 【详解】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设，则， 由题得共面，则设， 即， 则， 所以得，则，所以． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1） （2）或21 【解析】 【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可. （2）首先由得公比，结合得公差，由此即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由得：，解得（舍去），，于是. 【小问2详解】 由得，解得或. 当时，由得，∴； 当时，由得，∴， 综上所述，故或21. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）求数列满足,求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 由题意，，则前项中： 奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则： 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（）， 则： 因此前项和为： . 故. 由（1）知，，因为， 所以，整理得： 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾. 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项； （2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列），再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可； （3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可. 【小问1详解】 解：由数列满足， 当时，， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：； 故答案为：. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值． （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得， 整理得， 设点，由韦达定理得， ， ，，， ， 为定值，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质求出，利用离心率求出，进而求出，从而求出椭圆的标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合三角形面积公式得出面积表达式，进而求出面积最大值； （3）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率关系求出的值，从而证明结论． 【小问1详解】 的周长为，由椭圆的性质可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， ，解得，， ，， 椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 设过点的直线的方程为，联立椭圆方程得， 整理得， 设点，由韦达定理得， ， 令，则， ，令，求导得，， ，，函数单调递减， 当时取得最大值，最大值为， 的最大值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期第二次质检数学试卷 命题人：左华 梁晋文 审题人：张楠 满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（　　） A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 10. 在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 11. 已知数列满足则（ ） A. B. C. D. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________． 13. 已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于________ 14. 已知直三棱柱，，且，过作平面，使，，若，则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）求数列满足,求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的最大值． （3）记直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $