第五章 对函数的再探索 章末复习2025-2026学年青岛版数学九年级下册

第五章章末复习 考点一：函数的表示方法及其自变量的取值范围 1．函数y＝中，自变量x的取值范围 A．x≥－1 B．x>2 C．x>－1且x≠2 D．x≥－1且x≠2 2．函数中自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 考点二：反比例函数的图象和性质 1．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x＞0）、y=（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 2．已知点（-1，y1），（-2，y2），（3，y3）在反比例函数的图象上，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若ab＜0，则函数y＝ax与y＝在同一坐标系内的图象大致可能是如图中的（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为 ． 5．如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则= ． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，，且点的横坐标是该点纵坐标的2倍．该一次函数与轴交于点，与轴交于点． （1）求点的坐标及一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 考点三：二次函数的图象和性质 1．关于抛物线y＝－x2－2x＋3，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标是（－1，4） C．当x≥－1时，y随x的增大而增大 D．对称轴是直线x＝－1 2．函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四：确定函数表达式 1．如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为 ． 2．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式． 3．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 考点五：函数与方程、不等式 1．如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于、两点，则不等式的解集为（   ） A．或 B． C． D．或 2．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 则在实数范围内能使得y﹣5＜0成立的x的取值范围是 ． 3．如图，已知点，是一次函数图潒与反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量x的取值范围________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 考点六：函数的应用 1．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米. 2．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长米，篱笆长米．设垂直于墙的边长为米． (1)平行于墙的边为____米，围成的矩形面积为____平方米．（用含的代数式表示） (2)围成的矩形花圃面积能否为平方米，若能，求出的值；若不能，请说明理由． 3．为建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克，若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克元，日销量为千克． (1)求与之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 4．有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章章末复习 答案 考点一：函数的表示方法及其自变量的取值范围 1．D 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足．，所以自变量的取值范围是且 考点：函数的定义域 2．D 【分析】考虑二次根式有意义的条件以及分式有意义即可得到自变量的取值范围. 【详解】要使函数有意义，则且， 解得且. 故选：D. 考点二：反比例函数的图象和性质 1．A 【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到×|3|+•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值． 【详解】连接OC、OB，如图， ∵BC∥x轴， ∴S△ACB=S△OCB， 而S△OCB=×|3|+•|k|， ∴×|3|+•|k|=2， 而k＜0， ∴k=﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 2．B 【分析】先根据反比例函数中，﹣k2﹣1＜0判断出此函数所在的象限及在每一象限内的增减性，再根据A、B、C三点的坐标及函数的增减性即可判断． 【详解】∵反比例函数中，﹣k2﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． ∵3＞0＞﹣1＞﹣2，∴A、B在第二象限，点C位于第四象限，∴y1＞y2＞0＞y3． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质及每一象限内点的坐标特点是解答此题的关键． 3．B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：∵， ∴分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，根据题意进行分情况讨论，准确掌握函数图象的性质是解题的关键． 4． 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标． 5． 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点的坐标为，则，先根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，又根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，，再根据反比例函数的解析式可得，从而可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ，， ，， 轴，轴， ， ， ，即， ， 又轴，轴， ， ， ，即， 解得，， 将代入反比例函数得：， ， ， 由得：， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 6．（1）点的坐标为，一次函数的解析式为；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据点的横坐标是点的纵坐标的2倍，且，结合勾股定理，即可求出点的坐标，代入从而求出的值，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，由直线求得的坐标为，根据求得即可； （3）观察函数图象，根据、点的坐标即可求得． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点，在中，设，， ， ， 点的坐标为， 把代入得，， 设一次函数的解析式为：，把代入得：， 一次函数的解析式为； （2）由得点坐标为， 由直线可知，点坐标为，， ， ； （3）由图象可知，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用分割图形求面积法求出的面积；（3）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集． 考点二：二次函数的图象和性质 1．C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线y＝－x2－2x＋3＝−（x＋1）2+4， ∴该函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意， 顶点坐标是（-1，4），故选项B正确，不符合题意， 当x≥－1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，符合题意， 对称轴是直线x=﹣1，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，把二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质解答． 2．C 【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：当a>o时，函数的图象位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，没有符合的选项； 当a<o时，函数的图象位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，C选项符合． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.． 3．B 【分析】根据二次函数图像与系数之间的关系逐一判断，选出正确答案，根据A、B两点的值，确定二次函数解析式中a、b、c的关系，以此判断①、②结论，根据二次函数图像性质与平移法则，判断③、④结论． 【详解】解：①2a﹣b＝0， ∵根据A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， ∴，， ∴①2a﹣b＝0，此结论不正确； ②（a+c）2＜b2 ∵根据A（﹣1，0），B（3，0）， ∴，， ∴，， ∴将b、c代入（a+c）2＜b2可得： ， 整理可得：， ∴②（a+c）2＜b2，此结论不正确； ③当﹣1＜x＜3时，y＜0，从函数图像观察，此结论正确； ④∵当a＝1时，将A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数，可得， 化成顶点式：， 将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴根据平移法则，函数解析式为：， ∴④结论正确； 综上，正确结论有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练运用二次函数图像与系数关系是解题关键． 考点四：确定函数表达式 1． 【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可． 【详解】设A坐标为（x，y）， ∵B（3，-3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC， ∴x+5=0+3，y+0=0-3， 解得：x=-2，y=-3，即A（-2，-3）， 设过点A的反比例解析式为y=， 把A（-2，-3）代入得：k=6， 则过点A的反比例解析式为y=， 故答案为y=. 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（1）y；（2）yx+4． 【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得； (2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案． 【详解】(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为y； (2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)， ∵反比例函数y的图象经过点B(a，b)， ∴b， ∴AD＝3， ∴S△ABCBC•ADa(3)＝6， 解得a＝6， ∴b1， ∴B(6，1)， 设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得 ，解得：， 所以直线AB的解析式为yx+4． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键． 3．(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 考点五：函数与方程、不等式 1．A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集是或． 故选：A． 2．﹣2＜x＜4 【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=5的自变量x的值即可． 【详解】∵x=0，x=2的函数值都是−3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=1， ∵x=−2时，y=5， ∴x=4时，y=5， 根据表格得，自变量x<1时，函数值逐点减小，当x=1时，达到最小，当x>1时，函数值逐点增大， ∴抛物线的开口向上， ∴y−5＜0成立的x取值范围是﹣2＜x＜4. 故答案为：﹣2＜x＜4. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质. 3．(1)； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法确定函数解析式；解题的关键是求出表达式． （1）把代入反比例函数，得出的值，然后求出，再把，代入一次函数的解析式，运用待定系数法求其解析式； （2）根据图象，分别观察交点的哪一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴这个反比例函数的解析式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵点，在一次函数图象上， ∴． ∴． ∴一次函数解析式； （2）解：由图象可得，当或时，直线在双曲线下面 ∴当时，自变量x的取值范围或． 考点六：函数的应用 1．0.5 【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1) 设函数解析式为y=ax2+bx+c 把A. B. C三点分别代入得出c=2.5 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5. ∵2>0 ∴当x=1时,ymin=0.5米． 2．(1)， (2)能， 【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用的实际应用： （1）根据及矩形的性质即可求解； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ． 【详解】（1）解：∵篱笆长米， ∴， ∵四边形是矩形，长为米， ∴， ∴平行于墙的边为米，围成的矩形面积为平方米， 故答案为：，； （2）解：∵墙长米， ∴， 解得，， 当， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴． 3．(1) () (2)当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用． （1）根据销售价与日销量的线性关系求函数表达式，并考虑日销量非负和成本价确定自变量取值范围． （2）先建立销售利润与销售价的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：根据题意，当销售价为26元时，日销量为32千克，销售价每增加1元，日销量减少2千克 ∴ ， 日销量，即，解得． 又（成本价）， ∴ 与的函数关系式为 ()． （2）每天的销售利润． 代入，得． ∵ ， ∴ 有最大值． 当时，最大， 最大利润． ∴ 当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元． 4．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴ 解得： ∴ （2）解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米 学科网（北京）股份有限公司 $