精品解析：江苏省宿迁市宿豫区三校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次调研监测 九年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 有一组数据分别为：，，，，；已知这组数的平均数为，那么这组数据的中位数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是掌握相关知识点．根据平均数的定义求出的值，再将数据排序后确定中位数． 【详解】解：平均数为， ， ， 数据为：，，，，， 排序后为：，，，，， 这组数据的中位数是， 故选：C． 2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 3. 如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角的定理求出的度数，可得的度数，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据有两角对应相等的三角形相似和由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可． 【详解】解：A、若，，则，故此选项不符合题意； B、即，，则，故此选项不符合题意． C、若，其夹角不相等，则不能判定，故此选项符合题意； D、若，，则，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知三个点都在二次函数(k为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线开口向下，则抛物线上的点越远离对称轴，则函数值越小求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点越远离对称轴，则函数值越小， ∵，，， ∴ 故选：A． 6. 下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握相似三角形的定义，圆周角定理 ，垂径定理． 【详解】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，此选项正确，故符合题意； （2）全等的三角形是相似三角形，相似比为1，此选项正确，故符合题意； （3）两条弦相等，它们所对的弧不一定相等，因为弦对两条弧，由可能是弦一个对优弧，一个对劣弧，此选项错误，故不符合题意； （4）等弧所对的圆心角相等，此选项正确，故符合题意， 故选：B． 7. 如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，分别根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，以及一次函数经过的象限判断出a的符号以及对称轴的位置，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，即，一次函数经过第一、二、三象限，则，即，互相矛盾，不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，即，互相矛盾，不符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴为直线，即，一次函数经过第二、三、四象限，则，即，互相矛盾，不符合题意； D、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，即，一次函数经过第二、三、四象限，则，即，符合题意； 故选：D． 8. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（ ） A. ①② B. ③④ C. ④⑤ D. ③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当时，得，当时，，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；由抛物线的对称轴为直线：，可得，结合，即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴的右侧，a与b异号， ∴， ∵与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则． ∴，故②错误； ∵当时，．即．故③正确； ∵时函数有最大值， ∴当时的y值大于当时的y值， 即 ∴成立，故④正确． ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴，故⑤错误． 综上：③④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．） 9. ⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是_____． 【答案】相切． 【解析】 【分析】根据题意可得半径r=4，根据d=r，可判断直线l与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的直径为8， ∴半径=4， ∵圆心O到直线l的距离为4， ∴圆心O到直线l的距离=半径， ∴直线l与⊙O相切． 故答案为相切． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练运用切线的判定是本题的关键． 10. 甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是_______班． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，令，求出的值即可求出抛物线与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线中，当，， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 13. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 14. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称， 又， ∴函数的解析式为：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 17. 若函数的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据二次函数和一次函数图像的性质分析计算即可解答；掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】解：①当时函数是二次函数， ∵函数的图像与坐标轴有2个公共点，且它与y轴交于点，∴它与x轴只有一个交点， ∴，解得：或； ②当时，由函数可得：是一次函数， ∴它与y轴交于点，与x轴交于点，即图像与坐标轴有两个交点， 综上，或或时，函数的图像与坐标轴有2个公共点． 故答案为：或或． 18. 如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接，利用勾股定理求出和的长，当点在的延长线上时，的长度最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 的半径为4， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 当点在的延长线上时，的长度最小，最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题10题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 解得：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵， ∴． 21. 甲乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9． （1）填写表格： 平均数　 众数　 中位数　 方差　 　甲 　8 　　 　8 　0.4 　乙 　　 9 　　 　3.2 （2）根据这5次成绩，教练应选择　　参加射击比赛． （3）如果乙再射击一次，命中8环，请计算现在乙射击成绩的方差． 【答案】（1）8，8，9；（2）甲；（3） 【解析】 【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解； （2）根据平均数相同的情况下，方差越小，发挥越稳定，即可得出答案； （3）根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，直接代值计算即可． 【详解】解：（1）甲的环数中8出现了3次，最多，甲的众数为8，乙的平均数（5+9+7+10+9）＝8，乙的环数从小到大排列为：5， 7，9，9，10．乙的中位数为9； 故答案为：8，8，9； （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； 故答案为：甲； （3）因为乙的平均数是8，如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击平均数还是8， 所以乙射击成绩的方差是：[（5﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2]． 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差和根据数据进行选择，解题关键是明确相关定义，准确进行计算． 22. 已知是y关于x的二次函数． （1）求证：无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的顶点在坐标轴上，试确定k的值． 【答案】（1）见解析； （2）0或6． 【解析】 【分析】（1）计算出的表达式，计算出其值为非负数即可证明； （2）需要分类讨论：顶点在x轴和y轴上两种情况； 【小问1详解】 当时，，由于 ∴关于x的二次函数的图象与x轴都有交点 即无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点 【小问2详解】 分两种情况讨论： ①抛物线顶点在x轴上， ， 解得： ②抛物线顶点在y轴上，， 解得： ∴k的值为0或6 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的顶点坐标公式，有一定难度 23. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质．熟练掌握相似三角形的性质与矩形的性质是解题的关键． 过点作于点，则四边形是矩形，将旗杆高度拆分为两部分，先利用物高与影长的比例关系求出旗杆上半部分高度，再加上墙上影长对应的高度，得到旗杆总高度． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 米，米， ， 解得米， 旗杆高度米． 24. 如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、圆周角定理及勾股定理的应用，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是直径，是的中点， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ，解得， ， ， ． 25. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）当时，的取值范围为：. 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质. （1）先求解，，可得；点，即， 再进一步求解即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）先求解函数最大值为：，再求解当时，，当时，，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； 在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，的取值范围为：或. 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线：， ∴函数最大值为：， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为：. 26. 某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度为10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为. （1）当矩形动物场面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场？说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能围成面积为矩形动物场，理由如下： 根据题意得， 整理，得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不能围成面积为矩形动物场． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题关键． （1）根据题意得，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解； （2）根据题意得， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到不能围成面积为矩形动物场． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得，， 当米时，（米），符合题意； 当米时，（米）， ∵墙长度为10米， ∴米不符合题意； ∴边的长为6米； 【小问2详解】 略 27. 如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． （1）若四边形是正方形，求的长（图一）； （2）若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； （3）若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 【答案】（1）4.8 （2）， （3）最大面积是24，此时， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的性质，正方形的性质和矩形的性质，利用相似三角形的性质构建方程是解题关键． （1）设，则，再证明，利用相似比可求出正方形边长； （2）设，则，由，利用相似比列方程即可得到结果； （3）设，矩形的面积为S，利用得相似比，用相似比可得出用含m的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为x，则， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）得，四边形是矩形， ∴，， 由（1）得， ∴，即， 解得， ∴，； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，矩形的面积为S， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S的最大值为24， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，． 28. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【小问1详解】 解：当时 ， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次调研监测 九年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 有一组数据分别为：，，，，；已知这组数的平均数为，那么这组数据的中位数是（ ）． A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个点都在二次函数(k为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（ ） A. ①② B. ③④ C. ④⑤ D. ③⑤ 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．） 9. ⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是_____． 10. 甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是_______班． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 抛物线与轴的交点坐标是______． 13. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 14. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 15. 如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 16. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 17. 若函数的图像与坐标轴有2个公共点，则m的值为________． 18. 如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为________． 三、解答题（本大题10题，共96分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 21. 甲乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9； 乙：5，9，7，10，9． （1）填写表格： 平均数　 众数　 中位数　 方差　 　甲 　8 　　 　8 　0.4 　乙 　　 9 　　 　3.2 （2）根据这5次成绩，教练应选择　　参加射击比赛． （3）如果乙再射击一次，命中8环，请计算现在乙射击成绩的方差． 22. 已知是y关于x的二次函数． （1）求证：无论k为何值，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的顶点在坐标轴上，试确定k的值． 23. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度． 24. 如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 25. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 26. 某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度为10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为. （1）当矩形动物场面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场？说明理由． 27. 如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E． （1）若四边形是正方形，求的长（图一）； （2）若四边形是矩形，且．求、的长（图二）； （3）若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长． 28. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $