精品解析：广西壮族自治区钦州市共美学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋季学期高一年级12月月考（数学）试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合交集的定义直接求解即可. 【详解】根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. 已知一次函数满足，则解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 4. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算各区间端点处函数值，根据零点存在定理即可判断出答案. 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合型对数函数定义域以及分式型函数定义域即可得解. 【详解】由题意，解得或，所以函数的定义域为. 故选：C. 6. 已知，，且，则的最小值是　　 A. 4 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】变形，利用基本不等式可得结果，注意等号成立的条件． 【详解】因为 所以 当且仅当时，取等号． 即的最小值是16，故选C． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 7. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关指数函数、幂函数的性质判断大小关系即可. 【详解】因为在上为增函数，故， 又，且在上为增函数，故， 所以，即． 故选：B 8. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式. 【详解】由和定义域可得，为奇函数， 由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且， 显然不满足， 又， 于是由，可得或，解得， 类似的，的解集为， 所以不等式等价为，解得， 或，解得， 综上所述，的解为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图众数的定义判断选项A；补全频率分布直方图求指定组的频率判断选项B；由频率计算频数判断选项C；由频率分布直方图平均数的算法判断选项D. 【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确； 对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误； 对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体， 总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确； 对D,样本平均数为，D选项正确. 故选：ACD. 10. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A. 若ac2>bc2，则a>b B. 若a>b，c>d，则a+c>b+d C. 若a>b，c>d，则ac>bd D. 若a>b，则 【答案】AB 【解析】 【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错. 【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对， 由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对， 当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错， 令a=﹣1，b=﹣2，则，D错. 故选：AB. 11. 设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论. 【详解】由函数的定义域为，满足， 当时，可得， 当时，，， 当时，，； 作出函数的部分图象如下图所示： 由类周期函数性质可知，当时，恒成立； 解方程可得或； 又因为对于任意的，都有，利用图象可知， 因此选项AB符合题意. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为当时，， 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以 故答案为： 13. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解与二次方程的根的关系得出的值，然后再解不等式． 【详解】由题意，∴， 不等式为，即，， ． 故答案为：． 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）时，可得出，然后进行并集的运算即可； （2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可. 【详解】解：（1）时，，且， ； （2）， ， ，解得， 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了描述法的定义，并集和交集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题. 16. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】（1） （2）73 （3）180 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得． 【小问2详解】 由题意，估计平均分分. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． 17. 已知函数，满足 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. 【小问1详解】 由函数，满足， ，解得， 故函数的解析式为：. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. 【小问3详解】 不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】（1）2 （2）（i）；偶函数（ii） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 19. 在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， （1）若，请用定义法证明单调性； （2）若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 【答案】（1） 当时，，函数的定义域为， 任取，且，则 ， 因，则，，故， 即，故函数为增函数. （2）①当，时，，则 ， 故为定值1. ②1013 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可推导证明函数单调性； （2）① 利用指数幂的运算律代入计算可得；②利用①证明的定值，将与首尾等距离的两项分别相加即得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①已得， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高一年级12月月考（数学）试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知一次函数满足，则解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值是　　 A. 4 B. 12 C. 16 D. 18 7. 若，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 10. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A. 若ac2>bc2，则a>b B. 若a>b，c>d，则a+c>b+d C. 若a>b，c>d，则ac>bd D. 若a>b，则 11. 设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ） A. 3 B. C. D. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______. 13. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________. 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 17. 已知函数，满足 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 19. 在数学探究中：若函数满足解析式（，且），则称为“分数指数式函数”，这类函数的单调性与对称性在密码学、数据加密等领域有着重要应用，已知某“分数指数式函数”：， （1）若，请用定义法证明单调性； （2）若，， ①求证：为定值，并求该定值； ②求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $