2026年中考数学复习专题07方程与不等式（一元一次不等式）

该初中数学中考复习资料聚焦一元一次不等式核心考点，覆盖不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法与应用，按“定义-性质-解法-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建内在联系，结合真题训练与方法指导，帮助学生突破解集表示、性质应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融入抽象能力、推理意识与应用意识培养，如通过不等式性质对比训练发展推理意识，结合购物、销售等实际问题提升应用意识。设计基础到综合的分层练习，配合真题限时训练，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

一轮复习 一元一次不等式 知识点一 不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 特别说明： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点二 一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 特别说明： 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 特别说明： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点三 一元一次不等式组 　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别说明： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 一．不等式的定义 1．（2025春•廊坊校级月考）下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x＝2，④x2+2xy+y2，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025春•科左中旗校级月考）下列式子中，是不等式的有（　　） ①﹣3＜0；②4x+3y≤0；③x＝4；④a2+ab+b2；⑤x+y＝7；⑥m﹣3≠n+2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025春•郴州期末）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　 　 ． 二．不等式的性质 4．（2024秋•慈利县期末）若a＞b，则下列式子中正确的是（　　） A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜0 5．（2025秋•海安市校级期中）有理数a，b，c，a＝b，c＜a，下列式子一定成立的是（　　） A．c2＜a2 B．c﹣a＝c﹣b C．|c|＜|b| D． 6．（2025秋•台州期中）若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是　 　 ． 7．（2025春•涟源市期中）如果a＜b，那么1﹣3a　 　 1﹣3b（填“＞”或“＜”或“＝”）． 8．（2025秋•朝阳区校级期中）比较大小：如果，那么a　 　 b．（填“＞”或“＜”） 9．（2025春•兴化市期末）已知4x+y＝1，且﹣1＜x≤2，那么y的取值范围为 　 　 ． 10．（2025•河北模拟）已知x＞y，要使不等式（k﹣2）x＜（k﹣2）y成立，写出一个符合条件的k的整数值：　 　 ． 11．（2025春•封丘县期中）已知x＞y． （1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由． （2）若（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围为 　 　 ． 三．不等式的解集 12．（2025秋•慈溪市校级期中）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 13．（2025秋•浙江期中）下列不等式中，与x＞﹣2组成的不等式组无解的是（　　） A．x≤﹣3 B．x≥﹣1 C．x＜0 D．x＞1 14．（2025•金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 15．（2025春•黄石期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 16．（2025•福州模拟）不等式3﹣2x＞1的解集为　 　 ． 17．（2025春•东台市月考）若不等式组无解，则m的取值范围是　 　 ． 18．（2025春•焦作期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是　 　 ． 19．（2025春•姜堰区期末）已知x＜a的解集中最大的整数是5，那么a的取值范围是　 　 ． 20．（2025秋•杭州期中）已知不等式mx﹣3＞2x+m． （1）若它的解集是x，求m的取值范围； （2）若它的解集与不等式2x﹣1＞3﹣x的解集相同，求m的值． 21．（2025春•龙海区期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为﹣1≤x≤3． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤6的解集为 　 　 ． （2）求不等式|x﹣2|≥3的解集． （3）求不等式4|x+1|﹣5＜3的解集． 22．（2024春•杨浦区校级期末）解不等式． 四．在数轴上表示不等式的解集 23．（2025春•梓潼县期末）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•吴兴区校级期中）已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A．x＜2 B．x≤3 C．x＞2 D．2＜x≤3 25．（2025•关岭县一模）下面的数轴表示的不等式是（　　） A．﹣1＜x≤2 B．x≥2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜﹣1或x≥2 26．（2025•新丰县模拟）关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 　 　 ． 27．（2025•新华区校级一模）已知关于x的一元一次不等式■﹣2x≥3的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为　 　 ． 28.（2025春•榆林期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 五．一元一次不等式的定义 29．（2025秋•台州期中）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A．4＞﹣1 B．﹣2a2+3b＞5 C．3x＞9 D．3x﹣2y≤﹣1 30．（2025秋•慈溪市校级月考）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＜6 B．﹣2x＞﹣6 C．﹣x≤3 D．﹣2x≥﹣6 31．（2025春•吉州区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 32．（2025春•江北区校级期末）已知﹣3（m﹣3）x|m|﹣2﹣6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ． 33．（2025春•涟源市期中）下列不等式：①x2+3＞2x；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④5π；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 　 　 （填序号）． 34．（2024春•修水县期中）如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式x＞3的解都是不等式x＞1的解，则称不等式x＞3是不等式x＞1的“蕴含不等式”． （1）在不等式①x＜﹣1，②x＞4，③x＜﹣3中，是x＜﹣2的“蕴含不等式”的是 　 　 （填序号）． （2）若不等式x＜﹣6是不等式3（x﹣1）＜2x+m的“蕴含不等式”，求m的取值范围， （3）已知x＜﹣2n+4是x＜2的“蕴含不等式”，试判断x＞n+3是不是x＞2的“蕴含不等式”，并说明理由． 六．解一元一次不等式 35．（2025•永寿县二模）不等式的解集是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2 36．（2025春•曲阳县期末）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足x﹣y＜5，则m的最小整数值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 37．（2025春•嵩县期末）若（a﹣3）x＞a﹣3的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a＞3 C．a＜3 D．a＞0 28．（2025秋•荣昌区校级期中）已知关于x的分式方程2的解为负数，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a＜2且a≠1 C．a﹣2 D．a＜﹣2且a≠﹣3 39．（2025秋•招远市期中）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为　 　 ． 40．（2025春•锦江区校级期中）若关于x的不等式3x﹣2＞2x+k的解集是x＞1，则k的值为　 　 ． 41．（2025秋•静安区校级期中）不等式的解集是　 　 ． 42．（2025春•高新区校级月考）已知关于x的不等式x1的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为　 　 ． 七．一元一次不等式的整数解 43．（2025春•商南县期末）若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 44．（2025秋•西湖区期中）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．10＜a＜14 B．10≤a＜14 C．10＜a≤14 D．10≤a≤14 45．（2025春•齐河县校级月考）已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12 46．（2025•东港区校级开学）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 　 　 ． 47．（2025•确山县模拟）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　 　 个． 48．（2025春•丰泽区校级期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则方程2x﹣1＝0的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； （2）若关于x，y的方程组的解是不等式3x﹣2y＞14的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k≤1时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1≤x+2m的“友好解”，请求出m的最小整数值． 49．（2025春•怀柔区期末）求同时满足关于x的不等式与5﹣（2x+1）≥2﹣x的整数解． 八．一元一次不等式的应用 50．（2025秋•鹿城区校级期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为5：8．设购买A种奖品共5x（x为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品　 　 件．（请用含x的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过15人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 51．（2025秋•滁州期中）某公司每月销售A，B两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 A B 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售A型号设备x台，则每月销售B型号设备　 　 台，每月共获得利润　 　 万元．（用含x的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进A，B两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 九．一元一次不等式组的定义 52．（2025春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 53．（2020春•安庆期中）下列不等式组： ①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 54．（2025春•龙亭区校级月考）写出一个解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等组：　 　 ． 十．一元一次不等式组的应用 55．（2025秋•东阳市期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 一元一次不等式 知识点一 不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 特别说明： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点二 一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 特别说明：：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 特别说明： 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 特别说明： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点三 一元一次不等式组 　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特别说明： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 一．不等式的定义 1．（2025春•廊坊校级月考）下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x＝2，④x2+2xy+y2，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据不等式的定义，不等号有＜，＞，≤，≥，≠，选出即可． 【解答】解：由题意可知不等式有：①②⑤⑥共4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是不等式的定义，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键． 2．（2025春•科左中旗校级月考）下列式子中，是不等式的有（　　） ①﹣3＜0；②4x+3y≤0；③x＝4；④a2+ab+b2；⑤x+y＝7；⑥m﹣3≠n+2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可． 【解答】解：不等式有①﹣3＜0、②4x+3y≤0、⑥m﹣3≠n+2，共3个， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等． 3．（2025春•郴州期末）一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　2m﹣n≥5　 ． 【分析】根据题中所给的数量关系，用不等式表示即可． 【解答】解：由题意得：2m﹣n≥5， 故答案为：2m﹣n≥5． 【点评】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是解题的关键． 二．不等式的性质 4．（2024秋•慈利县期末）若a＞b，则下列式子中正确的是（　　） A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜0 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【解答】解：A、不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意； C、不等式a＞b的两边同时乘﹣3，不等式仍成立，即﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意； D、不等式a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a﹣b＞0，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 5．（2025秋•海安市校级期中）有理数a，b，c，a＝b，c＜a，下列式子一定成立的是（　　） A．c2＜a2 B．c﹣a＝c﹣b C．|c|＜|b| D． 【分析】利用不等式的性质及等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：当c＝﹣2，a＝1时，c2＞a2，则A不符合题意， 由a＝b得﹣a＝﹣b，那么c﹣a＝c﹣b，则B符合题意， 当c＝﹣2，b＝1时，|c|＞b|，则C不符合题意， 当c＝0时，，均无意义，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质及等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 6．（2025秋•台州期中）若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是m＜1　 ． 【分析】利用不等式的性质列得关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y， 则m﹣1＜0， 解得：m＜1， 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 7．（2025春•涟源市期中）如果a＜b，那么1﹣3a　＞　 1﹣3b（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【分析】根据不等式的基本性质进行解答． 【解答】解：∵a＜b，﹣3＜0， ∴﹣3a＞﹣3b， 则﹣3a+1＞﹣3b+1， 即1﹣3a＞1﹣3b， 故答案为：＞． 【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8．（2025秋•朝阳区校级期中）比较大小：如果，那么a　＜　 b．（填“＞”或“＜”） 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴不等式的两边同时减去1，得， ∴不等式的两边同时除以，得a＜b． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 9．（2025春•兴化市期末）已知4x+y＝1，且﹣1＜x≤2，那么y的取值范围为 　﹣7≤y＜5　 ． 【分析】由4x+y＝1，可得y＝1﹣4x，由﹣1＜x≤2，根据不等式的性质进行计算可得﹣7≤1﹣4x＜5，即可得出答案． 【解答】解：由4x+y＝1， 可得y＝1﹣4x， ∵﹣1＜x≤2， ∴﹣4＜4x≤8， ∴﹣8≤﹣4x＜4， ∴﹣8+1≤1﹣4x＜4+1， ∴﹣7≤1﹣4x＜5， ∴y的取值范围为﹣7≤y＜5． 故答案为：﹣7≤y＜5． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质进行求解是解决本题的关键． 10．（2025•河北模拟）已知x＞y，要使不等式（k﹣2）x＜（k﹣2）y成立，写出一个符合条件的k的整数值：　1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，可得k﹣2＜0，即可求解． 【解答】解：由题意得，k﹣2＜0， 解得k＜2， 故k的整数值可以为1． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 11．（2025春•封丘县期中）已知x＞y． （1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由． （2）若（a﹣2）x＜（a﹣2）y，则a的取值范围为 a＜2　 ． 【分析】（1）利用不等式的性质进行计算，即可解答； （2）利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5， 理由：∵x＞y， ∴﹣3x＜﹣3y（不等式的基本性质3）， ∴﹣3x+5＜﹣3y+5（不等式的基本性质1）； （2）∵x＞y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y， ∴a﹣2＜0， 解得：a＜2， 故答案为：a＜2． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 三．不等式的解集 12．（2025秋•慈溪市校级期中）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 【分析】根据不等式组的整数解有4个即可解决问题． 【解答】解：∵关于x的不等式组的整数解共有4个， ∴6＜m≤7， 故选：D． 【点评】本考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组整数解的个数建立关于m的不等式组是解题的关键． 13．（2025秋•浙江期中）下列不等式中，与x＞﹣2组成的不等式组无解的是（　　） A．x≤﹣3 B．x≥﹣1 C．x＜0 D．x＞1 【分析】两个不等式无解意味着它们的解集没有交集，分别检查每个选项与x＞﹣2是否有公共部分即可得到答案． 【解答】解：根据一元一次不等式组解集的求法逐项分析判断如下： A、由于x≤﹣3与x＞﹣2无公共部分，则组成的不等式组无解，符合题意； B、由于x≥﹣1与x＞﹣2的公共部分为x≥﹣1，组成的不等式组有解，不符合题意； C、由于x＜0与x＞﹣2的公共部分为﹣2＜x＜0，组成的不等式组有解，不符合题意； D、由于x＞1与x＞﹣2的公共部分为x＞1，组成的不等式组有解，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查一元一次不等式组解集的求法，熟记求不等式组解集的原则：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”是解决问题的关键． 14．（2025•金水区校级模拟）若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3 【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知：a≥﹣3． 【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是不等式组的解集的判断方法，掌握不等式组解集的判断口诀是解题的关键． 15．（2025春•黄石期末）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得． 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x， ∴a＜0，且x， ∴， ∴a＝3b，且b＜0， ∴（a+b）x＞b﹣a， 即4bx＞﹣2b， ∴x． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2025•福州模拟）不等式3﹣2x＞1的解集为x＜1　 ． 【分析】本题是关于x的不等式，移项合并，解得x的解集． 【解答】解：∵不等式3﹣2x＞1， ∴x＜1． 【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 17．（2025春•东台市月考）若不等式组无解，则m的取值范围是m≤2　 ． 【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围． 【解答】解：解不等式得x＞2， 把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下： 观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解． 故答案为：m≤2． 【点评】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键． 18．（2025春•焦作期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是m≤2　 ． 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定方法直接解答即可． 【解答】解：∵无解， ∴m≤2， 故答案为：m≤2． 【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确推理． 19．（2025春•姜堰区期末）已知x＜a的解集中最大的整数是5，那么a的取值范围是　5＜a≤6　 ． 【分析】根据不等式的解集中最大的整数是5，可得答案． 【解答】解：x＜a的解集中最大的整数是5， 5＜a≤6， 故答案为：5＜a≤6． 【点评】本题考查了不等式的解集，x＜a的解集中最大的整数是5是解题关键． 20．（2025秋•杭州期中）已知不等式mx﹣3＞2x+m． （1）若它的解集是x，求m的取值范围； （2）若它的解集与不等式2x﹣1＞3﹣x的解集相同，求m的值． 【分析】（1）首先移项可得mx﹣2x＞m+3，合并同类项可得（m﹣2）x＞m+3，再两边同时除以m﹣2，当m﹣2＜0时，可得x； （2）首先解不等式2x﹣1＞3﹣x，可得解集，再解（m﹣2）x＞m+3，再两边同时除以m﹣2，当m﹣2＞0时，可得x，进而得到方程，再解方程即可． 【解答】解：mx﹣3＞2x+m， mx﹣2x＞m+3， （m﹣2）x＞m+3， （1）∵它的解集是x， ∴m﹣2＜0， 解得m＜2； （2）2x﹣1＞3﹣x， 解得：x， ∵它的解集是x， ∴，且m﹣2＞0， 解得m＝17． 【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是要注意分类讨论：m﹣2＞0或m﹣2＜0． 21．（2025春•龙海区期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为﹣1≤x≤3． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤6的解集为 　﹣6≤x≤6　 ． （2）求不等式|x﹣2|≥3的解集． （3）求不等式4|x+1|﹣5＜3的解集． 【分析】根据已知条件中的解题方法，列出关于x的不等式，解不等式进行解答即可． 【解答】解：（1）∵|x|≤6， ∴﹣6≤x≤6， 故答案为：﹣6≤x≤6； （2）∵|x﹣2|≥3， ∴x﹣2≥3或x﹣2≤﹣3， ∴x≥5或x≤﹣1； （3）∵4|x+1|﹣5＜3， 4|x+1|＜8， |x+1|＜2， ∴﹣2＜x+1＜2， ﹣2﹣1＜x+1﹣1＜2﹣1， ﹣3＜x＜1． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是理解已知条件中的解题方法． 22．（2024春•杨浦区校级期末）解不等式． 【分析】分2x+1＜0时和2x+1＞0时两种情况进行讨论、求解． 【解答】解：当2x+1＜0，即时． 两边都乘以2x+1，得x+3＞4x+2， 解得． ∴此时该不等式的解为； 当2x+1＞0，即时， 两边都乘以2x+1，得x+3＜4x+2， 解得， ∴此时该不等式的解为， ∴该不等式的解为或． 【点评】此题考查了不等式的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行讨论、求解． 四．在数轴上表示不等式的解集 23．（2025春•梓潼县期末）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】不等式﹣1≤x＜3在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜3两个不等式的公共部分． 【解答】解：∵﹣1≤x＜3， ∴在数轴上表示为： 故选：D． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键． 24．（2025秋•吴兴区校级期中）已知一个不等式组的解集在数轴上如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A．x＜2 B．x≤3 C．x＞2 D．2＜x≤3 【分析】根据不等式组的解集是小小取小，可得答案． 【解答】解；由数轴表示的不等式组的解集，得x＜2， 故选：A． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用了不等式组的解集的表示方法：大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小无处找． 25．（2025•关岭县一模）下面的数轴表示的不等式是（　　） A．﹣1＜x≤2 B．x≥2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜﹣1或x≥2 【分析】根据数轴写出不等式解集即可． 【解答】解：由数轴可知，不等式的解集是﹣1＜x≤2． 故选：A． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，找准分界点和方向是解题关键，同时注意实心点和空心圆圈的区别． 26．（2025•新丰县模拟）关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 　﹣2≤x＜1　 ． 【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可． 【解答】解：关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 则不等式组解集为﹣2≤x＜1， 故答案为：﹣2≤x＜1． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示． 27．（2025•新华区校级一模）已知关于x的一元一次不等式■﹣2x≥3的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为　5　 ． 【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【解答】解：设“■”表示的数为a， 由题意得a﹣2x≥3， 解得， 由数轴得到不等式的解集为x≤1（解集在界点1的左边，且界点1为实心点）， 故， 解得a＝5． 则“■”表示的数为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 28．（2025春•榆林期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在数轴上． 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上即可． 【解答】解：解不等式①得：x≥﹣6， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组不等式组的解集为﹣6≤x≤2， 在数轴上表示如下： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 五．一元一次不等式的定义 29．（2025秋•台州期中）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A．4＞﹣1 B．﹣2a2+3b＞5 C．3x＞9 D．3x﹣2y≤﹣1 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：A、没有未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式． 30．（2025秋•慈溪市校级月考）如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（　　） A．2x＜6 B．﹣2x＞﹣6 C．﹣x≤3 D．﹣2x≥﹣6 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤3的即为所求． 【解答】解：A．2x＜6，解得：x＜3，解集不符合，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意； B．﹣2x＞﹣6，解得：x＜3，解集不符合，故该选项不符合题意； C．﹣x≤3，解得：x≥﹣3，解集不符合，故该选项不符合题意； D．﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，系数为负数，改变不等式的符号，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式的定义，不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法． 31．（2025春•吉州区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，不等号左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意； ③不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意； ④2x+y＜5+y化简后2x＜5满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意． ⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ⑥x不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 32．（2025春•江北区校级期末）已知﹣3（m﹣3）x|m|﹣2﹣6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义得出|m|﹣2＝1且﹣3（m﹣3）≠0，即可求出m的值． 【解答】解：根据题意得|m|﹣2＝1且﹣3（m﹣3）≠0， 解得m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，绝对值，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 33．（2025春•涟源市期中）下列不等式：①x2+3＞2x；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④5π；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 　④⑤　 （填序号）． 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【解答】解：①存在二次项，不是一元一次不等式； ②没有未知数，不是一元一次不等式； ③有两个未知数，所以不是一元一次不等式； ④⑤是一元一次不等式． 所以一元一次不等式有④⑤． 故答案为：④⑤． 【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：①不等式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次． 34．（2024春•修水县期中）如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式x＞3的解都是不等式x＞1的解，则称不等式x＞3是不等式x＞1的“蕴含不等式”． （1）在不等式①x＜﹣1，②x＞4，③x＜﹣3中，是x＜﹣2的“蕴含不等式”的是 　③　 （填序号）． （2）若不等式x＜﹣6是不等式3（x﹣1）＜2x+m的“蕴含不等式”，求m的取值范围， （3）已知x＜﹣2n+4是x＜2的“蕴含不等式”，试判断x＞n+3是不是x＞2的“蕴含不等式”，并说明理由． 【分析】（1）直接根据“蕴含不等式”的定义解答即可； （2）先用m表示出不等式的解集，再由“蕴含不等式”的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （3）根据题意得出关于n的不等式，求出n的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：（1）在不等式①x＜﹣1，②x＞4，③x＜﹣3中，是x＜﹣2的“蕴含不等式的是③x＜﹣3． 故答案为：③； （2）解不等式3（x﹣1）＜2x﹣m可得x＜m+3， 则m+3≥﹣6， 解得m≥﹣9． 故m的取值范围是m≥﹣9； （3）是，理由： 依题意有﹣2n+4≤2，解得n≥1， ∴x＞n+3的范围是x＞4， 故x＞n+3是x＞2的蕴含不等式． 【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能是解题的关键． 六．解一元一次不等式 35．（2025•永寿县二模）不等式的解集是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2 【分析】解一元一次不等式的基本步骤是去分母、移项、系数化为1，注意不等号方向的变化，据此解答即可． 【解答】解：， 去分母得：2x+1≤5， 移项合并同类项得：2x≤4， 系数化为1得：x≤2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式．熟练掌握该知识点是关键． 36．（2025春•曲阳县期末）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足x﹣y＜5，则m的最小整数值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【分析】根据不等式的解集求参数，根据题意得出x﹣y＝3﹣m，进而可得3﹣m＜5，解不等式，即可求解． 【解答】解：， ①+②得，2x﹣2y＝﹣2m+6， ∴x﹣y＝3﹣m， ∵x﹣y＜5， ∴3﹣m＜5， 解得：m＞﹣2， ∴m的最小整数值为﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 37．（2025春•嵩县期末）若（a﹣3）x＞a﹣3的解集为x＜1，则a必须满足（　　） A．a＜0 B．a＞3 C．a＜3 D．a＞0 【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可． 【解答】解：∵不等式（a﹣3）x＞a﹣3的解集为x＜1， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3， 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键． 38．（2025秋•荣昌区校级期中）已知关于x的分式方程2的解为负数，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a＜2且a≠1 C．a﹣2 D．a＜﹣2且a≠﹣3 【分析】将原方程去分母并解得x的值，根据题意列得关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：原方程去分母得：x+a＝2x+2， 解得：x＝a﹣2， ∵原方程的解为负数， ∴a﹣2＜0且a﹣2≠﹣1， 解得：a＜2且a≠1， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键． 39．（2025秋•招远市期中）关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＞﹣6且m≠﹣2　 ． 【分析】将原方程去分母并解得x的值，然后根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：原方程去分母得：x﹣2m＝3x+12， 解得：x＝﹣m﹣6， ∵原方程的解是负数， ∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣4， 解得：m＞﹣6且m≠﹣2， 故答案为：m＞﹣6且m≠﹣2． 【点评】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键． 40．（2025春•锦江区校级期中）若关于x的不等式3x﹣2＞2x+k的解集是x＞1，则k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可． 【解答】解：解不等式3x﹣2＞2x+k得，x＞2+k， ∵关于x的不等式3x﹣2＞2x+k的解集是x＞1， ∴2+k＝1， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解集，理解其定义并正确计算是解题的关键． 41．（2025秋•静安区校级期中）不等式的解集是　　 ． 【分析】通过移项和合并同类项将不等式化为标准形式，注意到系数为负数时不等号方向改变，并通过分母有理化简化表达式即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 42．（2025春•高新区校级月考）已知关于x的不等式x1的所有解都小于3．若a是整数，但不是正数，则满足条件的a的值为　﹣3，﹣2，﹣1，0．　 ． 【分析】先解出不等式的解集，再结合“所有解都小于3”以及a的取值范围，来确定a的值． 【解答】解：x1， ∴x2， ∵不等式的所有解都小于3， ∴x2要满足2≤3， 解得a≥﹣3， ∴a的可能取值为﹣3，﹣2，﹣1，0． 故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0． 【点评】本题考查一元一次不等式的解法，以及根据不等式的解得情况确定参数的取值范围，重点在于理解不等式两边乘除负数时不等号方向改变这一性质，还有对“所有解都小于3”这一条件的转化． 七．一元一次不等式的整数解 43．（2025春•商南县期末）若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【解答】解：解不等式3x﹣a+2＞0得， ∵x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解， ∴， 解得a＜8， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式．掌握解题步骤是关键． 44．（2025秋•西湖区期中）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A．10＜a＜14 B．10≤a＜14 C．10＜a≤14 D．10≤a≤14 【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x， ∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3， ∴34， 解得：10＜a≤14， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 45．（2025春•齐河县校级月考）已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12 【分析】再解不等式时要根据不等式的基本性质． 先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解． 【解答】解：由题意解得：， ∵由题意可得：正整数解为1，2，3， ∴， ∴9＜a≤12． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键． 46．（2025•东港区校级开学）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 　21或22　 ． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出x的取值范围，再结合三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 解不等式得， x＜11． 因为三角形的三边长分别是2，x，10， 所以10﹣2＜x＜10+2， 即8＜x＜12， 所以8＜x＜11， 则整数x的值为9，10， 所以2+10+9＝21，2+10+10＝22， 所以该三角形的周长是21或22． 故答案为：21或22． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 47．（2025•确山县模拟）不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有　3　 个． 【分析】先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可． 【解答】解：3（x﹣1）≤5x+2， 3x﹣3≤5x+2， 3x﹣5x≤3+2， ﹣2x≤5， x≥﹣2.5， ∴不等式3（x﹣1）≤5x+2的非正整数解有﹣2，﹣1，0，共3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确地解不等式，求出解集是解答题的关键． 48．（2025春•丰泽区校级期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则方程2x﹣1＝0的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； （2）若关于x，y的方程组的解是不等式3x﹣2y＞14的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k≤1时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1≤x+2m的“友好解”，请求出m的最小整数值． 【分析】（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【解答】解：（1）解方程3x﹣2x+1得：x， 解不等式0得：x＞﹣3， ∴方程的解是不等式的解， ∴方程3x﹣2x+1的解是不等式0的“友好解”； （2）， ②﹣①，得：3x﹣2y＝﹣k﹣7， ∵3x﹣2y＞14， 即：﹣k﹣7＞14， ∴k＜﹣21； （3）由条件可得，由条件可得x1， ∵k≤1， ∴， ∴1，即x， 由4x﹣1≤x+2m，得x≤x， 由条件可知， 解得m， ∴m的最小整数值为：m＝2． 【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义是解题的关键． 49．（2025春•怀柔区期末）求同时满足关于x的不等式与5﹣（2x+1）≥2﹣x的整数解． 【分析】联立两个不等式，组成不等式组，求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：由x＞1得：x＞﹣1， 由5﹣（2x+1）≥2﹣x得：x≤2， ∴﹣1＜x≤2， 所以，符合要求的整数解为0，1，2． 【点评】本题考查求不等式组的整式解，熟练掌握该知识点是关键． 八．一元一次不等式的应用 50．（2025秋•鹿城区校级期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为5：8．设购买A种奖品共5x（x为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品　x 件．（请用含x的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过15人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【分析】（1）设购买A种奖品共5x（x为正整数）件，则购买B种奖品共8x（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入5x中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共5x（x为正整数）件，则购买B种奖品共8x（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量＝颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过（45+15）件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，x均为正整数，可确定x的值，再将其代入（1）×8x中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设购买A种奖品共5x（x为正整数）件，则购买B种奖品共8x（x为正整数）件， 根据题意得：5x+8x≤100， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴5x＝5×7＝35（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）①设购买A种奖品共5x（x为正整数）件，则购买B种奖品共8x（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（1）×5x+（1）×8xx（件）． 故答案为：x； ②根据题意得：， 解得：x， 又∵x，x均为正整数， ∴x＝6， ∴（1）×8x＝（1）×8×6＝36（人）． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次不等式组）是解题的关键． 51．（2025秋•滁州期中）某公司每月销售A，B两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 A B 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售A型号设备x台，则每月销售B型号设备　（20﹣x）　 台，每月共获得利润　（﹣2x+60）　 万元．（用含x的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进A，B两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【分析】（1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备（20﹣x）台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． 【解答】解：（1）∵每月销售A，B两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售A型号设备x台， ∴每月销售B型号设备为（20﹣x）台， ∴每月共获得利润为（4﹣3）x+（8﹣5）（20﹣x）， 即（﹣2x+60）万元， 故答案为：（20﹣x）；（﹣2x+60）； （2）∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴根据题意列一元一次不等式得，3x+5（20﹣x）≤80， 整理得，2x≥20， 解得x≥10， ∵﹣2＜0， ∴利润随x的增大而减小， ∴当x＝10时，获得利润最大，最大利润为﹣2×10+60，60﹣20＝40（万元）， ∴20﹣x＝20﹣10＝10， ∴此时，应购进A型号设备10台，B型号设备10台． 【点评】此题综合考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． 九．一元一次不等式组的定义 52．（2025春•城关区校级月考）下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A．B．C．D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义逐项判断如下： A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 53．（2020春•安庆期中）下列不等式组： ①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【解答】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 54．（2025春•龙亭区校级月考）写出一个解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等式组：　（答案不唯一）　 ． 【分析】利用不等式的性质把﹣2＜x≤1进行变形得到两个不等式即可． 【解答】解：x≤1的解集为x﹣1≤0，﹣2＜x的解集为x+2＞0． 所以解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等式组为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义．能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 十．一元一次不等式组的应用 55．（2025秋•东阳市期中）某商场准备购进A，B两种商品进行销售，A商品的进价为每件30元，售价为40元，B商品的进价为每件40元，售价为60元．现计划购进A，B两种商品100件，设购买A商品a件． （1）求出总利润（用含a的代数式表示）； （2）若A商品不少于59件，总利润不少于1380元，求出所有的进货方案． 【分析】（1）设购进A商品x件，则购进B商品（100﹣a）件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 59 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得a的范围，然后确定进货方案即可． 【解答】解：（1）设购进A商品x件，则购进B商品（100﹣a）件， 由题意可得：总利润＝（40﹣30）a+（60﹣40）（100﹣a）＝﹣10a+2000， ∴总利润＝﹣10a+2000； （2）由题意可得：， ∴59≤a≤62， ∵a为整数， ∴a＝59，60，61，62 ∴所有的进货方案如下：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品 62件，B商品38件． 答：方案一：A商品59件，B商品41件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品60件，B商品40件；方案三：A商品61件，B商品39件；方案四：A商品 62件，B商品38件． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $