精品解析：浙江省杭州市浙江大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题

2025学年第一学期浙大附中12月考试 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 下面四组函数中，与表示同一个函数的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数图象一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 10. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. C. 的最小正周期为 D. 当时，的最大值为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数的图象经过点，则______． 13. 为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有___________分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字） 14 计算：__________.（填近似值不得分） 四、解答题（本题共5小题，，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若集合，集合． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）把化成的形式； （2）若，且，求的值． （3）在中，若，求的取值范围． 17. 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙大附中12月考试 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出方程的两根，结合相应二次函数的图象可得解集. 【详解】解方程得，且函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为. 故选：D 2. 下面四组函数中，与表示同一个函数的是（ ）． A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域，将函数解析式化简，再根据相等函数的定义即可得出答案. 【详解】解：对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数； 对于C，函数，两个函数的定义域都是，所以这两个函数是相等函数； 对于D，，两个函数的定义域都是，又，所以这两个函数不是相等函数. 故选：C. 3. 函数图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性求解. 【详解】令，解得， 当时，，所以函数图象的一个对称中心是. 故选：D. 4. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查函数的奇偶性、单调性与函数图像，直接求解即可. 【详解】,定义域为，关于原点对称； ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称；排除B、D. 当 时，，则，所以，C满足. 故选：C 5. 已知，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知将变形为，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】，又，可得， 且， 当且仅当，时等号成立． 即最小值为. 故选：B． 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A 7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 8. 已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称. 令，得.所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且最小正周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（ ） A. B. ac<bc C. a(b－c)>b(a－c) D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，作差比较可知A正确；对于B，在a>b的两边同时乘以－c可知B正确；对于C，作差比较可知C正确；对于D，在a>b的两边同时乘以可知D错误． 【详解】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质比较大小，属于基础题. 10. 定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错. 【详解】∵，∴，若，则，所以，故A符合条件； ，故B不符合条件； ，即，又，∴，故C符合条件； ，即，又，∴，故D不符合条件. 故选：AC. 11. 定义，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. C. 的最小正周期为 D. 当时，的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，可判断A的真假；利用诱导公式可判断B的真假；利用周期函数的定义结合诱导公式可判断C的真假；分情况讨论，求函数的值域，可判断D的真假. 【详解】对A：， 因为，所以恒成立，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：因为 而， 所以只有当时，才有，所以不是函数的周期.故C错误； 对D：当时，. 当，， 所以. 因为，所以当，即时，取得最大值2，即； 当时，， 所以， 因为，所以，所以，即； 当时，. 综上可知，当时，的最大值为2.故D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式，再求函数值． 【详解】由题意设， ∵幂函数的图象经过点， ∴，则， ∴，则， 故答案为：4 13. 为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有___________分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字） 【答案】22.83 【解析】 【分析】根据图象求出分段函数解析式，根据题意列出不等式，求解相关不等式，可求出最佳时间段. 【详解】由图可设当时，. 因为，所以，所以. 所以当时，. ，所以. 所以当时，. 所以. 当时，由，得，所以，即. 当时，由，得，所以. 综上所述，. 所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约分钟 . 故答案为：. 14. 计算：__________.（填近似值不得分） 【答案】 【解析】 【分析】令，则，应用三角恒等变换可得，即可求函数值. 【详解】令，则，故， 由 ，而， 所以，可得，故（负值舍）， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 若集合，集合． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合,按照集合的运算法则进行运算即可； （2）依题得到，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，， 则或， 又， 所以 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以实数的取值范围为 16. 已知函数． （1）把化成的形式； （2）若，且，求的值． （3）在中，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数. （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值. （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）知，则， 由，得，则， 则 . 【小问3详解】 在中，，由，得， 则，解得，则， 于是， 由，得，则，即， 所以的取值范围为. 17. 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 【答案】（1），． （2）（ⅰ），；（ⅱ）的最大值为， ． 【解析】 【分析】（1）由扇环周长建立等量关系，即可求得关于x的函数解析式，由题意建立不等式组求得自变量的取值范围.然后利用函数的单调性求得的取值范围. （2）（ⅰ）分别表示出花坛的面积和装饰总费用，即可求得花坛的面积与装饰总费用之比；（ⅱ）令，整理（ⅰ）中函数关系式，利用基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 由题可知，解得． 又由，可得， 所以关于的函数解析式为，． 因为函数在时单调递减， 所以，可得． 【小问2详解】 （ⅰ）花坛的面积为， 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为，． （ⅱ）令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时． 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】（1）为定值，定值为 （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. 【小问2详解】 ， ，得证. 【小问3详解】 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $