第7章　图形的变化课件 2026年中考数学一轮专题复习（甘肃）

2025-12-27

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摘要：

该初中数学课件聚焦中考几何核心考点“线段最值问题”，严格对接新课标几何直观与空间观念要求。通过梳理“两点一线”“一点两线”“两定点一定长”三大模型，分析各模型在近三年中考中的考查权重，归纳异侧/同侧线段和差、三角形周长最小等常考题型，体现备考针对性与实用性。课件亮点在于模型化突破与应试技巧结合，如“两点一线”模型中同侧两点求和最小值，通过作对称点转化为异侧问题，培养学生推理意识与模型观念。提供具体操作步骤与结论应用，帮助学生掌握转化思想，教师可依此系统指导学生高效突破考点，助力中考冲刺与复习教学。

内容正文：

第七章　图形的变化第三节　图形的对称、平移、旋转第一部分　教材知识梳理考点一　轴对称和中心对称　▼ 1. 轴对称与轴对称图形上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转轴对称图形轴对称图形定义如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转轴对称图形轴对称性质 (1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的　垂直平分线　； (2)轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的　垂直平分； (3)由轴对称变换得到的图形与原图形的　大小　和　形状　完全一样垂直平分线　垂直平分线大小　形状　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 2. 图形的折叠：折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等. 性质：位于折痕两侧的图形关于折痕成　轴对称　图形；满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被　对称轴　垂直平分. 【方法归纳】折叠问题实质就是成轴对称的图形的性质问题. 轴对称　对称轴　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 3. 中心对称与中心对称图形 (1)中心对称：把一个图形绕某个点旋转　 180°　，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫　对称中心　. (2)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形称为　中心对称图形　，这个点叫对称中心. 180°　对称中心　中心对称图形　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 (3)中心对称与中心对称图形的性质中心对称中心对称图形图形两个图形一个图形上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 (3)中心对称与中心对称图形的性质中心对称中心对称图形性质成中心对称的两个图形是　全等　图形；成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分连接中心对称图形的对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心　平分　全等　平分　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 4. 常见的轴对称图形和中心对称图形 (1)常见的轴对称图形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、圆、正多边形等； (2)常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等； (3)既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转【方法归纳】判断轴对称图形的关键是寻找一条直线(对称轴)，若能使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则为轴对称图形，若找不到这样的一条直线，则不是轴对称图形；判断中心对称图形的关键是寻找一个点 (对称中心)，若能使图形绕该点旋转180°后与原图形重合，则为中心对称图形，若找不到这样一个点，则不是中心对称图形. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 1. (2025·酒泉一模)2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会.下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是(　B　) A B C D B [练对点一] 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 2. (2025·凉州区一模)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，BC的对应边EC交AD于点F，过点B作BG⊥CE交AC于点H，垂足为G，若AB ＝3，BC＝4，则HG的长度为(　D　) A. B. C. D. D 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 3. (2025·凉州区校级二模)如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点 M，N分别在边BC，AD上.连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点 C，D分别落在点A，E处.则tan∠AMN的值是(　A　) A. 2 B. C. D. A 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 4. 如图，在正方形纸片ABCD中，点E在边CD上，DE＝2CE，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF. 若AD＝6 cm，求CF的长. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转解：∵正方形ABCD的边长AD＝6 cm， ∴CD＝AD＝AB＝BC＝6 cm. ∵DE＝2CE，∴CE＝2 cm，DE＝4 cm. ∴AE＝＝＝2 cm. 由折叠性质，得AB＝AG＝6 cm，BF＝FG，∠B＝∠FGA＝90°. ∵CF2＋CE2＝EF2＝GF2＋EG2. ∴CF2＋4＝(6－CF)2＋(2 －6)2. ∴CF＝10－2 . 解：∵正方形ABCD的边长AD＝6 cm， ∴CD＝AD＝AB＝BC＝6 cm. ∵DE＝2CE，∴CE＝2 cm，DE＝4 cm. ∴AE＝＝＝2 cm. 由折叠性质，得AB＝AG＝6 cm，BF＝FG，∠B＝∠FGA＝90°. ∵CF2＋CE2＝EF2＝GF2＋EG ∴CF2＋4＝(6－CF)2＋(2 －6)2. ∴CF＝10－2 . 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转考点二　图形的平移　▼ 5. 图形的平移图示定义在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小三大要素起点、　方向　、距离方向　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转性质平移是全等变换，即平移前后两图形　全等　，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动　相同　的距离，对应点的连线　平行　且相等对应线段互相平行全等　相同　平行　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转平移作图步骤 (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离； (2)找出原图形的关键点； (3)按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 [练对点二] 5. 甲骨文是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是(　A　) A. 比 B. 立 C. 秝 D. 鼎 A 新情境·传统文化上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 6. 如图，△DEF由△ABC平移得到，下列说法中，不正确的是(　C　) A. AB∥DE B. CF∥BE C. ∠ABC＝∠DFE D. ∠BAC＝∠EDF C 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转考点三　图形的旋转　▼ 6. 图形的旋转图示定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角度称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状三大要素旋转中心、旋转方向和　旋转角　旋转角　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转性质旋转前后的两个图形全等；图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同角度旋转作图步骤 (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角度； (2)找出原图形的关键点； (3)将各关键点按旋转方向与旋转角度旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转由于旋转前后的两个图形的大小、形状未发生改变，所以我们在解决旋转类问题时要注意抓住以下几点：(1)找准旋转中的“变”与“不变”；(2) 找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中线段或角之间的关系. 【方法归纳】上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 [练对点三] 7. (2025·武威一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACB绕点C 顺时针旋转70°，使点B的对应点D恰好落在边AB上，得到△ECD，则 ∠EFC的度数为　 75°　. 75°　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 8. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， ∠AOB＝∠B＝30°，OA＝4，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是　 (－2 ，6)　. (－2 ，6)　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转命题点一　对称图形的识别 1. (2022·兰州)下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992 年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是(　D　) A B C D D 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 2. (2021·省卷)2021年是农历辛丑牛年，某社区开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是(　B　) A B C D B 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 3. (2024·省卷)围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　 A(或C)　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可， A，B，C，D位于棋盘的格点上) A(或C)　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转命题点二　图形变化及相关计算与证明 4. (2023·兰州)如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形 ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则b－a＝　 3－　. 3－　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 5. (2024·兰州)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景.探究动点运动的几何问题.如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM. 【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD， ∴DM＝AM，∠AMD＝120°.∴∠DMB＝60°. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD(SAS).∴MN＝DB. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点 F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB. 试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转解：(2)四边形AFBD为平行四边形.理由如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°. ∵将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD， ∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°. ∴∠MAD＝∠ABF＝45°，则AD∥BF. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD(SAS).∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°. ∵∠MDB＋∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF. ∴DB∥AF. ∴四边形AFBD为平行四边形. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB ＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转解：(3)BN＋CM的最小值为4 . 提示：如图3，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC， BG，过点G作GO⊥CB，交CB的延长线于点O. ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∴∠GAM＝∠BCN＝45°. ∵AN＝BM，∴AM＝CN. 在△GAM和△BCN中， ∴△GAM≌△BCN(SAS). ∴GM＝BN. ∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG. ∴当G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的值. ∵∠GAM＝∠ABC＝45°，∴AG∥BC，∴∠BAC＝∠ABG＝90°，上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 ∴∠GBO＝180°－∠ABG－∠ABC＝45°， ∴∠GBO＝45°，∴OG＝OB， ∴GB＝ OB＝ OG，∴OG＝OB＝2 ，∴OC＝6 . 在Rt△GOC中，GC＝＝4 ， ∴BN＋CM的最小值为4 . 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 1. (2025·泸州)下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是(　C　) A B C D C 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 2. (2025·湖北)如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G. 若DE＝2 ，则CG的长是(　B　) A. B. 2 C. ＋1 D. 2 －1 B 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色.下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是(　B　) B A. B. C. D. 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 2. 在平面直角坐标系中，若将点平移M(a－2，b＋3)到点P(a，b)的位置，则下列平移的方法正确的是(　B　) A. 先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 3. 如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点C，D，E恰好在一条直线上.若CD＝2，BC＝ 1，则AC的长为(　C　) A. B. C. D. 3 C 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边OA，OC分别在x 轴、y轴上，点D在AB上.连接OD，将四边形ODBC沿OD折叠得到四边形ODEF，点E恰好落在x轴上，已知OA＝4，则点D的坐标为 (　A　) A. (4，4 －4) B. (4，4－4 ) C. (4， ) D. (4，2) A 上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8.将该矩形沿对角线BD折叠，则图中阴影部分面积是　 10　. 10　上一页下一页第三节　图形的对称、平移、旋转 $ 第七章　图形的变化第二节　视图与投影第一部分　教材知识梳理考点一　三视图　▼ 1. 概念和特点视图从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形三视图主视图在正面内得到的由前向后观察物体的视图左视图在侧面内得到的　由左向右　观察物体的视图俯视图在水平面内得到的由上向下观察物体的视图由左向右　上一页下一页第二节　视图与投影三视图特点主视图和俯视图要长对正，主视图和左视图要　高　平齐，左视图和俯视图要　宽　相等提醒：在画图时，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示高　宽　上一页下一页第二节　视图与投影 2. 常见几何体的三视图几何体主视图左视图俯视图特征圆柱有两个相同圆锥有两个相同球体三个都相同上一页下一页第二节　视图与投影几何体主视图左视图俯视图特征正方体三个都相同长方体三棱柱上一页下一页第二节　视图与投影 3. 由三视图确定几何体由三视图还原几何体时，首先分别根据主视图、俯视图和左视图还原立体图形的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 主视图可以判断几何体的长和高，主要提供正面的形状左视图可以判断几何体的高和宽俯视图可以判断几何体的长和宽，直接看到的是底面的情况，看不出高度上一页下一页第二节　视图与投影 1. (2025·凉州区一模)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(　A　) A B C D A [练对点一] 上一页下一页第二节　视图与投影 2. (2025·陇南模拟)如图所示的几何体，其俯视图是(　A　) A B C D A 上一页下一页第二节　视图与投影 3. (2025·康县四模)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，这种连接方式不但可以承受较大的荷载，而且允许产生一定的变形.如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是(　C　) A B C D C 上一页下一页第二节　视图与投影 4. (2025·凉州区一模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是　 14π　. 14π　上一页下一页第二节　视图与投影考点二　投影　▼ 4. 用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 5. 中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影. 　　　　中心投影平行投影正投影考点二　投影上一页下一页第二节　视图与投影 6. 平行投影：由平行光线形成的投影. 投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影. 7. 不同时刻，同一物体在太阳光照射下的影长是不同的；在同一时刻，不同物体的高度与影长成正比. 上一页下一页第二节　视图与投影 [练对点二] 5. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术.皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于(　B　) A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 B 上一页下一页第二节　视图与投影 6. 下列投影中，属于中心投影的是(　B　) A B C D B 上一页下一页第二节　视图与投影考点三　立体图形的展开与折叠　▼ 8. 常见几何体的展开图常见几何体展开图图示(选其一种) 圆柱两个等圆和一个矩形圆锥一个圆和一个　扇形　扇形　上一页下一页第二节　视图与投影常见几何体展开图图示(选其一种) 正方体六个全等的　正方形　三棱柱两个全等的三角形和三个矩形正方形　上一页下一页第二节　视图与投影 9. 正方体展开图的类型 (1)一四一型上一页下一页第二节　视图与投影 (2)二三一型 (3)三三型 (4)二二二型 ⑪ 上一页下一页第二节　视图与投影 10. 判断正方体展开图的相对面的方法 (1)相间的两个小正方形(中间间隔一个小正方形)是正方形的对面.“Z”字型两端点处的小正方形是正方体的对面.如图，“自”与“超”相对， “信”与“着”相对，则“沉”与“越”相对. 上一页下一页第二节　视图与投影 (2)中间隔着两个小正方形的两个面是正方体的邻面，拐角型的三个面是正方体的邻面. 上一页下一页第二节　视图与投影 [练对点三] 7. (2025·渭源县模拟)某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是 (　D　) A B C D D 上一页下一页第二节　视图与投影 8. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是(　B　) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 B 上一页下一页第二节　视图与投影 9. 如图四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是(　A　) A B C D A 上一页下一页第二节　视图与投影 10. (2025·嘉峪关一模)2025年春晚涉及众多“非遗”元素，让“非遗”被更多人了解.如图是一个正方体的展开图，则与“传”字所在面相对的面上的字是(　C　) A. 非 B. 遗 C. 文 D. 化 C 上一页下一页第二节　视图与投影命题点　三视图的判定 1. (2024·省卷)如图所示，该几何体的主视图是(　C　) A B C D C 上一页下一页第二节　视图与投影 2. (2024·临夏州)马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的 “远古之光”.如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是(　D　) A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 D 上一页下一页第二节　视图与投影 1. (2024·乐山) 下列文物中，俯视图是四边形的是(　D　) A. 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵 D C. 镂空人面覆盆陶器 D. 青铜大方鼎传统文化上一页下一页第二节　视图与投影 2. 诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察.如图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是(　D　) A. 是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管 B. 是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管 C. 是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管 D. 是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管 D 上一页下一页第二节　视图与投影 1. 如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的(　B　) A B C D B 上一页下一页第二节　视图与投影 2. 有三张长方形卡片，它们的长与宽分别如图所示.下列三角形卡片中，恰好能与这三张长方形卡片围成一个无盖的三棱柱盒子的是(　D　) A B C D D 上一页下一页第二节　视图与投影 $ 第七章　图形的变化第一节　尺规作图第一部分　教材知识梳理考点　尺规作图　▼[练对点] 1. 尺规作图的要求只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法. 尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹. 上一页下一页第一节　尺规作图 2. 五种基本的尺规作图要求图示步骤作一条线段等于已知线段 (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP 于点A，OA即为所求线段上一页下一页第一节　尺规作图要求图示步骤作一个角等于已知角 (1)在∠α上以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； (2)作射线O'A； (3)以点O'为圆心，OP长为半径作弧，交 O'A于点M； (4)以点M为圆心，　 PQ　长为半径作弧交前弧于点N； (5)过点N作射线O'B，∠BO'A即为所求角 PQ　上一页下一页第一节　尺规作图要求图示步骤作线段的垂直平分线 (1)分别以点A，B为圆心，大于　 AB　长为半径在AB两侧作弧，两弧交于M， N两点； (2)连接MN，则直线MN即为线段AB的垂直平分线 AB　上一页下一页第一节　尺规作图要求图示步骤作角的平分线 (1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； (2)分别以点M，N为圆心，大于　长为半径作弧，相交于点P； (3)作射线OP，OP即为∠AOB的平分线 MN 上一页下一页第一节　尺规作图要求图示步骤过一点作已知直线的垂线点在直线上 (1)以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M，N； (3)连接MN，MN即为直线AB的垂线上一页下一页第一节　尺规作图要求图示步骤过一点作已知直线的垂线点在直线外 (1)在直线另一侧取点M； (2)以PM为半径画弧，交直线于A，B两点； (3)分别以A，B为圆心，大于　 AB　长为半径画弧，交M同侧于点N； (4)连接PN，则直线PN即为直线AB的垂线 AB　上一页下一页第一节　尺规作图【温馨提示】1.尺规作图的过程是不能度量的，且要保留作图痕迹. 2. 解决与尺规作图相关计算的一般步骤：①根据作图步骤和作图痕迹判断是哪种基本尺规作图(常见的有角平分线、线段垂直平分线、高线等)； ②利用图形的性质结合已知条件求解. 上一页下一页第一节　尺规作图 1. 如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB，若FA＝5，则FB的长为(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第1题图　 C 练对点上一页下一页第一节　尺规作图 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F. 已知CF＝3，AF＝5，则BC的长为(　B　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第2题图 B 上一页下一页第一节　尺规作图 3. (2025·酒泉一模)如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，∠ACB＝ 60°. (1)实践操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，交CD于点M；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) 解：(1)如图，AM即为所求. 上一页下一页第一节　尺规作图解：(2)AM＝CM. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DCB＝90°. ∴∠DAC＝∠ACB＝60°， ∠ACD＝90°－60°＝30°. 由(1)知，AM是∠DAC的平分线， ∴∠CAM＝ ∠DAC＝30°. ∴∠CAM＝∠ACM. ∴AM＝CM. (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段AM与CM的数量关系，并证明你的猜想. 上一页下一页第一节　尺规作图命题点　尺规作图 1. (2025·甘肃)如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一.如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高.现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图.如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a.作法如下：新情境上一页下一页第一节　尺规作图 ①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D； ②在射线DM上截取DC＝a； ③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O； ④以点O为圆心，OC的长为半径作 . 则就是所要作的圆弧. 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图(保留作图痕迹，不写作法). 解：如图3即为月洞门的设计图. 上一页下一页第一节　尺规作图 2. (2025·兰州)“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角” 问题的特例方法.某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究 “三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：上一页下一页第一节　尺规作图操作步骤与演示图形如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α.按照以下步骤进行操作任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，l3与纸片左边交点为N，如图② ↓ 折痕使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q'，P'，m交l3于点M，如图③④ ↓ 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4的一部分，如图⑤ 上一页下一页第一节　尺规作图 ↓ 将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l4，如图⑥ ↓ 将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5，则直线l4和l5就是锐角α的三等分线，如图⑦⑧ 上一页下一页第一节　尺规作图上一页下一页第一节　尺规作图解决问题 (1)请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：(保留作图痕迹，不写作法) 任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P'；解：如图③所示. 任务二：在图⑥中作出折痕l5. 解：如图⑥所示. (2)若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是　 50°　解：如图③所示. 解：如图⑥所示. 50°　上一页下一页第一节　尺规作图 3. (2024·临夏州)根据背景素材，探索解决问题. 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF 背景素材六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述上一页下一页第一节　尺规作图已知条件点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为(2，0) 操作步骤 ①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P； ②以点P为圆心，PC长为半径作圆； ③以CD的长为半径，在☉P上顺次截取＝＝＝； ④顺次连接 DE，EF，FA，AB， BC，得到正六边形ABCDEF 上一页下一页第一节　尺规作图问题解决任务一根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示. 任务二将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标　 (4，0).　解：如图所示. (4，0).　上一页下一页第一节　尺规作图 4. (2024·省卷)马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知☉O和圆上一点M. 作法如下： ①以点M 为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点； ②延长MO交 ☉O于点C；上一页下一页第一节　尺规作图即点A，B，C将☉O的圆周三等分. (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；解：如图2所示. 上一页下一页第一节　尺规作图 (2)根据(1)画出的图形，连接AB， AC， BC，若☉O的半径为2 cm，则 △ABC的周长为　 6 　cm. 6 　上一页下一页第一节　尺规作图 5. (2024·兰州)观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下： ①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB； ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C(点A，B，C不在同一条直线上)； ③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B 重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；上一页下一页第一节　尺规作图 ④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角. 操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图2，BA ＝BC. 请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；解：如图2所示. 上一页下一页第一节　尺规作图推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：∵AB＝BC＝BD， ∴△ABC与△ABD是等腰三角形. ∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD. (依据1) ∴∠BCA＋∠BDA＝∠BAC＋∠BAD＝∠DAC. ∵∠DAC＋∠BCA＋∠BDA＝180°，(依据2) ∴2∠DAC＝180°. ∴∠DAC＝90°. 依据1：　等边对等角(等腰三角形的性质)　；依据2：　三角形内角和定理　；等边对等角(等腰三角形的性质)　三角形内角和定理　上一页下一页第一节　尺规作图拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 ∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图3所示. 解：如图3所示. 上一页下一页第一节　尺规作图 6. (2023·武威)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知☉O，A是☉O上一点，只用圆规将☉O的圆周四等分(按如下步骤完成，保留作图痕迹)：上一页下一页第一节　尺规作图 ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在☉O上逆时针方向顺次截取＝＝； ②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于☉O上方点 E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交☉O于G，H两点.即点A，G， D，H将☉O的圆周四等分. 解：如图，点A，G，D，H把☉O的圆周四等分. 上一页下一页第一节　尺规作图 7. (2021·省卷)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程. (1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D， AC于点E，连接AD，CD； ②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F(F，A两点不重合)，连接DF，BD，BF；解：(1)作图如图. 上一页下一页第一节　尺规作图 (2)直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系. 解：(2)BC＝BF. 上一页下一页第一节　尺规作图 1. (2025·资阳)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝ BN；再分别以点M和点N为圆心，大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD，过点D作DE∥BC交BA 于点E. 若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° C 上一页下一页第一节　尺规作图 2. (2025·连云港)已知AD是△ABC的高，☉O是△ABC的外接圆. (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；解：(1)如图1所示，☉O即为所求. 上一页下一页第一节　尺规作图 (2)如图2，若☉O的半径为R，求证：R＝；解：(2)证明：如图2，作☉O的直径AM，连接BM. ∴∠ABM＝90°，AM＝2R. ∵AD是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°. ∵∠ACB＝∠AMB，∴△ABM∽△ADC. ∴ ＝，即＝，∴R＝ . 上一页下一页第一节　尺规作图 (3)如图3，延长AD交☉O于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F. 若BC＝7，AD＝3 ，∠ACB＝60°，求CF的长. 上一页下一页第一节　尺规作图解：(3)如图3，连接OE. ∵EF为☉O的切线，∴∠OEF＝90°. ∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝30°. ∴∠EOC＝60°，∠F＝30°. ∵OE＝OC，∴△OEC是等边三角形，∴∠OEC＝∠OCE＝60°. ∴∠CEF＝30°，∴∠CEF＝∠F. ∴CE＝CF＝OC＝R. 在Rt△ADC中，AD＝3 ，∠ACB＝60°，tan 60°＝＝， ∴CD＝3，BD＝BC－CD＝7－3＝4. 上一页下一页第一节　尺规作图在Rt△ACD中，AC＝＝＝6，在Rt△ABD中，AB＝＝＝，代入R＝，得R＝，即CF＝ . 上一页下一页第一节　尺规作图 1. 根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是(　C　) A B C D C 上一页下一页第一节　尺规作图 2. 如图，D为△ABC中BC边上一点. (1)过D点作AC的平行线，交AB于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程)；解：(1)如图，DE即为所求. 上一页下一页第一节　尺规作图 (2)若△ABC中，∠A＝60°，BE＝ED，求证：AE＝CD. 解：(2)证明：∵DE∥AC，∠A＝60°， ∴∠A＝∠BED＝60°. ∵BE＝ED， ∴△BDE是等边三角形. ∴∠BDE＝∠C＝60°，BE＝BD. ∴△ABC也是等边三角形. ∴AB＝BC. ∴AB－BE＝BC－BD. ∴AE＝CD. 上一页下一页第一节　尺规作图 $ 第七章　图形的变化微专题3　有关线段最值的常见模型第一部分　教材知识梳理模型一　“两点一线”模型 ①基本模型类型异侧两点求线段和最小值同侧两点求线段和最小值图示条件两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型结论连接AB交直线l于点P，此时 PA＋PB的值最小，最小值为线段AB的长作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，此时PA ＋PB的值最小，最小值为线段 AB'的长上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型 ②拓展模型类型同侧两点求线段差最大值异侧两点求线段差最大值图示条件两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使｜PA－PB｜值最大两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得｜PA－PB｜值最大上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型结论连接AB并延长，与直线l交于点P，此时｜PA－PB｜的值最大，最大值为线段AB 的长作点B关于直线l的对称点B'，连接 AB'并延长，与直线l交于点P，此时｜PA－PB｜的值最大，最大值为线段AB'的长上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型模型二　“一点两线”模型图示条件点P是∠AOB(定角)内部一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小结论作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″，分别交 OA，OB于点M1，N1，此时△PMN的周长最小，最小值为线段 P'P″的长上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型模型三　“两定点一定长”模型类型异侧两定点一定长同侧两定点一定长图示条件点A，B为直线m，n两侧两定点，m∥n，在直线m， n上分别找两点P，Q，线段PQ的长为定值d，使AP＋PQ＋QB的值最小点A，B为直线l同侧两定点，在直线l上找P，Q两点，使得PQ＝d，且AP＋PQ＋QB 最小上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型结论将点A向下平移d个单位长度至点A'，连接A'B交直线n于点 Q，此时AP＋QB的值最小，即AP＋PQ ＋QB的值最小将点A向右平移d个单位长度至点A'，作 A'关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线l于点Q，将点Q向左平移d个单位长度得到点P，此时AP＋PQ＋QB的值最小上一页下一页微专题3　有关线段最值的常见模型 $

第7章 图形的变化 课件 2026年中考数学一轮专题复习（甘肃）

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