精品解析：山西省太原市杏花岭区山西省实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

山西省实验中学2025－2026学年第一学期第四次质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，四个身高相同的小朋友站在路灯下，丁离路灯最远，则丁的影子最长， 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，通过运用直接开平方法求解一元二次方程得到两个解． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：C． 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是利用“反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数”求解． 先根据已知点求出反比例函数的值，再验证选项中点的横、纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：反比例函数的解析式为，图象上的点满足， 已知点在该图象上，则． 依次验证各选项： A、，不在图象上； B、，不在图象上； C、，不在图象上； D、，在图象上． 故选：D． 4. 如图，平行四边形中，点是边 的中点，交于点 ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边 的中点， ， ， 故选：B． 5. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据此灯罩的俯视图特点即可求解． 【详解】解：俯视图是个同心圆，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，根据题意两个圆的轮廓都能看见，所以是两个实线的同心圆．   故选：B ． 6. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率计算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 画出树状图解答即可． 【详解】设三本书为A《九章算术》、B《孙子算经》、C《海岛算经》， 画出树状图为： 共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种， ∴抽取两本书中有《九章算术》的概率 故选：D． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，识别顶点式中的h和k是解题关键． 对比顶点式，可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 顶点坐标为 ． 故选 C． 8. 如图，线段 与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定 与 相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定 与 相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定 与 相似，故该选项不符合题意； D、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定 与 相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 9. 如图：点A在反比例函数的图象上， 轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 由C是的中点求 的面积，设，根据面积公式求 ，进而求得k的值即可． 【详解】解：∵C是的中点，的面积为3， ∴ 的面积为6， 设， ∵ 轴于点B， ∴，即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ． 故选D． 10. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴上，连接，交x轴于点D，若 ，，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵菱形的顶点B在x轴上，交x轴于点D， ，， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 12. 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处 点恰好是横画的黄金分割点（ ），若横画的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，解一元二次方程，根据黄金分割定义得，设，则，即，整理得 ，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据黄金分割定义得， 设，则， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当 时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 14. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到 停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至 时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从 开始加热至 ，然后下降至 这一过程中，水温不低于的时间为________ ． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为： ， 将，代入 ，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得： ， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且 ，延长交于点G．若，则 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，，然后在中，，代入数值得，再过点G作 于点H，得出是等腰直角三角形，然后证明，则，代数计算得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得． ． 如图，过点G作 于点H， 则， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ， ． ． 又． ． ． 设， 则． ． 解得． ． 在 中，． 故答案为： 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握并能灵活运用解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找出一点，使点是的一个三等分点； （2）如图2，在上找出一点，使点是的中点． 【答案】（1） 如图，连接交于点，点就是所求作的点； （2） 画图如下：则点就是所求作的点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）连接和，交点为，连接并延长交于即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点，点就是所求作的点； ∵， ∴， ∴ ， ∴，即点是的一个三等分点； 【小问2详解】 解：根据题意，画图如下：则点就是所求作的点． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴点是的中点． 18. 在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． （1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． （2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 【答案】（1）5 （2），过程见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握用列表法与树状图法求概率以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式列方程求解即可． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的都是白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，， 解得： ． ∴x的值为5． 【小问2详解】 解：列表如下∶ 红 白 黑 红 白 白 共有9种等可能的结果，其中摸出的都是白色小球的结果有2种， ∴摸出的都是白色小球的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为； （2）8； （3） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与y轴的交点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， 解得 ， ∴反比例函数解析式为， 把点B的坐标代入代入反比例函数解析式中得， 解得 ， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线与y轴交于点C， 在中，当时， ， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为 或． 20. 项目学习 【问题背景】近几年，越来越多的演唱会落地，让有2500多年建城史的太原多了一个新标签——歌迷之城．数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置、互不影响，以下数据均为内场数据； 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件3：体育场可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】本次演唱会提前40分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足函数关系式：． 【模型应用】 （1）当开放4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为______人，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． （2）在（1）的条件下，排队人数w在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【答案】（1）40x； （2）排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数为400人 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是关键． 根据“已入场人数=每分钟安检人数×安检时间”表示出已入场人数，再根据“排队人数现场总人数已入场人数”列出函数关系式． （2）将函数关系式配方，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵平均每条通道每分钟可安检10人． ∴开放4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为人， ∵现场总人数y与安检时间x之间满足函数关系式：． ∴排队人数w与安检时间x的函数关系式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意可得． 因为 ， 所以当 时，w取得最大值，为400． 答：排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数为400人． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 放缩尺 工具简介：如图，这是工人师傅使用的一种放缩尺，其工作原理为数学中的相似三角形．已知四边形为平行四边形， ，以点为轴心，在点 处和点处安装制图笔，便可将点 处的图形在点处放大． 数学原理：小组成员利用数学中平行四边形和相似的知识，求的比值过程如下． 如图，连接，由题知点 在上． 四边形为平行四边形，．．．．．． （依据：___________）． 任务： （1）直接写出研究报告中，“___________”处空缺的内容：___________ （2）将“……”处的证明过程补充完整． （3）当点 处制图笔所画图形的面积为4时，则点处制图笔所画图形的面积是___________． 【答案】（1）相似三角形的性质 （2）解：如图，连接，由题知点 在上． 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练证明两个三角形相似是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明即可解答； （3）根据相似三角形的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接，由题知点 在上． 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， （相似三角形的性质）， 故答案为：相似三角形的性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据三角形的性质可得， 当点 处制图笔所画图形的面积与点处制图笔所画图形的面积之比为， 即则点处制图笔所画图形的面积是 ， 故答案为： ． 22. 综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图 ． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图 ，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池 中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为 米，最高高度为 米，恰好命中目标城池 ，达到最大射程米． （1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ （2）目标城池 中心与投石线间的距离是多少？ （3）目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是米； （2）目标城池 中心与投石线间的距离是 米； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，掌握知识点的应用及利用数形结合的思想是解题的关键． （）根据题意设顶点式，求出 的值，得到函数解析式，再求出当时，则，即可得到答案； （ ）由最大档位时抛物线的函数解析式为，则有对称轴为直线，故点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的，所以 的坐标为，从而求解； （ ）由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为，投石机车撤米后解析式为，然后找到临界点即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得, 最高点为 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， 当时，则， ∴最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是； 【小问2详解】 解：∵最大档位时抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的， ∴ 的坐标为， 即目标城池 中心与投石线间的距离是 米； 【小问3详解】 解：由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， ∴投石车后撤米后解析式为， 根据题意得结合城池的 范围为米和 范围为米， ∴保证命中目标城池内部，则当经过点和时， ∴，解得：或（舍去）， ，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是：． 23. 综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边 上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕 ；P为边 上的一个动点，将 沿折叠后得到，使点A的对应点落在 上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将 沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交 于点E．如图2，试判断与 的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将 沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 【答案】动手操作：；思考探究：，见解析；拓展延伸：． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 动手操作：设，根据勾股定理列方程求解即可； 思考探究：由折叠的性质得到，，，证明，得到，设，求出，进而计算即可； 拓展延伸：连接，证明，设，则，求出，根据勾股定理得到，则． 【详解】动手操作：解：∵， ∴， 设， 则， ∴ ， 即 ∴ 即， ∴； 故答案为：； 思考探究：，证明如下： 由题得：，，，， ∵点P为的中点， ∴， 由折叠可知：，，， ∴，， ∴， ， 设 ， ， ∵， 解得： ， 即； 拓展延伸：解：如图，连接， ∵，，， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学2025－2026学年第一学期第四次质量监测（卷） 九年级数学 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，夜晚四个身高相同的小朋友站在路灯下，（ ）的影子最长． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形中，点是边 的中点，交于点 ，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本，则抽取的两本书中有《九章算术》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段 与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图：点A在反比例函数的图象上， 轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度 为，高度为，则离地面处的水平宽度（即 的长）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴上，连接，交x轴于点D，若 ，，则点C的坐标为________． 12. 黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处 点恰好是横画的黄金分割点（ ），若横画的长为，则 的长为______． 13. 抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 14. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到 停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至 时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从 开始加热至 ，然后下降至 这一过程中，水温不低于的时间为________ ． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且 ，延长交 于点G．若，则 的长为_______． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在中，为 的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找出一点，使点是的一个三等分点； （2）如图2，在 上找出一点，使点是 的中点． 18. 在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个． （1）若在甲袋中再放入x个红球，2个白球，摇匀后从甲袋中摸出1个小球，且摸出的小球是红色的概率为，求x的值． （2）若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的两个球都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； 20. 项目学习 【问题背景】近几年，越来越多的演唱会落地，让有2500多年建城史的太原多了一个新标签——歌迷之城．数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置、互不影响，以下数据均为内场数据； 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件3：体育场可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】本次演唱会提前40分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足函数关系式：． 【模型应用】 （1）当开放4条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为______人，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______． （2）在（1）的条件下，排队人数w在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 放缩尺 工具简介：如图，这是工人师傅使用的一种放缩尺，其工作原理为数学中的相似三角形．已知四边形为平行四边形， ，以点为轴心，在点 处和点处安装制图笔，便可将点 处的图形在点处放大． 数学原理：小组成员利用数学中平行四边形和相似的知识，求的比值过程如下． 如图，连接，由题知点 在上． 四边形为平行四边形，．．．．．． （依据：___________）． 任务： （1）直接写出研究报告中，“___________”处空缺的内容：___________ （2）将“……”处的证明过程补充完整． （3）当点 处制图笔所画图形的面积为4时，则点处制图笔所画图形的面积是___________． 22. 综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图 ，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池 中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池 ，达到最大射程米． （1）最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ （2）目标城池 中心与投石线间的距离是多少？ （3）目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边 上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕 ；P为边 上的一个动点，将 沿折叠后得到，使点A的对应点落在 上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段 中点处时，将 沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交 于点E．如图2，试判断与 的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将 沿折叠后得到，延长交 于点F，则此时的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $