2025-2026学年高二上学期数学期末练习卷（适用于江苏省泰州市）

2025-2026学年高二上学期数学期末练习卷（适用于江苏省泰州市） 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）设l1与l2是两条不同的直线，a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 3．（5分）已知等差数列{an}的前4项为a，3b，2，5b，则a9＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（5分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　） A． B． C． D．0 5．（5分）函数f（x）＝lnx﹣mx+1，若存在x∈（0，+∞），使f（x）≥0有解，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞） 6．（5分）若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2 7．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于顶点的一个动点，记△PF1F2的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（　　） A． B．2 C． D．3 8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）+xf′（x）＜0成立，若a＝20.4•f（20.4），b＝ln2•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：mx+ny+3＝0，则下列说法正确的是飞（　　） A．当时，直线l的倾斜角为 B．当m＝n＝1时，直线l与圆C相交 C．圆C与圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相离 D．当m＝0，n＝﹣1时，过直线l上任意一点P作圆C的切线，则切线长的最小值为3 （多选）10．（6分）在数列{an}中，下列结论正确的是（　　） A．若数列{an}的前n项和，则an＝2n﹣1 B．若a1＝1，且an+1+an＝2，则an＝1 C．若a1＝1，且，则 D．若a1＝1，a2＝2，且an+2＝3an+1﹣2an，则 （多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），则（　　） A．若x1，x2是f（x）的两个极值点，则f（x1）+f（x2）＝0 B．∀x∈R，都有f（x）∈（﹣1，1） C．f（x）≥0的解集为[﹣1，0）∪[1，+∞） D．f（x）的单调递增区间是（﹣2，0）和（0，2） 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＝69，则a11+a13＝ 　 　 ． 13．（5分）函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）在R上的导函数，则不等式f（x）的解集为　 　 ． 14．（5分）设点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为 　 　 ；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，＝　 　 ． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x． （Ⅰ）求函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值和最小值； （Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程． 16．（15分）公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足． （I）求数列{an}，{bn}的通项公式； （II）令，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围． 17．（15分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p（L）关于行驶速度v（km/h）的函数解析式可以表示为：（{0＜v≤120}）．已知甲、乙两地相距100km，设汽车的行驶速度为x（km/h），从甲地到乙地所需时间为t（h），耗油量为y（L）． （1）求函数t＝g（x）及y＝f（x）； （2）求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值． 18．（17分）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求证：当a＞0时，f（x）≥2﹣． 19．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B A C B B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABD 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）设l1与l2是两条不同的直线，a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据题意利用充要条件的定义，结合两条直线平行的条件进行正反推理论证，即可得到所求结论． 【解答】解：当a＝1时，直线l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y+2＝0，可知它们平行，充分性成立； 若直线l1与l2平行，则a（a+1）＝2×1且2a≠﹣4×1，解得a＝1，必要性成立． 综上所述，“a＝1”是“直线l1∥l2平行”的充分必要条件． 故选：C． 【点评】本题主要考查两条直线平行与方程的关系、充分必要条件的判断等知识，属于基础题． 2．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据题意，由导数的定义和极限的运算性质，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）在x＝x0处可导，且， 由导数的定义，﹣f'（x0）＝， 变形可得：f'（x0）＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查导数的几何意义，涉及极限的性质和运算，属于基础题． 3．（5分）已知等差数列{an}的前4项为a，3b，2，5b，则a9＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【解答】解：等差数列{an}的前4项为a，3b，2，5b， 则，解得， 故等差数列{an}的公差为， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题． 4．（5分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　） A． B． C． D．0 【分析】令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，解得答案． 【解答】解：∵抛物线的标准方程为， ∴，准线方程为， 令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，，即 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键． 5．（5分）函数f（x）＝lnx﹣mx+1，若存在x∈（0，+∞），使f（x）≥0有解，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞） 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得m的取值范围． 【解答】解：若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≥0有解， 因为函数f（x）＝lnx﹣mx+1， 所以lnx﹣mx+1≥0， 即． 设，（x＞0）， 则． 令g′（x）＝0，解得x＝1， 当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）max＝g（1）＝1． 故m的取值范围为（﹣∞，1]． 故选：A． 【点评】本题考查导数的应用，属于中档题． 6．（5分）若函数在区间（2m﹣2，3+m）上存在最值，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜﹣1或m＞2 【分析】先对函数求导，然后借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解． 【解答】解：由题意可得，f'（x）＝（x﹣2）ex+x﹣2＝（x﹣2）（ex+1）， 则当x＞2时，f'（x）＞0，当x＜2时，f'（x）＜0， 即f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 即f（x）在x＝2处取得最值，则有 2m﹣2＜2＜3+m，解得﹣1＜m＜2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题． 7．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于顶点的一个动点，记△PF1F2的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】设出点P（x0•y0），H（m，0），利用椭圆的定义及圆M与△PF1F2相切得出线段之间的关系即可求解． 【解答】解：已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2， 则F1（﹣1，0），F2（1，0）， 又P是C上异于顶点的一个动点，记△PF1F2的内切圆圆心为M， 设PF1，PF2，F1F2与圆M分别切于点D，E，H，P（x0，y0），H（m，0）， 则， 又， 因为|PF1|+|PF2|＝4， 则， 所以|PF1|﹣|PF2|＝x0， 由切线性质可知|PD|＝|PE|，|F1D|＝|F1H|，|F2E|＝|F2H|， 所以|PF1|﹣|PF2|＝|PD|+|DF1|﹣（|PE|+|EF2|）＝|DF1|﹣|EF2| ＝|F1H|﹣|F2H|＝（m+1）﹣（1﹣m）＝2m， 所以y0＝﹣m，x0＝2m， 又点H与点M的横坐标相同， 所以点P与点M的横坐标之比为． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了椭圆的性质，属中档题． 8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）+xf′（x）＜0成立，若a＝20.4•f（20.4），b＝ln2•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【分析】构造函数h（x）＝xf（x），根据已知条件，判断h（x）的奇偶性和单调性，根据函数性质比较函数值即可． 【解答】解：根据题意函数f（x）在R上满足f（x）＝f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）+xf′（x）＜0成立， 可令h（x）＝xf（x），x∈R，因f（x）＝f（﹣x）， 则h（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数， 当x∈（﹣∞，0]时，h′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0]上单调递减， 又h（x）为奇函数，则h（x）在[0，+∞）上单调递减， 又h（x）在R上连续，所以h（x）在R上为减函数， a＝20.4•f（20.4）＝h（20.4），b＝ln2•f（ln2）＝h（ln2），， 因为，则c＞b＞a． 故选：B． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：mx+ny+3＝0，则下列说法正确的是飞（　　） A．当时，直线l的倾斜角为 B．当m＝n＝1时，直线l与圆C相交 C．圆C与圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相离 D．当m＝0，n＝﹣1时，过直线l上任意一点P作圆C的切线，则切线长的最小值为3 【分析】对选项逐个判断即可． 【解答】解：对于A：当时，直线l为mx+y+3＝0， 所以直线的斜率为＝， 设倾斜角为α，则， 因为α∈（0，π]， 所以，故A正确； 对于B：当m＝n＝1时，直线l为x+y+3＝0， 由x2+y2＝4，可得：圆心O（0，0），半径r＝2， 所以圆心到直线l的距离d＝， 所以圆与直线相离，故B错误； 对于C：因为圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1， 所以圆心E（2，3），半径R＝1， 因为|＞r+R＝3， 所以两圆相离，故C正确； 对于D：当m＝0，n＝﹣1时，直线l为y＝3， 过直线l上任意一点P作圆C的切线，设切点为Q， 则切线长＝， 所以当|PO|取得最小值时，|PQ|最小， 因为点P在直线l：y＝3上， 所以当OP⊥l时，|OP|最小， 此时|OP|min＝3， 所以，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题． （多选）10．（6分）在数列{an}中，下列结论正确的是（　　） A．若数列{an}的前n项和，则an＝2n﹣1 B．若a1＝1，且an+1+an＝2，则an＝1 C．若a1＝1，且，则 D．若a1＝1，a2＝2，且an+2＝3an+1﹣2an，则 【分析】利用退一相减法求得an，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项． 【解答】解：对于A，已知，当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，， 综上，，故A错误； 对于B，由已知an+1+an＝2，则an+2+an+1＝an+1+an＝2，即an+2＝an， 又a1＝1，a2+a1＝2，即a2＝1， 所以当n为奇数时，an＝1，当n为偶数时，an＝1， 综上，an＝1，故B正确； 对于C，由，即，，⋯，， 等式左右分别相乘可得， 又a1＝1，所以，故C正确； 对于D，由已知an+2﹣an+1＝2an+1﹣2an＝2（an+1﹣an）， 可知数列{an+1﹣an}是以a2﹣a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 即，即，，⋯，， 等式左右分别相加可得， 又a1＝1，则，故D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题． （多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），则（　　） A．若x1，x2是f（x）的两个极值点，则f（x1）+f（x2）＝0 B．∀x∈R，都有f（x）∈（﹣1，1） C．f（x）≥0的解集为[﹣1，0）∪[1，+∞） D．f（x）的单调递增区间是（﹣2，0）和（0，2） 【分析】求导，可得函数在x＞0上的单调性，即可求解极值点，根据奇函数的性质即可求A，结合函数图象即可求解BCD． 【解答】解：当x＞0时，f（x）＝e﹣x•（x﹣1），此时f′（x）＝﹣e﹣x•（x﹣1）+e﹣x＝e﹣x（2﹣x）， 当0＜x＜2，f′（x）＞0，当x＞2，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 所以f（x）在x＝2处取得极大值， 由于f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）在x＝﹣2处取得极小值，故f（2）+f（﹣2）＝0，故A正确； f（2）＝e﹣2，且当x→0+，f（x）→﹣1，当x＞1时，f（x）＞0，因此当x＞0时，f（x）∈（﹣1，e﹣1]， 结合f（x）是定义在R上的奇函数，故∀x∈R，都有f（x）∈（﹣1，1），故B正确； 作出f（x）的大致图象如下： 对于C，由图象可知：f（x）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，+∞），故C错误； 对于D，f（x）的单调递增区间是（﹣2，0）和（0，2），故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＝69，则a11+a13＝ 　6　 ． 【分析】由等差数列的求和公式结合下标的性质计算可得． 【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若S23＝69， 即S23＝＝＝69， 变形可得a11+a13＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查等差数列前n项和性质，涉及等差数列的性质，属于基础题． 13．（5分）函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）在R上的导函数，则不等式f（x）的解集为　（﹣∞，1）　 ． 【分析】构造函数g（x），确定函数的单调性，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解． 【解答】解：构造函数g（x）＝f（x） ∴ ∵f（x）在R上的导函数， ∴g′（x）＞0 ∴函数g（x）在R上单调增 ∵f（1）＝1，∴g（1）＝0 ∴不等式f（x） 等价于g（x）＜g（1） ∴x＜1 ∴不等式解集为（﹣∞，1） 故答案为：（﹣∞，1）． 【点评】本题考查利用导函数判断函数单调性，构造函数g（x），确定函数的单调性是关键． 14．（5分）设点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为 　　 ；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，＝　0　 ． 【分析】根据已知求出a，b，c的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以P，Q为短轴顶点写出P，F1，F2的坐标，即可得到结果． 【解答】解：由椭圆可得，， 所以c＝1，则离心率． 根据椭圆的对称性可得，P，Q点关于原点对称， 设P（x0，y0），Q（﹣x0，﹣y0）． 且， 当|y0|最大时，面积最大，则此时P，Q为短轴顶点， 不妨设P（0，1），F1（﹣1，0），F2（1，0）， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 四．解答题（共5小题，满分75分） 15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x． （Ⅰ）求函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值和最小值； （Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可； （Ⅱ）欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t3﹣3t），利用导数求出在x＝t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x， f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1， 故f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，1]递减， 而f（﹣2）＝﹣2，f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2， ∴f（x）的最小值是﹣2， f（x）的最大值是2； （Ⅱ）∵f′（x）＝3x2﹣3， 设切点坐标为（t，t3﹣3t）， 则切线方程为y﹣（t3﹣3t）＝3（t2﹣1）（x﹣t）， ∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）＝3（t2﹣1）（2﹣t）， 化简得t3﹣3t2＝0，∴t＝0或t＝3． ∴切线的方程：3x+y＝0或24x﹣y﹣54＝0． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力． 16．（15分）公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足． （I）求数列{an}，{bn}的通项公式； （II）令，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围． 【分析】（Ⅰ）直接利用已知条件和递推关系式求出数列的通项公式． （Ⅱ）首先求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，最后求出数列的和的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）公差不为零的等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，设公差为d， 则：， 解得：d＝2a1．① 由于数列的前10项和为100， 则：， 整理得：2a1+9d＝20②， 由①②得：， 解得：an＝2n﹣1． 已知：， 则：， 两式相减得：bn＝2bn﹣1， 即：， 当n＝1时，b1＝1， 所以：（b1＝1符合通项公式）， 则：． （Ⅱ）由题意， 则：， 所以：①， 则：＝②， ①﹣②得： ＝﹣， 解得：， 由于：， 则：Tn＞Tn﹣1，Tn随n的增大而增大， 所以： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． 17．（15分）某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p（L）关于行驶速度v（km/h）的函数解析式可以表示为：（{0＜v≤120}）．已知甲、乙两地相距100km，设汽车的行驶速度为x（km/h），从甲地到乙地所需时间为t（h），耗油量为y（L）． （1）求函数t＝g（x）及y＝f（x）； （2）求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）汽车行驶的时间函数t＝g（x）＝；耗油量函数y＝f（x）＝每小时耗油量p×函数t，代入数据整理即可． （2）对y求导，得y′，令y'＝0，得x的值，由导数的正、负与函数增减性的关系求得y的最小值． 【解答】解：（1）从甲地到乙地汽车的行驶时间为：， 则耗油量＝． （2）对y求导，得，由y'＝0，得x＝80，列出下表： x （0，80） 80 （80，120） f'（x） ﹣ 0 + f（x） ↘ 极小值11.25 ↗ 所以，当x＝80时，y取得极小值也是最小值11.25． 答：当汽车的行驶速度为80km/h时，耗油量最少，为11.25L． 【点评】本题利用求导数的方法考查了函数的增减性和最值问题：当f'（x）＜0时，f（x）在这一区间上是减函数；当f'（x）＞0时，f（x）在这一区间上是增函数． 18．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣2lnx． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）求证：当a＞0时，f（x）≥2﹣． 【分析】（1）先求得f′（x），然后对a进行分类讨论，从而求得f（x）的单调区间； （2）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立． 【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣2lnx，所以f′（x）＝2ax﹣，x＞0， ①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）单调递减； ②当a＞0时，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得， 所以f（x）在上单调递减，在上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减； 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：当a＞0时，， 要证明，只要证，即证， 设φ（a）＝，则， 令φ′（a）＝0，得a＝1，列表得： a （0，1） 1 （1，+∞） φ′（a） ﹣ 0 + φ（a） 单调递减 极小值 单调递增 所以φ（a）≥φ（1）＝0，即，所以． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题． 19．（17分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a，b，c，进而得椭圆的方程． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（2，0），B（0，），kAB＝﹣，设直线CD的方程为y＝﹣，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线CD与椭圆的方程得所以x1+x2＝，即x1＝﹣x2．直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝， 代入k1k2化简可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知， 当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△MF1F2的面积取得最大值． 所以，所以a＝2，b＝， 故椭圆E的标准方程为． （Ⅱ）根据题意可知A（2，0），B（0，），kAB＝﹣ 因为AB∥CD，设直线CD的方程为y＝﹣，C（x1，y1），D（x2，y2） 由，消去y可得6x2﹣4+4m2﹣12＝0， 所以x1+x2＝，即x1＝﹣x2． 直线AD的斜率k1＝＝， 直线BC的斜率k2＝， 所以k1k2＝•， ＝， ＝， ＝＝． 故k1k2为定值． 【点评】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/27 16:18:48；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $