精品解析：广东省汕尾市陆丰市碣北中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级上册数学随堂导学训练（三） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点， ∴关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于原点的对称点的坐标为． 故选D． 2. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴点P在外． 故选B． 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4. 抛物线的顶点坐标在第几象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征． 由抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标，再根据象限的符号特征判断所在象限． 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴顶点坐标为， ∵， ∴点在第四象限． 故选：D． 5. 如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是同弧所对的圆周角和圆心角，，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50° 【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答 6. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】把方程变为一般式，即可确定a，b，c．注意a，b，c可同时乘以一个不为零的数． 【详解】把方程化为一元二次方程的一般形式为， ∴a=1，b=−3，c=1. 但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：， 此时a=−1，b=3，c=−1. 故选:A. 【点睛】考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键. 7. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵DC是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠DOC=50°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠A=∠DOC=25°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键． 8. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ） A. 0.8 m B. 1.2 m C. 1.6 m D. 1.8 m 【答案】C 【解析】 【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，CD=0.4m，求出OC=OD-CD=0.6m，由勾股定理求出BC，即可得出AB． 【详解】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示： 则AB=2BC，∠OCB=90°， OB=OD=1m，CD=0.4m， ∴OC=OD-CD=0.6m， ∴BC===0.8（m）， ∴AB=2AC=1.6m， ∴排水管道截面的水面宽度为1.6m， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键． 9. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D. （0，－1） 【答案】A 【解析】 【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心． 【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：A 【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此令二次项系数，求解m的取值范围 【详解】解：因为关于x的方程是一元二次方程， 所以二次项系数， 解得． 故答案为：． 12. 如图，中，，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质． 根据勾股定理求出，根据旋转的性质可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵按逆时针方向旋转一个角度后，成为， ∴． 故答案为：． 13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，然后判断的正负即可． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，在抛物线上，则的大小关系是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据增减性判定函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线， ∵，对称轴直线为， ∴图象开口向上，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，函数值越大， ∵，, ∴， 故答案为： ． 三、解答题（一）本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问： （1）小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． （3）直接写出该方程的根是_____． 【答案】（1）A （2）第二步 （3） 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）配方法利用的是完全平方公式，判断即可； （2）第二步，等式右边没有加1； （3）正确的解方程即可． 【小问1详解】 解：小明第三步配方的依据是完全平方公式； 故选A； 【小问2详解】 解：第二步开始出现错误，等式右边没有加1； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得． 17. 如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 【答案】半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理；结合垂径定理的推论可证得是直角三角形，根据垂径定理即可求得，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图所示： 是的中点， ，且， 在中， 即的半径为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点顺时针旋转的； （2）在（1）的条件下，求点旋转到所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，用勾股定理解直角三角形，画旋转图形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据旋转方向与角度，画出图形即可； （2）先求得，再利用弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴所经过的路径长的长． 四、解答题（二）本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA． （1）求证：ED是⊙O的切线． （2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度． 【答案】（1）证明：如图：首先连接OD． ∵AC⊥AB， ∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°． 在△AOE与△DOE中，OA=OD，ED=EA,OE=OE， ∴△AOE≌△DOE（SSS）， ∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED． 又∵OD是⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线； （2）10. 【解析】 【分析】（1）首先连接OD．已知D点在圆上，说明OD是半径，所以只要证明OD⊥ED即可．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，从而证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定定理推出OE⊥AD，从而得到OE∥BC，最后根据△AOE∽△ABC求得BC的长度． 【详解】（1）略 （2）如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4， ∴由勾股定理求得OE=5． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊥BC． 又∵OA=OD，AE=DE， ∴OE垂直平分AD（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∴OE⊥AD， ∴OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴． ∴BC=2OE=2×5=10，即BC的长度是10． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求实数k的值； （2）若该方程的一个根为1，求k的值和方程的另一个根． 【答案】（1）； （2）k的值为3，该方程的另一根是3． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （2）设方程的两个实数根，，其中，利用根与系数的关系列式，求解即可； 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴k的值为3，该方程的另一根是3． 21. 根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 任务1 根据素材1，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求纸盒的高． 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 任务一：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到万元，列出方程，解方程即可； 任务二：设纸盒的高为，根据底面面积是列出方程，然后解方程即可． 【详解】任务一：解：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务二：设纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：纸盒的高为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分、第23题14分，共27） 22. 【综合与实践】问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交于点． 【特例分析】（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 【探究规律】（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 【拓展延伸】（3）直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【小问1详解】 解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册数学随堂导学训练（三） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 3. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标在第几象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 8. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ） A. 0.8 m B. 1.2 m C. 1.6 m D. 1.8 m 9. 进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D. （0，－1） 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 12. 如图，中，，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则______． 13. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“＞”“＜”“＝”） 14. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为______． 15. 已知点，在抛物线上，则的大小关系是_________ ． 三、解答题（一）本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问： （1）小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． （3）直接写出该方程的根是_____． 17. 如图，的弦，是的中点，且，求的半径． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点顺时针旋转的； （2）在（1）的条件下，求点旋转到所经过的路径长． 四、解答题（二）本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA． （1）求证：ED是⊙O的切线． （2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求实数k的值； （2）若该方程的一个根为1，求k的值和方程的另一个根． 21. 根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 任务1 根据素材1，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，求纸盒的高． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分、第23题14分，共27） 22. 【综合与实践】问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交于点． 【特例分析】（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 【探究规律】（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 【拓展延伸】（3）直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $