精品解析：云南省玉溪市红塔区玉溪第四中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

玉溪第四中学教育集团2025–2026学年上学期12月综合训练 初三数学试题卷 （全卷总分：100分；考试时间120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下面图形中是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件，属于不可能事件的是（　　） A. 旭日东升 B. 某个数的相反数等于它本身 C. 任意一个五边形的外角和等于540° D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 3. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 的直径为10，圆心到直线的距离为6，下列位置关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系是() A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△，若点恰好落在线段上，、交于点D，则等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 10. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正五边形ABCDE内接于，点F为上一点，则∠EFC的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 12. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，圆锥的底面半径r为，高h为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每题2分，共8分） 16. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 17. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为3，则________． 18. 已知是关于的反比例函数，在每个象限内，随的增大而增大，则的值是_____． 19. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 解下列方程： （1）. （2）. 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）在第（1）问的条件下，画出绕点顺时针方向旋转后的图形． （3）求在（2）的旋转过程中，点旋转到所经过的路径长（结果保留） 22. 随着电视剧《去有风的地方》的热播，“跟着许红豆吃大理鲜花饼”“今年春节一起来云南旅游”“总要去一趟有风的地方”等相关话题词席卷各大社交平台，剧集的热播让云南的风吹进了都市人的心头，小芳和小刚分别从电视剧取景地： 沙溪古镇、： 凤阳邑村 ： 喜州古镇、： 海舌公园中随机选择一处进行旅游打卡． （1）小芳在这4个取景地中随机前往1处进行旅游打卡，则她选中沙溪古镇的概率为  ； （2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小芳和小刚恰好选择同一个取景地打卡的概率． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 24. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 25. 昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量（盆）与销售单价（元/盆）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润（元）的最大值． 26. 已知关于 的二次函数． （1）求证：不论为任何实数，方程 总有实数根； （2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点 与 在抛物线上（点 不重合），且，求代数式 的值． 27. 如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）连接，若，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪第四中学教育集团2025–2026学年上学期12月综合训练 初三数学试题卷 （全卷总分：100分；考试时间120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下面图形中是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 下列事件，属于不可能事件的是（　　） A. 旭日东升 B. 某个数的相反数等于它本身 C. 任意一个五边形的外角和等于540° D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件和确定事件的定义分析，即可得到答案． 【详解】解：A. 旭日东升，是必然事件，故不符合题意； B.某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故不符合题意； C.因为任意一个五边形的外角和都等于360°，所以该选项是不可能事件，故符合题意； D.汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯，是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查随机事件和确定事件的定义，熟记相关定义是解题的关键． 3. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积等于，进行判断即可． 【详解】解：A、，故在反比例函数图象上，不符合题意； B、，故在反比例函数图象上，不符合题意； C、，故在反比例函数图象上，不符合题意； D、，故不在反比例函数图象上，符合题意； 故选D． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】由抛物线可得：顶点坐标是， 故选：． 5. 的直径为10，圆心到直线的距离为6，下列位置关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是能熟练地运用直线与圆的位置关系的性质进行判断．根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 圆心到直线的距离为6， ，即：， 直线与的位置关系是相离，D选项符合题意． 故选：D． 6. 在一个不透明的布袋中装有4个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是，则为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，根据摸到黄球的概率等于黄球的个数除以球的总数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：C． 8. 已知点，在反比例函数的图象上，则的大小关系是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键； 根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△，若点恰好落在线段上，、交于点D，则等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和得出，根据旋转的性质得出，，，再求出，进而，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正确得出旋转角是解题的关键． 10. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 11. 如图，正五边形ABCDE内接于，点F为上一点，则∠EFC的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】连接EC，根据圆内接四边形性质定理可知，再利用五边形ABCDE是正五边形，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接EC， ∵CDEF是圆内接四边形， ∴， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形性质定理，正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ． 故选：C． 13. 如图，圆锥的底面半径r为，高h为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由圆锥底面半径 ，高， 根据勾股定理得到母线长， 根据圆锥的侧面积公式得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积，勾股定理，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 14. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， 设半径为，则， ，，， ， ，， ， ． 的内切圆的半径为2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每题2分，共8分） 16. 点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为3，则________． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得△AOB的面积等于|k|=3， 解得k=±6， ∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二和第四象限， ∴k=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键． 18. 已知是关于的反比例函数，在每个象限内，随的增大而增大，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数是反比例函数， 则指数部分， 解得， 又因为在每个象限内随的增大而增大， 所以系数，即． ∴． 故答案为：． 19. 唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：设半径为，则， ， ， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子半径为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分62分） 20. 解下列方程： （1）. （2）. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用配方法即可求解； （2）先整理得，再利用因式分解法即可求解； 熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项，得：， 配方，得：， 开方得：， 解得：，． 【小问2详解】 方程整理得：， 即：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点的中心对称图形； （2）在第（1）问的条件下，画出绕点顺时针方向旋转后的图形． （3）求在（2）的旋转过程中，点旋转到所经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） ； （2） ，如下图 （3） 【解析】 【分析】此题考查了多边形中心对称图和图形旋转的问题，弧长公式，解题关键在于将多边形转化成点与点或边与边的思维求解． （1）根据的三个顶点坐标分别为，，分别作出关于点中心对称后的，连接后可得； （2）把线段和分别绕点顺时针旋转得到线段，，连接点即可得到； （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：的三个顶点坐标分别为， 作点关于点的中心对称点 作点关于点的中心对称点 作点关于点的中心对称点 连接得到； 【小问2详解】 解：把线段和分别绕点顺时针旋转得到线段，，连接点即可得到， 【小问3详解】 ，， ∴点旋转到所经过的路径长为：． 22. 随着电视剧《去有风的地方》的热播，“跟着许红豆吃大理鲜花饼”“今年春节一起来云南旅游”“总要去一趟有风的地方”等相关话题词席卷各大社交平台，剧集的热播让云南的风吹进了都市人的心头，小芳和小刚分别从电视剧取景地： 沙溪古镇、： 凤阳邑村 ： 喜州古镇、： 海舌公园中随机选择一处进行旅游打卡． （1）小芳在这4个取景地中随机前往1处进行旅游打卡，则她选中沙溪古镇的概率为  ； （2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小芳和小刚恰好选择同一个取景地打卡的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算及列表法或树状图法求概率： （1）利用概率公式即可求解； （2）先根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解； 熟练掌握概率公式及会根据题意画出树状图是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意得：随机前往1处旅游地可有4种情况，小芳在这4个取景地中选中沙溪古镇打卡有1种情况， 她选中沙溪古镇的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 画出树状图如图所示： 则共有16中等可能的结果，其中小芳和小刚恰好选择同一个取景地打卡的有4种情况， 小芳和小刚恰好选择同一个取景地打卡的概率为． 23. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，勾股定理． （1）根据三角形的内角和定理得出，根据旋转的性质得出，，最后根据等腰三角形的性质，即可解答； （2）根据勾股定理得出，根据旋转的性质得出，进而得出，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到 ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ， ． 24. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可； （2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ． ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为． 点和点在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数表达式为， (2)点坐标为，点坐标为， 不等式解释函数的图像在函数图像的上方， ∵满足条件的图像部分是在B点右侧,y轴左侧或A点右侧， 不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键． 25. 昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量（盆）与销售单价（元/盆）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润（元）的最大值． 【答案】（1），自变量的取值范围是；（2）这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据，可知该函数为一次函数，过点（80，60），（110，30），然后代入函数解析式，即可得到y与x之间的函数关系式，再根据每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．即可得到x的取值范围； （2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，将函数关系式化为顶点式，即可得到这一天销售兰花获得的利润w（元）的最大值． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为， 把（80，60）和（110，30）代入，得 ， 解得； ∴y与x之间的函数关系式为， ∵每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍． ∴60≤x≤120， 由上可得，y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意，得 ； ∵ ∴当时，w有最大值，为1400． 答：这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出一次函数解析式，利用二次函数的性质求出w的最大值． 26. 已知关于 的二次函数． （1）求证：不论为任何实数，方程 总有实数根； （2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点 与 在抛物线上（点 不重合），且，求代数式 的值． 【答案】（1） 证明：由题意可知， ∵ ∴此方程总有实数根； 综上，不论为任何实数时，方程总有实数根． （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识； （1）用根的判别式可以直接证明； （2）令，方程可以化为，解得或，又为正整数，可以求解的值，进而可求出函数解析式；点、在抛物线上，且，可将代入解析式联立方程，用含的式子表示出，然后带入代数式化简求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则有 解得：，， 因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数， 所以， 所以抛物线为． ∵点、在抛物线上，且， ∴ ∴ 即：， ∵、不重合， ∴， ∴ ∴ 所以代数式 的值为24． 27. 如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 在中，， ， ， ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题，直径所对的圆周角是直角，切线的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用外角的性质即可求解： （2）连接，只需证即可； （3）过点F作于H，则，先证明四边形平行四边形，再求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， 过点F作于H，则， ， ，即， 在中，， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $