1.3 乘法公式 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

乘法公式 一、单选题 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 3．计算等于（  ） A． B． C． D． 4．如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙地拼接在一起，已知长方形的面积是10，周长为16．那么为正方形和正方形的面积之和是（   ） A．44 B．236 C．48 D．238 5．一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 7．若满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．若，，则的值为（　　） A．44 B．46 C．48 D．52 9．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 10．若，则的值可以是（   ） A．或25 B．或15 C．15 D．20 二、填空题 11．一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是 cm． 12．如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 13．计算 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．已知，则 ． 16．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．计算： (1) (2) (3) (4) 19．利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 20．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B D D A D A 1．B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了完全平方公式的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据直接进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B ． 4．A 【分析】本题考查完全平方公式的应用．设长方形中，，，则，，根据完全平方公式得到，从而根据正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：设长方形中，，， ∵长方形的面积是10，周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 5．B 【分析】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选∶B 6．D 【分析】本题考查多项式乘以多项式并求值，根据多项式乘以多项式的法则，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴ 故选D． 7．D 【分析】该题考查了完全平方公式，代数式求值，利用代数恒等式将平方和转化为已知条件的形式，结合已知条件直接计算． 【详解】解：设，则． ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 由题意知，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了完全平方公式，将右边的式子展开是解决本题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的值为或25． 故选A． 11． 3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 设原正方形边长为，根据面积增加量列方程，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设原正方形边长为，则原面积为，新边长为，根据题意，， 即， 解得． 所以正方形的边长是． 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：大正方形边长为：，面积为：， 也可以用两个小正方形的面积，两个矩形的面积的和表示，即， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查整式乘法计算．根据题意利用多项式得乘法将式子分别乘开，再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查多项式乘多项式化简求值，利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 把代入，原式， 故答案为：． 15．15 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，正确掌握完全平方公式是解题的关键．将已知两个等式根据完全平方公式去括号，相加，再化简即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ①②得：， ∴． 故答案为：． 16．23 【分析】本题考查整式的运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键． 用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， ∵， 原式． 故答案为：23． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查的是利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决此题的关键． （1）利用完全平方公式进行简便运算即可； （2）利用平方差公式进行简便运算即可； （3）利用平方差公式进行简便运算即可； （4）利用平方差公式进行简便运算即可； （5）利用完全平方公式进行简便运算即可； （6）利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、整式乘法的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、乘方、绝对值、零指数幂的性质化简，再合并即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法化简，再合并同类项即可； （3）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）利用完全平方公式、平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）由题意可知，根据，代入即可求得，再根据，代入可得，由，可得，最后根据直角梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，且，， ， 解得． 故的值为； （2）由题意可知，，，且四边形为直角梯形， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 故阴影部分的面积为． 20．(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由题中的已知数量结合图形即可得到图b中阴影部分正方形的边长； （2）①由（1）中所得阴影部分正方形的边长可表达出其面积；②由已知条件结合图形可得图b中大正方形的边长为，由大正方形的面积减去4个小矩形的面积可得阴影部分的面积； （3）由（2）中阴影部分小正方形面积的两种不同表示方法即可得到三个式子间的数量关系； （4）应用（3）中所得数量关系进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得图b中阴影部分的小正方形的边长为：； 故答案为：； （2）解：方法1：由（1）可知阴影部分的小正方形的边长为， 阴影部分小正方形的面积为：； 方法2：由题意可得图b中大正方形的边长为：， 阴影部分小正方形的面积为：； 故答案为：； （3）解：由（2）可得：小正方形的面积， 三个式子间的数量关系为：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：， 由（2）中所得数量关系可得：． 故答案为：29． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乘法公式 一、单选题 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 3．计算等于（  ） A． B． C． D． 4．如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙地拼接在一起，已知长方形的面积是10，周长为16．那么为正方形和正方形的面积之和是（   ） A．44 B．236 C．48 D．238 5．一个长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个箱子的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 7．若满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．若，，则的值为（　　） A．44 B．46 C．48 D．52 9．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 10．若，则的值可以是（   ） A．或25 B．或15 C．15 D．20 二、填空题 11．一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是 cm． 12．如图是四张纸片拼成的图形，请利用图形的面积的不同表示方式，写出一个、的恒等式 ． 13．计算 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．已知，则 ． 16．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．计算： (1) (2) (3) (4) 19．利用完全平方公式解答下列各题． (1)若，，求的值； (2)如图，正方形，的边长分别为，，若，，求图中阴影部分（梯形）的面积． 20．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $