精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

龙川一中2025-2026学年第一学期高一年级12月份考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集和交集的定义运算. 【详解】集合，集合， 则，有. 故选：C 2. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 【答案】C 【解析】 【分析】 令，则，由与的图象关于原点对称即可得解. 【详解】解：令，则 与的图象关于原点对称， 与的图象关于原点对称. 故选： 【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 3. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与0和1比较大小即可. 【详解】因为函数在单调递减，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即， 所以. 故选：A. 4. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 6. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 7. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】 写出第一象限角，得到的范围，再讨论k的取值即可. 【详解】因为为第一象限角， 所以， 所以， 当时，，属于第一象限角，排除B； 当时，，属于第三象限角,排除AC； 所以是第一或第三象限角 故选：D 8. 已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数单调性及函数的定义域得不等关系． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意对数函数的定义域． 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，所以不是同一函数，故错误； 对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确； 故选：AD. 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出和的图像依次分析选项即可 【详解】由于，所以，， 分别作出和的图像如下： 所以. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案. 【详解】由可知： ，故， 即函数的定义域为， 故答案为： 13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数为___________．（精确到1°， 【答案】 【解析】 【分析】根据面积和弧长求出圆心角的弧度数，再将弧度转化为度数即可. 【详解】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为，弧长为 ． 一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ，则． 所以这个扇形中心角的度数为 故答案为： 14. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，将不等式化为在上恒成立，再借助函数的单调性建立不等式组求解即得. 【详解】不等式，而， 则在上恒成立，又函数在区间上单调递增， 因此，整理得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）若，求的值； （2）计算的值. 【答案】（1）10；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而运算求解即可； （2）解法一：利用换底公式运算求解即可；解法二：根据结论运算求解. 【详解】（1）因为，则， 整理可得，解得； （2）解法一：； 解法二：. 16. 已知不等式x2+x﹣6＜0的解集为A，不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为B． （1）求A∩B． （2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3＜0的解集． 【答案】（1）（﹣1，2） （2）（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得集合、.由此求得. （2）根据不等式的解集列方程组，解方程组求得的值，进而求解出的解集. 【详解】（1）不等式x2+x﹣6＜0可化为（x+3）（x﹣2）＜0， 解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为A＝（﹣3，2）； 不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为（x+1）（x﹣3）＜0， 解得﹣1＜x＜3，所以不等式的解集为B＝（﹣1，3）； 所以A∩B＝（﹣1，2）． （2）由不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B＝（﹣1，2）， 所以方程x2+ax+b＝0的解﹣1和2， 由根与系数的关系知，，解得a＝﹣1，b＝﹣2； 所以不等式ax2+bx+3＜0化为﹣x2﹣2x+3＜0，即x2+2x﹣3＞0， 解得x＜﹣3或x＞1， 故所求不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 17. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为，再结合奇偶性计算即可得解； （2）由（1）可得在区间上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， 【小问2详解】 由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知定义域为的偶函数，当时. （1）求时，的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【小问1详解】 时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】（1），59 （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年第一学期高一年级12月份考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 3. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 4. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 7. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 8. 已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题．每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 函数的定义域为___________. 13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数为___________．（精确到1°， 14. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）若，求的值； （2）计算的值. 16. 已知不等式x2+x﹣6＜0的解集为A，不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为B． （1）求A∩B． （2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3＜0的解集． 17. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知定义域为的偶函数，当时. （1）求时，的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式的实数的取值范围. 19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $