精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二第二次月考数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. “关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 2. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 3. 直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（       ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（ ） A. 3015 B. 3025 C. 3022 D. 3122 7. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为______. 13. 如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 14. 已知通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（共5小题，共77分) 15. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 16. 在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点.，. （1）求证；； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得面面，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 17. 已知：抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3． （1）求抛物线C方程． （2）设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值． 18. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16. （1）求n为何值时，Sn取得最大值； （2）求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值； （3）求数列{|an|}的前n项和Tn. 19. 已知椭圆上点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形. （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆上两点，为坐标原点，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第二次月考数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. “关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，，且，则（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差， 化简得，解得. 所以. 故选：B. 3. 直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱中，，，为的中点. 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 则，， 设异面直线与所成角为， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，，将代入渐近线方程，得到，联立方程即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以双曲线的右焦点为，即， 又因为抛物线的准线方程为，抛物线准线与一条渐近线交于点， 则， 因为点在第三象限，则点在渐近线上，代入得， 则，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 5. 已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率. 【详解】椭圆的左顶点，设点，则， 且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 所以椭圆的离心率. 故选：A 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（ ） A. 3015 B. 3025 C. 3022 D. 3122 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意得递推公式，再由递推公式结合累加法和等差数列前n项和公式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35， 所以， 所以 ， 则该数列的第45项为. 故选：A. 7. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 8. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质进行判断即可. 【详解】对于A，B，因为，所以，， 则的公差，则，故A错误，B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 面积的最大值为12 C. 存在点P，使得∠ D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据锥体体积的求法，结合条件分析，可判断A的正误；如图建系，求个各点坐标，设，可得坐标，根据夹角的向量求法，结合x的范围，分析计算，结合余弦函数的单调性，即可判断B的正误；分别分析点P在各个平面内时的轨迹，计算各个长度，综合即可判断C的正误；求出平面的法向量，由题意的，结合向量求模公式，分析计算，即可判断D的正误. 【详解】选项A：当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 选项B：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设， 则， 设与所成角为，， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，故B错误； 选项C：已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为， 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 选项D：，设， 则， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 因为平面， 所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故D正确. 故选：AD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆和圆的位置关系得到，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案. 【详解】圆：，圆：内切. 故圆心距，故. 点到直线：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆和圆，圆和直线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13. 如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及中点，得到，结合为的一条渐近线，得到，进而得到，最后在中利用余弦定理得到、之间的关系，最后求出渐近线方程. 【详解】设的右焦点为，连接，. 因为，分别是，的中点，所以． 又直线是的一条渐近线，所以，故． 由双曲线的对称性，得． 由，得． 又，所以，． 在中，由余弦定理得，整理得， 所以，，所以直线的方程为． 故答案为：. 14. 已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分) 15. 已知直线均过点． （1）若直线过点，且，求直线的方程； （2）若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程； （2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：由点和，可得，即 因为，可得，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数， 当直线过坐标原点时，可得，此时直线方程为，即； 当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 【小问3详解】 解：设直线的方程为，则满足， 由，即，解得， 当且仅当时，即时，取等号， 则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为. 16. 在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点.，. （1）求证；； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点P，使得面面，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）设，利用面面求得，由此得出正确结论. 【小问1详解】 由于，M是的中点，所以， 由于平面平面且交线为，所以平面. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以. 【小问2详解】 ，， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设直线与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 若面面，则. 所以存在点使面面，此时. 17. 已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3． （1）求抛物线C的方程． （2）设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)设出抛物线C的方程，求出其准线，再利用抛物线定义计算作答. (2)动直线L不垂直于y轴，令，将L的方程代入抛物线C的方程，借助韦达定理结合已知计算作答. 【小问1详解】 依题意，设抛物线C的方程为：，则其准线为：， 由抛物线的定义得：，解得， 抛物线C的方程：. 【小问2详解】 直线L与抛物线有两个交点B，E，显然L不垂直于y轴，令，则L的方程为：， 由消去x并整理得：，设，， 则，，因此，，， ， 所以为定值-1. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16. （1）求n为何值时，Sn取得最大值； （2）求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值； （3）求数列{|an|}的前n项和Tn. 【答案】（1）9；（2）－50；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列中的值，即可求得d，进而可得通项公式，进而可得an>0时最大n值，即可得答案. （2）根据题意，可得也构成等差数列，代入等差数列前n项和公式，即可得答案 （3）由（1）得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0，分别求得n≤9时的前n项和和n>9时的前n项和，即可得答案. 【详解】解：（1）在等差数列{an}中，a1＝25，a4＝16， ∴公差＝－3. ∴an＝－3n＋28 令an＝－3n＋28≥0且n∈N*，得n≤9. ∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0. ∴当n＝9时，Sn取得最大值． （2）∵数列{an}是等差数列， ∴也构成等差数列， ∴a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20＝＝10a11＝10×(－3×11＋28)＝－50. （3）由（1）得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0. ∴当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an ＝ 当n>9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝2S9－Sn ＝ 所以 【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列的通项、求和公式，并灵活应用，求解{|an|}的前n项和，应判断{an}的各项的正负，再去掉绝对值求解，属中档题. 19. 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形. （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况. 【小问1详解】 由题意可得，， 又因为椭圆中，所以，，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设，，直线方程为， 联立得， ，即， 所以，， 因为，所以， 又因为 ， 所以，即， 所以， 因为，所以，即， 当直线斜率不存在时，设，，，且， 所以，解得， 又因为在椭圆上，则， 所以，， 所以， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $