精品解析：甘肃省陇南市宕昌县2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

陇南市宕昌县2025-2026学年高三上学期12月联考检测数学试卷 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案编号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 (其中 为虚数单位)，则 （ ） A. B. C. D. 2 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知，，向量与的夹角为 ，则（ ） A. -5 B. 5 C. 10 D. -10 5. 已知点，则以为直径圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则 ①以线段为直径的圆与准线相切； ②以为直径圆经过焦点； ③，，（其中点为坐标原点）三点共线； ④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切； 则以上说法中正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 11. 已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 若，则 D. 数列为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据，，，，的平均数为，则该样本的方差为______. 13. 在中，，，其面积为，则______. 14. 已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则______． 四、解答题：本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，点是棱上一点，且平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知直线的方程为：. （1）求证：不论何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇南市宕昌县2025-2026学年高三上学期12月联考检测数学试卷 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案编号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 一、选择题：本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 (其中 为虚数单位)，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用复数除法的运算法则化简复数的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得或，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 因，所以. 故选：C. 3. 已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（ ） A. B. 1 C D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式，再代入求解即可． 【详解】由扇形面积公式， ，解得， 则扇形的圆心角为1． 故选：B． 4. 已知，，向量与的夹角为 ，则（ ） A. -5 B. 5 C. 10 D. -10 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的定义得到，从而得到的值. 【详解】，，， 所以， 故选：D. 5. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 6. 已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线与交于两点，若（为坐标原点，表示面积），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设直线方程再联立方程组，结合韦达定理及面积关系列式求出离心率即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则直线的方程为， 设，由 得，因为点在的内部，所以， 又，所以， 将代入，可得， 再将代入，可得，又，所以， 故的离心率． 故选：D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案. 【详解】如图．设，，则， ，在中由勾股定理： ，解得：， 在中，由勾股定理： 解得：，所以， 所以渐近线方程：. 故选：A． 8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则 ①以线段为直径的圆与准线相切； ②以为直径的圆经过焦点； ③，，（其中点为坐标原点）三点共线； ④若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断②；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设，则， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确； 对于②，连接，如图， 因为，， 所以，所以， 所以即， 所以以为直径的圆经过焦点，故②正确； 对于③，设直线，， 将直线方程代入抛物线方程化简得，，则， 又， 因为，， 所以，所以，，三点共线，故③正确； 对于④，不妨设，则， 则直线，代入抛物线方程化简得， 则， 所以直线与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线； ②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题. 二、多项选择题：本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分. 9. 已知，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过切化弦结合同角三角函数基本关系式、两角和差公式、二倍角公式，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A：由两角和的正切公式，. 因为锐角，，故，A正确. 选项B：由，得. 结合，代入得， 即，解得（为锐角，取正），， B错误. 选项C：由，得. 结合， 得，即，解得，（为锐角，取正）， ，则，C正确. 选项D：由选项BC得，；，. 则，D错误 故选：AC 10. 下列有关说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种 C. 若，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3； 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质可判定A，应用分组分配结合排列组合计算判断B，采用赋值法令可计算出C正确；应用指对数运算结合回归方程判断D. 【详解】对于A，设随机变量服从正态分布， 若，则曲线关于对称，则，故A正确； 对于B：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去， 则不同的安排方法有种，B选项错误； 对于C， 令，可得， 令，可得， 即可得，即，C正确； 对于D：，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，D正确； 故选：ACD. 11. 已知数列的前n项和为．对任意正整数M，记，其中，记，则（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 若，则 D. 数列为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，，当时，，将条件代入计算，即可判断A的正误；当时，，不等式成立，当时，先求得，构造数列，根据数列的单调性，分析即可得证，即可判断B的正误；先求得的表达式，根据M在二进制中的意义，进而可得的意义，综合分析，即可判断C的正误；先求得，根据其意义，可得，根据等差数列的定义，即可判断D的正误； 【详解】选项A：当时，， 当时，， 所以，故A正确； 选项B：当时，，不等式成立， 当时，， 令，则， 所以， 易得当时，恒成立， 则数列在且上单调递增， 又， 所以，即，， 综上，，，故B正确； 选项C：， 其中，则表示二进制中1的个数， ， 此时的二进制表示会因为乘以2k而发生位数扩张与数字重组，即为原来的2k倍， 所以，故C错误； 选项D：因为，所以，， 所以， 因为的二进制表示为， 所以，则 因为 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若样本数据，，，，的平均数为，则该样本的方差为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数公式求出，再由方差公式即可求得答案. 【详解】因为样本数据的平均数为，则，解得， 所以方差. 故答案为：. 13. 在中，，，其面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，则， 又，则，即， 因为，所以，所以， 由余弦定理得到， 所以. 故答案为：. 14. 已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】分析得到，构造法求出，分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】若质点Q位于平面的顶点处，再移动一次， 有的概率会位于平面的顶点处，有的概率位于平面的顶点处， 由题意得， 设，则，所以， 解得，所以， 又，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题， 15 题 13 分， 16、17 题 15 分， 18、19 题 17 分， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案； （2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知函数是定义在上的奇函数， 故，且， 则， 即得，则，故， 则，（舍）； 【小问2详解】 由（1）可得， 函数在上单调递减， 时，函数在上单调递增， 故在上单调递减， 由可得，即， 则，即，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由题设有恒成立，结合判别式列不等式求参数范围； （2）对函数求导，分类讨论参数，研究导数符号确定对应单调区间即可. 【小问1详解】 因为为增函数，所以在上恒成立， 所以，则，可得. 【小问2详解】 ， 所以， 当时，则增区间为，无减区间； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间为； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间； 综上： 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，无减区间； 当时，增区间为和，减区间为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，点是棱上一点，且平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作，交于点，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得到平面，从而可证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算，最后再由同角的三角函数关系可得. 【小问1详解】 证明：过作，交于点， 在梯形中，，所以，所以， 连接，则平面平面， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以. 【小问2详解】 如图，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则， 由（1）知，所以四边形是平行四边形，，即分别是，的中点， 所以， 设平面的法向量为， 因为，所以， 取得. ，设平面的一个法向量为， 则， 取，则平面的一个法向量， 设平面与平面所成二面角为，则. 故. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为是边长为的正三角形，所以， 在菱形中，，则为等边三角形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则. 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 因为，记直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知直线的方程为：. （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标. （2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值. 【小问1详解】 由，可得， 令，所以直线过定点. 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $