数学一模保分卷02（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C B C C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）8联中随机取出4联，有种取法， 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法， 所以这4联可以凑成甲对联的概率为...........................6分 （2）的所有取值可能为0，1，2. ，，. 的分布列为 X 0 1 2 P ............................13分 16．（15分） 【详解】（1）连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积............................4分 （2）如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以............................10分 （3）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，取 所以点到平面的距离为............................15分 17．（15分）. 【详解】（1）因为椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为， 所以，解得，则，即， 解得或（舍去），则；...........................4分 （2）时，直线与曲线有交点， 即直线与双曲线有交点， 双曲线的渐近线方程为： 如图所示： 直线过定点，又，，且， 所以；..........................9分 （3）因为， 所以， 则， 又*， ， 因为双曲线的渐近线方程为，且， 所以直线与双曲线不相交， 故MN为直线与椭圆的交点， 由，消去y得， 由韦达定理得，代入*式， 得， 令，则， 易知在上单调递增，所以， 则，所以..........................15分 18．(17分） 【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）．...........................5分 （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为．..........................11分 ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故，故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故．...........................17分 19．(17分) 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． 根据题意可得．...........................4分 （2）解：，则 记① ②， ①②得， ， 故（或）．...........................10分 （3）解：依题意得． 不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立． 设，则， 所以 ， 又，所以， 所以数列单调递增，则， 所以，即的最大值为．...........................17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 尽 1.已知全集U=Z,集合A={x∈Z2x-3引≤7}，B={1,3,4,5,6,则图中阴影部分表示的集合为( B A.{6 B.1,6} c.1,3,4,5} D.{2,4,6} 2.已知复数z是虚部为正数的纯虚数，且满足：+2-i,则日=() A.1 B.2 C.1或2 D.3 3.若x,x2是关于x的一元二次方程x2+x+2-m=0的两个实根，则“m=2”是“x+x=4”的（) : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 拟 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=CD=DA=2,AC与BD交于点O,记 O 1=0A.0B,1,=OB.OC,1=OC.OD,( : : : E A.I1<I2<3B.I1<I3<I2 C.I2<I1<13 D.I3<I1<2 .: : 5.已知函数f)=+2 若实数a,b满足f(a2)+f(2b2-3)=2,，则a1+b2的最大值为() 试题第1页（共4页） .: .: ©学科网·学易金卷做怒德：然限是鲁普 A. 3v2 B.√5 c.5 D.72 4 4 4 6.1 知椭圆+ b2 =1(a>b>O)的左、右焦点分别耳，E,M是椭圆上一点，直线M与y轴负半轴交 于点N,若MN呕=0，且M:N=2:3,则椭圆的离心率为() A. B.2 c.5 5 D.6 3 6 7.已知函数f(x)=sin2x,将f(x)的图象向右平移汇个单位长度，得到函数g(x)的图象，若 12 Vae 5π兀 12-4 总存在唯一实数B∈[0，m,使得g(2)+8(B)=0,则实数的取值范围为() 兀π π5π ππ π5π 43 B. 4'12 . C 43 D. 412 8.已知球O是正三棱锥P-ABC的外接球，△ABC是边长为√5的正三角形，PC=√5，E为AB边上的一 点，且PB与平面ABC所成角的正切值为8V7 若过点B的球0的截面面积为3江，则O与该截面所成的 16 角为() π A. c.牙 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线：y=+2k+2(k∈R),圆C:x2+(y-1)=9,则下列说法正确的是()· A.直线1过定点(-2,2) B.圆心C到直线l距离的最大值是2√2 C.直线1被圆C截得的弦长最小值为4 D.若点P(,n)在圆C上，则m2+2的取值范围为[4,16 10.若实数a,b满足a+e=b+lnb=4,则(). A.alnb+blna>1 B.alnb+blna<1 C.ab<4 D.ab>e 11.如图，在五面体ABCDEF中，底面CDEF是边长为2的正方形，AE=AF=BD=BC,AB/1平面 CDEF,AB=1,AB到底面的距离为√2，点S为BC的中点，点P在四边形CDEF内部（含边界).则下列 选项中正确的是() 4 P. 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒機：就限是鲁普 A.该五面体的体积为4V2 3 B.存在点P,使得SP//平面ABDE C.存在点P,使得AP+BP= 2 D.若BP三多，则点P的轨迹长度为元 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知M是抛物线C:x2=6y上的动点，N是圆E:(x-1)2+(y-4)2=4上的动点，若C的焦点为F,则 MF+MW的最小值为 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b2+3c2-a2=2 ab sinC,则cosA=__ 14.已知M={k|a=b},4,b,不为常数列且各项均不相同，下列正确的是_.①a。,b,均为等差 数列，则M中最多一个元素：②4，bn均为等比数列，则M中最多三个元素；③a,为等差数列，b,为等 比数列，则M中最多三个元素：④a.单调递增，b单调递减，则M中最多一个元素 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文 学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联 和下联共8联)中随机取出4联（上联或下联）· (1)求这4联可以凑成甲对联的概率： (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 16.(15分)如图1，在△ABC中，AB-5C-2,B-,B为AC的中点，现将△ABC及其内部以边 AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C'为圆 O上任意一点. E E O。 图1 图2 图3 (1)求新的几何体的体积； (2)记EC'与底面OCC所成角为6，求s0的取值范围； (B)当<CoC-时，求点A到平面8CC的距离 试题第3页（共4页） 1《分)园，G:日若-0：2列与短曲线：。若产=1作第一家限的公英点为 A(2,y4)曲线T由两段曲线组成：当x≤2时，曲线T与椭圆C重合；当x>2时，曲线T与双曲线C,重合. 已知直线1的方程为y=+1(k>0) YA (1)求b的值； (2)若x≥2时，直线1与曲线Γ有交点，求k的取值范围： :: (3)若k≥l,直线I与曲线T交于M、N两点，且SAw=n∠MAN,求实数元的取值范围 游 分》已知函数fd)x+xm(ameR),x=2是函数的一个极 (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数∫(x)有三个零点x,x2,x,且x1<x2<x· ①求实数m的取值范围； ②求证：x+x2+x3>2. 19.(17分)已知bn}为正项数列，b=1,2b+8b.=bb1+4bn·在b,与b1之间插入n个7，构成数列 {an}:b,7,b2,7,7,b,7,7,7,b4,….设b=4. 世 (1)求{b},{cn}的通项公式. =1 (3)设k。=21og2b1,数列 的前n项积为P,数列{k.+1}的前n项积为Q.若不等式n·2.≥√2n+2 对任意neN恒成立，求的最大值. 试题第4页（共4页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 2．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 3．若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 11．如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）.则下列选项中正确的是（   ） A．该五面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为 . 13．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 14．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .①，均为等差数列，则中最多一个元素；②，均为等比数列，则中最多三个元素；③为等差数列，为等比数列，则中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则中最多一个元素. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 16．（15分）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围； (3)当时，求点到平面的距离. 17．（15分）如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. (1)求的值； (2)若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； (3)若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 19．（17分）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知全集U=Z,集合A={x∈Z2x-3引≤7}，B={1,3,4,5,6},则图中阴影部分表示的集合为() U B A.6 B.1,6} C.{1,3,4,5} D.{2,4,6} 2.已知复数：是虚部为正数的纯虚数，且满足+2-1，则-() A.1 B.2 C.1或2 D.3 3.若x,x2是关于x的一元二次方程x2+x+2-m=0的两个实根，则“=2”是“x+x子=4”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=CD=DA=2,AC与BD交于点O,记 1=0A.0丽，，=O8.0元，，=00.0D,则() A.I<I2<I B.I<I3<I2 C.I2<I1<I3 D.I<I<I 115 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5.已知函数fx)=x+2 若实数a,b满足f()+f(2b2-3)=2,则a√1+b2的最大值为() 2*+1 A.32 B.√ c.55 D.72 4 4 4 6已知精圆+片-a>办>0的左、右焦点分别子，￡，M是精圆上一点，直线远与轴负半轴胶 于点N,若M·匠=0，且M:NE=2:3,则椭圆的离心率为() A.3 B. c.5 D.6 3 5 6 7.已知函数f()=sin2x,将f(0的图象向右平移正个单位长度，得到函数g)的图象，若 5π兀 总存在唯一实数B∈[0，m],使得g(a)+8(B)=0,则实数m的取值范围为() A[到 B.i c π5π 412 8.已知球O是正三棱锥P-ABC的外接球，△ABC是边长为V3的正三角形，PC=√5，E为AB边上的一 点，且8与平百A8C所成角的正切值为89若过点压的螺O的我面面积为 ，则O与该截面所成的 3 > 角为() c D.z 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线：y=k+2k+2(k∈R),圆C:x2+(y-1)=9,则下列说法正确的是()· A.直线1过定点(-2,2) B.圆心C到直线l距离的最大值是2√2 C.直线1被圆C截得的弦长最小值为4 D.若点P(,m)在圆C上，则m2+n2的取值范围为[4,16] 10.若实数a,b满足a+e=b+lnb=4,则(). A.alnb+blna>1 B.alnb+blna<l C.ab<4 D.ab>e 11.如图，在五面体ABCDEF中，底面CDEF是边长为2的正方形，AE=AF=BD=BC,AB/平面 CDEF,AB=I,AB到底面的距离为√2，点S为BC的中点，点P在四边形CDEF内部（含边界）.则下 列选项中正确的是() 215 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D A.该五面体的体积为4 3 B.存在点P,使得SP//平面ABDE C.存在点P,使得AP+BP= 2 D.若BP=号，则点P的轨迹长度为灭 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知M是抛物线C:x2=6y上的动点，N是圆E:(x-1)2+(y-4)2=4上的动点，若C的焦点为F,则 |MF+W的最小值为 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b2+3c2-a2=2 ab sin C,则cosA= 14.已知M={ka,=b},a,b,不为常数列且各项均不相同，下列正确的是一.①a,b.均为等差 数列，则M中最多一个元素；②a,b.均为等比数列，则M中最多三个元素：③a,为等差数列，b,为等 比数列，则M中最多三个元素；④a单调递增，b,单调递减，则M中最多一个元素， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性 文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上 联和下联共8联)中随机取出4联（上联或下联） (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 315 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)如图1，在△ABC中，AB=BC=2,∠B=2 ,B为AC的中点，现将△ABC及其内部以边 AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C'为圆 O上任意一点. O. 图1 图2 图3 (1)求新的几何体的体积： (2)记EC'与底面OCC'所成角为0，求sin0的取值范围： (3)当∠COC"=匹时，求点A到平面BCC的距离. 7.《15分)复阁，箱风C:苔+言=02同列与双线的： 存少=1在第一象限的公共点为 A(2,y4).曲线T由两段曲线组成：当x≤2时，曲线T与椭圆C,重合；当x>2时，曲线T与双曲线C,重合. 己知直线1的方程为y=c+1(k>0). (1)求b的值： (2)若x≥2时，直线l与曲线有交点，求k的取值范围： (3)若k≥1，直线l与曲线T交于M、N两点，且SAw=tan∠MAN,求实数1的取值范围. 415 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 7分)已知函数fx)=-a+x2-u(am∈R,x=2是函数f(x)的一个 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有三个零点x1,x2,,且：<x2<x3 ①求实数m的取值范围： ②求证：x+x2+x,>2 19.(17分)己知bn}为正项数列，b=1,2b好+8b.=bb1+4b+1·在bn与b.1之间插入n个7，构成数列 {a}:b,7,b2,7,7,b,7,7,7,b4,….设b。=a. (1)求b},{c}的通项公式. ②四设t=bc,求立1 i=1 (3)设k.=21og,b,数列 1 的前n项积为Pn,数列{k.+1}的前n项积为2.若不等式P.·Q.≥√2n+2 对任意neN恒成立，求的最大值. 515 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 2．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 3．若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 11．如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）.则下列选项中正确的是（   ） A．该五面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为 . 13．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 14．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .①，均为等差数列，则中最多一个元素；②，均为等比数列，则中最多三个元素；③为等差数列，为等比数列，则中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则中最多一个元素. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 16．（15分）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围； (3)当时，求点到平面的距离. 17．（15分）如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. (1)求的值； (2)若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； (3)若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 19．（17分）已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，结合集合计算即可得. 【详解】由题意可得：， 可得，所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 2．已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【分析】设，代入，得到，计算求出的值， 利用求出. 【详解】设，代入， 得到，解得， 即，故，即， 解得或－2，因为，所以，故. 故选：A． 3．若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由是关于的方程的两个实根， 所以， 所以， 当时，方程为，解得，； 反之，当时，，即，解得或， 当时方程为，判别式，方程无实数根，不合题意，所以. 综上：“”是“”的充要条件. 故选：C 4．如图，在四边形中，，，，与交于点，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据对角线向量定理，可得角的类别以及线段长度的大小关系，根据向量点乘积的计算公式，可得答案；法二：根据对角线向量定理，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由对角线向量定理得, 故为锐角，设点为的中点， 而，故为钝角， 且. 法一： ，， ，则，即. 法二：因为，， ，故； 所以， 而， 由，则，所以. 故选：B． 5．已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解. 【详解】一方面由题意有， 另一方面若有成立， 结合以上两方面有， 且注意到， 所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增， 若，则只能， 因此当且仅当； 又已知， 所以，即， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解. 6．已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 7．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得,因为所以，故，总存在唯一实数，使得，即，总存在唯一实数，使得，故而可得，即可得解. 【详解】由题意可得， 因为所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得， 即，总存在唯一实数，使得. 因为，所以 因为总存在唯一实数使得，所以，即. 故选：B. 8．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 所以为与平面所成角，故，， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ）. A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长最小值为 D．若点在圆上，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时（圆心到直线的距离）取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆截得的弦长最小值，可判断C选项；分析可得，利用圆的几何性质求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线过定点，A对； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C对； 对于D选项，如下图所示： 由题意可知，圆的圆心为，且该圆的半径为， 由圆的几何性质可得，， 即，故，D对. 故选：ACD. 10．若实数a，b满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造，得到在上单调递增，结合零点存在性可得，，，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，， 所以，，故，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，故，D正确； 故选：ACD 11．如图，在五面体中，底面是边长为的正方形，，平面，，到底面的距离为，点为的中点，点在四边形内部（含边界）.则下列选项中正确的是（   ） A．该五面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】通过作辅助线将五面体分割成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥求体积即可；利用面面平行的判定定理证明平面平面，由此判断即可；作出点的对称点，再结合三角形三边关系判断；判断点轨迹求解. 【详解】对于A选项，取中点，作，垂足分别为 ，作,分别交于，交于，可将五面体拆分成直三棱柱，四棱锥和四棱锥，如图所示. ，为中点，， 四边形为正方形，，又， 平面平面， 又平面，. 平面，平面， 同理可得，平面，. ， 则. ， ， ，故错误. 对于选项，取中点，连接. 分别为中点，四边形为正方形， ，平面，平面， 平面，平面，又平面， 平面平面， 则当时，平面，此时平面，所以正确. 对于选项，作点关于平面的对称点，连接， 关于平面对称，， （当且仅当三点共线时取等号）， 到平面的距离为，，又， ，则， 即不存在点，使得，故错误 .对于选项，因为点到平面的距离 所以，则点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部（含边界）的部分，作出正方形的平面图如下所示， 所以点的轨迹长度为，故正确. 故选：. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【详解】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理、基本不等式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理得，， 即，且， 则，当且仅当时取等号， 又， 因为，所以，所以 所以， 所以，所以， 故. 故答案为： 14．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .①，均为等差数列，则中最多一个元素；②，均为等比数列，则中最多三个元素；③为等差数列，为等比数列，则中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则中最多一个元素. 【答案】①③④ 【分析】对②，举例当为偶数时，说明；对①③④，根据等差数列、等比数列的图象特征逐项判断. 【详解】对于①，因为，均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确； 对于②，取，，则，均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误； 对于③，当时，若，则当，如图，直线与最多两个交点， 当，直线与最多一个交点（可参照图中图象），不可能出现三个交点； 若，则可以理解为直线与和交点个数的和， 如图可知，最多三个交点；同理可知时，最多三个交点；故③正确. 对于④，因为为单调递增，为递减数列， 前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率； (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 【答案】(1) (2) 【分析】（1）8联中随机取出4联，有种取法，其中含有甲对联有种取法，可求概率； （2）由X可能的取值，计算对应的概率，结合分布列利用公式求数学期望. 【详解】（1）8联中随机取出4联，有种取法， 取出的4联含有甲对联，剩余的2联在其它6联中选取，有种取法， 所以这4联可以凑成甲对联的概率为...........................6分 （2）的所有取值可能为0，1，2. ，，. 的分布列为 X 0 1 2 P ............................13分 16．（15分）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围； (3)当时，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用割补法来求得新的几何体的体积. （2）作出与底面所成角，求得的表达式，进而求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【详解】（1）连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积............................4分 （2）如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以............................10分 （3）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，取 所以点到平面的距离为............................15分 17．（15分）如图，椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合.已知直线的方程为. (1)求的值； (2)若时，直线与曲线有交点，求的取值范围； (3)若，直线与曲线交于、两点，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆，双曲线在第一象限的公共点为，代入方程求解； （2）由题意得到直线与双曲线有交点，再根据双曲线的渐近线方程为：和，利用数形结合法求解. （3）根据，结合三角形的面积公式得到求解. 【详解】（1）因为椭圆：与双曲线：在第一象限的公共点为， 所以，解得，则，即， 解得或（舍去），则；...........................4分 （2）时，直线与曲线有交点， 即直线与双曲线有交点， 双曲线的渐近线方程为： 如图所示： 直线过定点，又，，且， 所以；..........................9分 （3）因为， 所以， 则， 又*， ， 因为双曲线的渐近线方程为，且， 所以直线与双曲线不相交， 故MN为直线与椭圆的交点， 由，消去y得， 由韦达定理得，代入*式， 得， 令，则， 易知在上单调递增，所以， 则，所以..........................15分 18．（17分）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先求导函数，因为是函数的一个极值点，所以，解得，所以，再利用导数求解函数的单调区间； （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是分别验证函数有三个零点时，必有，反之验证当时，函数有三个零点，故函数有三个零点的充要条件为，进而得到的范围；②先利用极值点偏移证明，又由，故． 【详解】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）．...........................5分 （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为．..........................11分 ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故，故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故．...........................17分 19．(17分)已知为正项数列，．在与之间插入个7，构成数列．设． (1)求的通项公式． (2)设，求． (3)设，数列的前项积为，数列的前项积为．若不等式对任意恒成立，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】（1）由题知，进而根据等比数列定义得，根据得； （2）由（1）知，，进而根据错位相减法求解即可； （3）由题，转化为不等式对任意恒成立，再令，研究其单调性，求解最小值即可得答案. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以． 根据题意可得．...........................4分 （2）解：，则 记① ②， ①②得， ， 故（或）．...........................10分 （3）解：依题意得． 不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立． 设，则， 所以 ， 又，所以， 所以数列单调递增，则， 所以，即的最大值为．...........................17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E E C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $