精品解析：安徽省宿州市萧县城南初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

城南初中九年级数学练习 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5 4. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 5. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高m，则坡面的长度是（　　） A. 6m B. 12m C. 6m D. 6m 6. 下列关于投影的描述，不正确的描述有（ ） A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值 B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图 7. 如图，， 若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 8. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ） A. 不大于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不小于 9. 在菱形中，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 32 D. 16 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 计算：________． 12. 已知，那么函数的图象一定不经过第______象限． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 14. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 三、解答题（每题8分，共16分） 15. 计算： 16. 如图是由若干个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体． （1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图和俯视图； （2）该几何体是由 个小正方体堆成的； （3）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为 ． 四、解答题（每题8分，共16分） 17. 如图，在中，已知，，，求的面积． 18. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． （1）请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． （2）如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 五、解答题（每题10分，共20分） 19. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 六、解答题（12分） 21. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 七、解答题（12分） 22. 瑞光塔位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）． 八、解答题 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． （3）是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城南初中九年级数学练习 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数的增减性，求反比例函数的函数值，求出当时的函数值即可判断A；根据函数解析式可得函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，据此可判断B、C；根据反比例函数的对称性可判断D． 【详解】解：A、在中，当时，，则点在反比例函数的图象上，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随的增大而增大，原说法错误，符合题意； D、由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数正弦值的求法，理解三角函数正弦值的求法是解答关键． 根据三角函数的正弦值的求法来进行计算求解． 【详解】解：中，，，， ， ． 故选：A． 4. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为， 而A （4，3）， ∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 5. 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高m，则坡面的长度是（　　） A. 6m B. 12m C. 6m D. 6m 【答案】D 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， ∴， ∴（米）， 在中，由勾股定理得， （米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度、坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 6. 下列关于投影的描述，不正确的描述有（ ） A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值 B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用投影的定义即可判断． 【详解】解：A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值，说法正确，不符合题意； B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 ，说法正确，不符合题意； C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关，说法错误，符合题意； D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查投影的定义，掌握投影的定义是解题的关键． 7. 如图，， 若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ） A. 不大于 B. 不小于 C. 不大于 D. 不小于 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1，96）故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥． 【详解】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P= ∵图象过点（1，96） ∴k=96， 即P= 在第一象限内，P随V的增大而减小， ∴当P≤144时，V≥． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 9. 在菱形中，，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（ ） A. 8 B. 4 C. 32 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点C作轴于点E，然后证明，设点A的坐标为，可以得到点C和的坐标，代入反比例函数解析式即可解题． 【详解】解：过点C作轴于点E， 则， 设点A的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点和在反比例函数的图象上， ∴， 解得（舍去），， 故选：D． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 12. 已知，那么函数的图象一定不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】利用比例性质正确求得的值，然后根据直线解析式中的的值正确判断直线经过的象限． 【详解】解：当时，根据比例性质，得， 则直线解析式是， 则图象一定经过一、二、三象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系以及比例的性质，熟知一次函数中，当时，函数的图象在一、二、三象限是解答此题的关键． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 三、解答题（每题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值及二次根式的加减，掌握相应的运算法则是关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 16. 如图是由若干个完全相同的棱长为1的小正方体堆成的一个几何体． （1）请在方格中分别画出它的主视图、左视图和俯视图； （2）该几何体是由 个小正方体堆成的； （3）若再添加n个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则n的最大值为 ． 【答案】（1） 解：主视图、左视图、俯视图依次是 ； （2）8； （3）6． 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，注意小正方形的数目及位置是解题关键． （1）根据从正面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1、从左面看从左到右的小正方体分别为3，1，1、从上面看从左到右的小正方体分别为1，3，1，1画出图形即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）根据在最下面一层的第一列、第三列和第四列前分别加上2个小正方体，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，该几何体是由8个小正方体堆成的， 故答案为：8； 【小问3详解】 解：如图，加上6块，得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变． ∴n的最大值为6， 故答案为：6． 四、解答题（每题8分，共16分） 17. 如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 18. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． （1）请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． （2）如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【答案】（1） 如图，点，线段即为所求； （2）小亮影子的长度为 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的性质，中心投影，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）连接，延长交于点，连接，延长交于点，点，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 五、解答题（每题10分，共20分） 19. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式和一次函数表达式． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数， 将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴， 将点，分别代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式． 【小问2详解】 令直线交x轴于点M，如图 将代入，得 ， 解得， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 由图像及，，可知，当或时，． 20. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 六、解答题（12分） 21. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的周长为20，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质、相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 由，可得，从而可证，又因为，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明； 由可得，可证明，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ， 的周长为， 的周长， 的周长为． 七、解答题（12分） 22. 瑞光塔位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，设，则，证明，得到，，根据，得到 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：瑞光塔的高度约为． 八、解答题 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． （3）是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解； （3）由题意作点关于轴的对称点，作直线交轴于，此时的值最大． 【小问1详解】 解：点在直线上， ，则， 点， 点在双曲线上， ， 该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由，得， 或， 当时，；时，， 点， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， 平行于， ， ， ， ． 点在双曲线上， ，且， 在中，，， ； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，作直线交轴于， 则， 此时最大， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，相似三角的判定和性质，勾股定理，轴对称最短，掌握相关知识并能灵活综合应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $