精品解析：湖南省衡阳市衡山县县城三校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年下学期八年级上册数学第二次学情调查测试卷 时长120分钟；满分120分； 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，无理数是指无限不循环小数的实数．根据定义求解即可． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数． 对于A：是无限不循环小数， ∴ 是无理数． 对于B：，是整数， ∴是有理数． 对于C：是分数， ∴是有理数． 对于D：是有限小数， ∴是有理数． ∴ 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算和乘法公式，涉及同底数幂的乘除法则和完全平方公式、多项式乘法等基础知识，关键是熟练应用知识点； 由同底数幂乘法、除法、多项式乘法公式即可一一判断． 【详解】逐项分析： ∵ ， ∴ A错误； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ，符合完全平方公式， ∴ C正确； ∵ ， ∴ D错误 综上，故答案为：C． 3. 下列命题中：①有两个角为的三角形一定是等边三角形；②等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；③两个全等的三角形一定关于某直线对称；④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，根据等边三角形的判定方法对①进行判定；根据等腰三角形的性质和三角形外角性质对②④进行判定；根据轴对称的定义对③进行判定． 【详解】解：有两个角为三角形一定是等边三角形，所以①正确； 等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，所以②正确； 两个全等的三角形不一定关于某直线对称，所以③错误； 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高线和底边上的中线相互重合，所以④错误． 故选：A． 4. 如图，已知，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理AAS能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出，故本选项不符合题意； C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； D．，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 若，，则的值等于（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的除法，积的乘方，逆用幂的运算法则，将 表示为 ，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：D. 6. 小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴“█”所表示的式子是， 故选：B． 7. 等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据两个非负数的和为零，从而可求得a与b的值，从而可求得等腰三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴等腰三角形的两腰长不可能是3， ∴等腰三角形的两腰长为6，底边长为3， 从而其周长为， 故选：B． 8. 若成立，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】∵ ∴x-2≤0 ∴ 故选A． 【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法． 9. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 10. 如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 根据题意，得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13. 命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是 ___命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到底边上的中线也是顶角的平分线即可得到答案． 【详解】解：根据等腰三角形的三线合一的性质可得：等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合， ∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴“等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等”是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握三线合一定理和角平分线的性质． 14. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质、解一元一次方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．先根据平方根的性质列方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， 故答案为：3． 15. 定义a*b＝a（b+1），例如2*3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）*（x+1）的结果为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案． 【详解】（x﹣1）*（x+1） 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 16. 实数的小数部分是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴实数的小数部分是， 故答案为：． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ACE的周长是12cm，则△ABC的周长是_________． 【答案】17cm 【解析】 【详解】试题解析：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵△ACE的周长是12cm， ∴AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=12cm， ∵AB=AC=5cm， ∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=5+12=17（cm）． 18. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、与图形有关的规律探究等，正确理解题意是解题关键．由题意可知，第1个黄金三角形的腰长为1，第2个黄金三角形的腰长为，第3个黄金三角形的腰长为，…，依次类推，即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，第1个黄金三角形的腰为， ∴第1个黄金三角形的腰长为1； 第2个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第2个黄金三角形的腰长为； 第3个黄金三角形的腰为，且， ∴，即第3个黄金三角形的腰长为； …， 依次类推，第n个黄金三角形的腰长为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24每题9分，第25-26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，33 【解析】 【分析】先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，灵活利用平方差公式，完全平方公式计算是解题的关键． 22. 已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． （1）直接利用平方根，立方根，以及估算无理数的大小求出a，b，c即可； （2）把a，b，c的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：是的平方根， ， ， ， 是的立方根， ， ， ， ，而c是的整数部分， ， ，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， 23. 如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：为等腰三角形，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形结合外角性质推导角度是解题关键． （1）等腰三角形中，有一个内角为，则该三角形是等边三角形，据此选择适当条件证明三角形全等即可． （2）根据三角形全等可得对应角相等，再结合三角形的外角性质可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 是的一个外角， ， 将代入上式，可得， 是等边三角形， ，即． 答：． 24. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）根据得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 两次摆动中点和的高度差的长为． 25. 如图，在学习“整式乘法”的数学实践课上，小郑用4个长为，宽为的小长方形围成了一个大正方形． （1）请认真观察，用不同方法表示阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？并验证它的正确性； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②已知，则的值为___________． 【答案】（1） （2）①，②2 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形、利用提公因式法分解因式的化简求值等知识点，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）阴影部分的面积的两种计算方法：①利用四个长为m，宽为n的长方形面积之和即可得，②利用大正方形（边长为）的面积减去小正方形（边长为）的面积即可得，由此即可得到等式，再利用平方差公式进行说明即可； （2）①先根据（1）中的结论得，代入数据求解即可； ②根据（1）中的结论得，进而可求出的值． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积的两种计算方法： ①其等于四个长为m，宽为n的长方形面积之和，即为， ②其等于大正方形（边长为）的面积减去小正方形（边长为）的面积，即， 所以得到的等式为， 用乘法公式说明成立的过程如下： ， ， ， ； 【小问2详解】 ①由（1）知， ∴ ∵ ∴ ∴ ②由（1）知， ∴ ∴ 故答案为：2． 26. 如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． （1）当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． （2）当，时， ①求证：； ②求证：． （3）如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 【答案】（1）2，4， （2） 证明：①当，时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），或， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，列代数，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论；②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级上册数学第二次学情调查测试卷 时长120分钟；满分120分； 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中：①有两个角为的三角形一定是等边三角形；②等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；③两个全等的三角形一定关于某直线对称；④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 4. 如图，已知，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值等于（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 6. 小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 8. 若成立，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 9. 如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：_____________． 12. 若，则_______． 13. 命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是 ___命题．（填“真”或“假”） 14. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则______． 15. 定义a*b＝a（b+1），例如2*3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）*（x+1）的结果为 _____． 16. 实数的小数部分是______． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ACE的周长是12cm，则△ABC的周长是_________． 18. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于．我们把这样的等腰三角形称作黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形；…以此类推，第n个黄金三角形的腰长是______________． 三、解答题：本题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24每题9分，第25-26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知3是的平方根，2是的立方根，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 23. 如图，已知为等腰三角形，，D、E分别是边、上的点，且满足，连接、交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 25. 如图，在学习“整式乘法”的数学实践课上，小郑用4个长为，宽为的小长方形围成了一个大正方形． （1）请认真观察，用不同方法表示阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？并验证它的正确性； （2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题： ①若，求的值； ②已知，则的值为___________． 26. 如图（1），线段，过点A、B分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动；同时动点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为． （1）当时， ______， ______，用含a的代数式表示的长为______． （2）当，时， ①求证：； ②求证：． （3）如图（2），将“过点A、B分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $