专题01 三角形（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形 题型1 三角形的基本定义 题型10 用SSS判定三角形全等（重点） 题型2 三角形内角和（重点） 题型11 三角形的稳定性 题型3 直角三角形的性质 题型12 用ASA判定三角形全等（重点） 题型4 三角形的分类 题型13 用AAS判定三角形全等（重点） 题型5 三角形三边关系及其应用（难点） 题型14 用SAS判定三角形全等（重难点） 题型6 三角形的高、中线、角平分线（重点） 题型15 尺规作图：利用全等作三角形（常考点） 题型7 三角形的重心 题型16 选择合适的方法判定三角形全等（难点） 题型8 三角形的角度计算（难点） 题型17 三角形全等的实际应用（重点） 题型9 全等三角形的性质及应用 题型1 三角形的基本定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．三角形具有稳定性，原说法错误； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误； C．重心是三角形三条中线的交点，中线始终在三角形内部，因此重心必在内部，原说法正确； D．直角三角形有三条高，两条直角边分别作为对方的高，以及斜边上的高，原说法错误； 故选C． 题型2 三角形内角和（共3小题） 4．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理将已知条件进行代换是解题的关键． 利用三角形内角和定理，将给定条件代入即可求解． 【详解】∵ （三角形内角和定理），（已知）， ∴， 即， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类．理解和掌握三角形的分类是解题的关键． 根据三角形内角和定理，利用角度比求出最大角，判断三角形类型． 【详解】解：设三个内角分别为， 则， 解得：， 最大角为 因此三角形是钝角三角形． 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在中，若，则一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，以及三角形的分类． 利用三角形内角和定理，结合已知条件，代入内角和方程求解，得出，从而判断三角形形状． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴ ． ∴ 是直角三角形． 故选：B． 题型3 直角三角形的性质（共3小题） 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 8．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的知识，先将两个直角三角形分开求解出的度数，再利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：在中，可求得， 在中，可求得， 则在四边形中， ， 所以的度数为． 故答案为． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若三角形分别满足以下条件：① ，；②；③；④；⑤，则能判断直角三角形的是__________（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定，关键是应用三角形内角和定理求出有关的角．由三角形内角和定理列方程计算看有没有直角，即可判断． 【详解】解：①由 ，得到，判定三角形是直角三角形，故①符合题意； ②由得到，求出，判定三角形是直角三角形，故②符合题意； ③由，，得到，求出，得到，故③不符合题意； ④令得到，求出，因此，判定三角形是直角三角形，故④符合题意； ⑤由得到，，而，得到，求出，得到，判定三角形是直角三角形，故⑤符合题意． ∴其中能判断直角三角形的是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 题型4 三角形的分类（共3小题） 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为______． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为17，是等腰三角形 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状． 【详解】解：∵， ，， 解得：，， 为方程的解， ， 解得：或7， 、、为的三边长，， 不合题意舍去， ， ∴的周长为：，是等腰三角形． 题型5 三角形三边关系及其应用（共3小题） 13．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 14．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 题型6 三角形的高、中线、角平分线（共3小题） 16．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积计算，直角三角形的面积等于其两直角边乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 17．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 题型7 三角形的重心（共3小题） 19．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 20．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 题型8 三角形的角度计算（共3小题） 22．（25-26八年级上·山东济宁·月考）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．利用直角三角形两锐角之和为，用减去已知锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数． 【详解】另一个锐角的度数为． 故选：B． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形两锐角互余的性质求解，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为， 故选：C． 24．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 题型9 全等三角形的性质及应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，，则的度数是_______ 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质、平行线的性质，通过角的和差运算得出是解题关键． 通过三角形全等得出，进而得出，再根据和求得，进而求得． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为______ 度 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据，，求出的度数为，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】解：，， ， ， ． 题型10 用SSS判定三角形全等（共3小题） 28．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 29．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中，， ∴______________， ∴（________）． 【答案】，，，，，全等三角形的对应角相等． 【分析】考查知识点：等式的性质、三角形全等的判定定理、全等三角形的性质．解题方法与技巧：利用等式的性质推导线段相等，再通过判定三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等求解角度．解题关键：准确推导线段关系，正确应用判定定理证明三角形全等．易错点：在推导线段相等时容易出错，或对三角形全等的判定条件理解不清晰，导致无法正确证明全等． 首先根据已知的，，利用等式的性质，得出，即．然后在和中，找到（已知）、（已证）、（公共边）这三组相等的边，根据判定定理证明．最后根据全等三角形的对应角相等，得出． 【详解】由等式的性质得， ． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵，， ． 题型11 三角形的稳定性（共3小题） 31．（甘肃省临夏回族自治州2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试卷）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 题型12 用ASA判定三角形全等（共3小题） 34．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质．熟悉全等三角形的判定定理（、、、）是解题的关键．本题根据（两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等）判定和全等，进而得到线段相等，从而证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， 又∵点、、、在同一条直线上， ∴． 35．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定方法作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）． 即正确的顺序为⑤③①④②． 故选：B． 36．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 题型13 用AAS判定三角形全等（共3小题） 37．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握全等三角形的判定定理（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）是解题的关键． 梳理与的已知角和边，匹配全等三角形的判定定理． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：． 38．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴． 39．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 题型14 用SAS判定三角形全等（共3小题） 40．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选C． 41．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 42．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在中，，．为上一点，满足，为三条角平分线的交点，则的度数为(   ) A．30° B． C．50° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，连接，，，在上截取，连接，由内心的性质可得平分，平分，平分，可得，，，由“”可证，，可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，在上截取，连接， ， 为的三条角平分线交点， 平分，平分，平分， ，，， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 题型15 尺规作图：利用全等作三角形（共3小题） 43．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规作，使，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图，分别作，截取即可． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形． 44．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 45．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，作全等三角形，根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据边边边可得出全等三角形；方法二，根据作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用边角边可得出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键． 【详解】 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 题型16 选择合适的方法判定三角形全等（共3小题） 46．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：①图的三角形与不能证明两个三角形全等； ②图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； ③图的三角形与不能证明两个三角形全等； ④图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； 故选D． 47．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 48. （24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 题型17 三角形全等的实际应用（共3小题） 49．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 【答案】任务一：可行；任务二：见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． 任务一：根据已知条件分析即得该方案可行； 任务二：根据，，得，可得，即得小颖同学的方案可行． 【详解】任务一：解：∵该方案可以证明， ∴． 故答案为：可行． 任务二：解：理由如下， ∵，，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故该方案可行． 50．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 51．（24-25八年级上·吉林·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则_cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的_．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量_的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 题型1 三角形的基本定义 题型10 用SSS判定三角形全等（重点） 题型2 三角形内角和（重点） 题型11 三角形的稳定性 题型3 直角三角形的性质 题型12 用ASA判定三角形全等（重点） 题型4 三角形的分类 题型13 用AAS判定三角形全等（重点） 题型5 三角形三边关系及其应用（难点） 题型14 用SAS判定三角形全等（重难点） 题型6 三角形的高、中线、角平分线（重点） 题型15 尺规作图：利用全等作三角形（常考点） 题型7 三角形的重心 题型16 选择合适的方法判定三角形全等（难点） 题型8 三角形的角度计算（难点） 题型17 三角形全等的实际应用（重点） 题型9 全等三角形的性质及应用 题型1 三角形的基本定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 题型2 三角形内角和（共3小题） 4．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在中，若，则一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型3 直角三角形的性质（共3小题） 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是___________． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若三角形分别满足以下条件：① ，；②；③；④；⑤，则能判断直角三角形的是__________（填序号） 题型4 三角形的分类（共3小题） 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为______． 12．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 题型5 三角形三边关系及其应用（共3小题） 13．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知是三角形的三边，化简______． 15．（25-26八年级上·四川凉山·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 题型6 三角形的高、中线、角平分线（共3小题） 16．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 17．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 18．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型7 三角形的重心（共3小题） 19．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 20．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 题型8 三角形的角度计算（共3小题） 22．（25-26八年级上·山东济宁·月考）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型9 全等三角形的性质及应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，，，则的度数是_______ 26．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为______ 度 27．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，若，，求的度数． 题型10 用SSS判定三角形全等（共3小题） 28．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中，， ∴______________， ∴（________）． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 题型11 三角形的稳定性（共3小题） 31．（甘肃省临夏回族自治州2023-2024学年上学期期末质量监测八年级数学试卷）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是________． 32．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）空调安装在墙上时，一般都采用右图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有________． 题型12 用ASA判定三角形全等（共3小题） 34．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 35．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 36．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 题型13 用AAS判定三角形全等（共3小题） 37．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 39．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型14 用SAS判定三角形全等（共3小题） 40．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 41．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 42．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在中，，．为上一点，满足，为三条角平分线的交点，则的度数为(   ) A．30° B． C．50° D．60° 题型15 尺规作图：利用全等作三角形（共3小题） 43．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规作，使，． 44．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 题型16 选择合适的方法判定三角形全等（共3小题） 46．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 47．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 48. （24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 题型17 三角形全等的实际应用（共3小题） 49．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 50．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 51．（24-25八年级上·吉林·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则_cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的_．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量_的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． / 学科网（北京）股份有限公司 $