精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市兴仁市回龙镇回龙中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年度第一学期单元练习（三） 九年级 数学 练习重点范围：人教版·九年级上册全部内容 注意事项： 1．本次练习题的总分为150分，练习时间为120分钟． 2．答题练习时，务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（） A. B. 且 C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：A． 2. 若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 3. 把抛物线向右平移4个单位长度，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移4个单位长度，就得到抛物线， 故选：A． 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴； 故选：C． 5. 很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转90°得到的是（ ） A. B. C. D.      【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，由旋转性质逐个分析即可得到答案．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、该图形无法通过旋转得到，不符合题意； B、该图形可以由一个三角形连续旋转得到，符合题意； C、该图形可以由一个菱形连续旋转得到，不符合题意； D、该图形可以由一个蜡烛连续旋转得到，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，四边形为圆O的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补成为解题的关键． 根据圆的内接四边形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称，根据两点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，且， ， ． 故选：B． 8. 某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算及勾股定理，熟记弧长公式是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，，， ，， ， ， 优弧的长为：， 则圆锥底面半径为：， 则圆锥底面直径为， 故选：． 9. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B. 在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C. 掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 11. 如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 连接，依题意得：，由旋转的性质得，则，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 12. 已知抛物线（，，是常数，且）过，两点，且当时，其对应的函数值．下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④抛物线与轴有两个交点．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．由抛物线过点得，代入点得． 当时，结合得，从而确定，为负数，可判断①；计算，由，可判断②；对称轴为，开口向下，分析函数增减性可判断③；由抛物线过点和可知方程有两个不同的解，即可判断④． 【详解】解：抛物线过点， ， 抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， ， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ，均为负数，为正数． ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ， ，故②正确； 抛物线的解析式为， 对称轴为， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 在对称轴右侧， 随增大而减小，故③错误； 抛物线， 当时，得方程， ， ， ，解得：或， 抛物线与轴有两个交点，故④正确， 综上所述，正确结论为①②④，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在________（填“内”“外”或“上”）． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据线段中点的性质，可得，根据当时点在圆上即可求解． 【详解】解：A为线段的中点，当时，得， ∵， ∴， ∴点A与的位置关系是点A在上， 故答案为：上． 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4部数学著作，且每部数学著作被选择的概率相同， ∴从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是． 故答案为：． 15. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴，． 故答案为：， 16. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 【答案】1## 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以 ． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18. 如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接． ，． 又， ． 是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】略． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的开口方向和对称轴； （3）若，，是该二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴是直线 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．也考查了二次函数的性质． （1）用待定系数法求出二次函数关系式，再求解即可； （2）先化为顶点式，根据二次函数解析式可知抛物线的开口方向、对称轴； （3）将，，分别代入二次函数关系式，求出函数值，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：． 把分别代入得 ．解得． 所以二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 因为二次项系数， 所以二次函数图象的开口方向向上， 由顶点式可知其对称轴为直线； 【小问3详解】 解：已知，，是该二次函数图象上的三个点． 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 因为，所以． 故答案为：． 20. 现有四场网络直播，这四场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理、D：专家系统为主题，对人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．乐乐和千千准备各自看一场网络直播再互相分享，乐乐先从这四场中随机选择一场进行观看，然后千千从剩下的三场中随机选择一场进行观看． （1）请用列表或画树状图的方法，求有多少种等可能的结果； （2）求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率． 【答案】（1）共有12种等可能的结果 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格是解题的关键． （1）根据题意列出表格即可得到答案； （2）根据（1）所列表格，找到乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的结果数，再根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 乐乐 千千 由表可得，共有12种等可能的结果． 【小问2详解】 解：由表可知，乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的结果有6种， ∴乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、． （1）画出将向左平移6个单位长度后得到的； （2）画出关于原点成中心对称的； （3）若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3），180 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向左平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知旋转角的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 可知均由绕点M旋转得到，即旋转角的度数为． 故答案为：，180． 22. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，，． （1）如图1，当的对应边恰好经过点时，求的长； （2）将继续旋转至如图2所示的位置，若，求线段扫过的面积． 【答案】（1） （2）线段扫过的面积为 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，扇形面积公式，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，，再求出，再利用扇形面积公式求出答案． 【小问1详解】 解：由旋转可知，， ； 【小问2详解】 解：， ． 由旋转可知，， ， ， 易知线段扫过的面积即为扇形的面积， ， 线段扫过的面积为． 23. 依托低纬度、高海拔、气候温润的生态优势，贵州的水果具有好口感、多品类的优势，颇具市场影响力．某水果种植户2023年种植枇杷100亩，由于收益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年已经种植了144亩． （1）求种植枇杷亩数的年平均增长率． （2）某水果店以20元/盒的价格购进该种枇杷进行销售，经市场调查发现，每天枇杷的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系．当销售单价定为多少时，这个水果店每天销售枇杷的获利最大？最大为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为31元/盒时，这个水果店每天销售枇杷的获利最大，最大为121元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数和二次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）根据“2023年种植枇杷100亩，到2025年已经种植了144亩”列方程求解； （2）根据题意列出函数解析式，再根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设种植枇杷亩数的年平均增长率为． 由题意，得， 解得，． 增长率大于0， ， 答：种植枇杷亩数的年平均增长率为． 【小问2详解】 设这个水果店每天销售枇杷的获利为元． 由题意，得， 答：当销售单价定为31元/盒时，这个水果店每天销售枇杷的获利最大，最大为121元． 24. 【问题提出】 （1）如图1，为圆Ｏ的弦，在圆Ｏ上找一点P并画出，使点P到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （2）如图2，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，，与交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】 （3）某公园有一圆形水池圆Ｏ（如图3），，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在圆Ｏ上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元/，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）的最大值为4； （3）修建和两座小桥的总成本为元 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，交优弧于点，点即为所求； （2）由知，当最小时，最大，求出此时的，即可求解； （3）当经过圆心时，四边形的面积最大，求出此时的和即可解答； 本题考查了垂径定理定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点作交于点， ∵，是半径，不会随着点的运动而改变， ∴当有最小值时，有最大值， 即当时，最小，此时最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4； （3）∵，， ∴是等边三角形， ∴的面积固定，且是定值， ∴当点到距离最大时，四边形面积最大， 即当经过圆心时，四边形面积最大， 则， 根据垂径定理易得，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴修建和两座小桥的总成本为：（元）． 25. 贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期单元练习（三） 九年级 数学 练习重点范围：人教版·九年级上册全部内容 注意事项： 1．本次练习题的总分为150分，练习时间为120分钟． 2．答题练习时，务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（） A. B. 且 C. D. 为任意实数 2. 若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 3. 把抛物线向右平移4个单位长度，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5. 很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转90°得到的是（ ） A. B. C. D.      6. 如图，四边形为圆O的内接四边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. B. C. 3 D. 9. 若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定 10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B. 在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C. 掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 11. 如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A. B. C. D. 12. 已知抛物线（，，是常数，且）过，两点，且当时，其对应的函数值．下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④抛物线与轴有两个交点．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是点A在________（填“内”“外”或“上”）． 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 15. 一元二次方程的根是________． 16. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用指定方法解下列方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） 18. 如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过，，三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的开口方向和对称轴； （3）若，，是该二次函数图象上的三个点，则，，的大小关系是________．（用“”连接） 20. 现有四场网络直播，这四场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理、D：专家系统为主题，对人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．乐乐和千千准备各自看一场网络直播再互相分享，乐乐先从这四场中随机选择一场进行观看，然后千千从剩下的三场中随机选择一场进行观看． （1）请用列表或画树状图的方法，求有多少种等可能的结果； （2）求乐乐和千千中有一人选择计算机视觉的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，、． （1）画出将向左平移6个单位长度后得到的； （2）画出关于原点成中心对称的； （3）若绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为________，旋转角的度数为________°． 22. 如图，将绕点顺时针旋转后得到，，． （1）如图1，当的对应边恰好经过点时，求的长； （2）将继续旋转至如图2所示的位置，若，求线段扫过的面积． 23. 依托低纬度、高海拔、气候温润的生态优势，贵州的水果具有好口感、多品类的优势，颇具市场影响力．某水果种植户2023年种植枇杷100亩，由于收益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年已经种植了144亩． （1）求种植枇杷亩数的年平均增长率． （2）某水果店以20元/盒的价格购进该种枇杷进行销售，经市场调查发现，每天枇杷的销售量（单位：盒）与销售单价（单位：元/盒）之间满足一次函数关系．当销售单价定为多少时，这个水果店每天销售枇杷的获利最大？最大为多少元？ 24. 【问题提出】 （1）如图1，为圆Ｏ的弦，在圆Ｏ上找一点P并画出，使点P到的距离最大；（不需要说明理由） 【问题探究】 （2）如图2，在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接，，与交于点Q，若，，求的最大值； 【问题解决】 （3）某公园有一圆形水池圆Ｏ（如图3），，是水池上的两座长度相等的小桥，且，现规划人员计划再修建两座小桥和，桥的入口C在水池边上（即点C在圆Ｏ上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形面积最大，已知，修建小桥的成本为元/，当四边形的面积最大时，求修建和两座小桥的总成本． 25. 贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $