精品解析：山西省阳泉市城区多校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度九年级数学12月月考卷 考试时间：120分钟；满分：120 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 4. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（ ） A. 顶点是 B. 过点 C. 在x轴上截得的线段的长度是2 D. 5. 一元二次方程的根为（ ） A. 0 B. 9 C. 0或 D. 0或9 6. 如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（ ） A. 2000件 B. 3200件 C. 16800件 D. 18000件 8. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转得，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（ ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 12. 两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____． 13. 如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是___________． 14. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． 15. 如图，正六边形 内接于，边长，则的长为_______． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 18. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 19. 某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 （1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； （2）门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 20. 如图所示，是由两个正方形和一个半径为的半圆组合而成的，已知两个正方形的边长分别为和，求图中阴影部分的面积． （1）用表示图中阴影部分的面积； （2）若，求的值． 21. 某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． （1）若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 22. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 （1）填空：________________，__________________； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； （3）若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学12月月考卷 考试时间：120分钟；满分：120 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 3. 若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 4. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（ ） A. 顶点是 B. 过点 C. 在x轴上截得的线段的长度是2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键． 由题目条件可知该二次函数图象对称轴为直线，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断B、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断A；根据对称轴公式得到， 把代入得到，故可判断D正确． 【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴B正确，不符合题意； ∴在x轴上截得的线段长是， ∴C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为直线， ∴顶点横坐标应为2， A选项给出的顶点是 ，其横坐标为， ∴A不正确，符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴D正确，不符合题意； 故选：A． 5. 一元二次方程的根为（ ） A. 0 B. 9 C. 0或 D. 0或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程. 通过因式分解法求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，. 故选：C. 6. 如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，再结合勾股定理算出，所以，根据等面积法，求出，运用勾股定理，在中，，即，即可作答． 【详解】解：由图（2）得当时，则，当时，则， ∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长， ∵都是常量， ∴的长是一次函数 观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 则， ∵点P是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 当时，在中，， 即， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，勾股定理，矩形的性质，一次函数的几何应用，垂线段最短．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格频数 42 88 141 176 445 724 900 合格频率 0.89 若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是（ ） A. 2000件 B. 3200件 C. 16800件 D. 18000件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频数求频率，根据频率求数量． 由频数表可知，当抽取件数较大时，合格频率稳定在附近，因此可用频率估计概率，合格概率约为，乘以20000即可． 【详解】解：∵抽取件数达到1000件时，合格频率为，且频率在附近稳定， ∴合格概率约为， ∴出售20000件衬衣，合格品件数约为件． 故选：D． 8. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转得，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转可得，由，可得出． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得，使点C的对应点恰好落在边AB上， ，， ， 故选：D． 9. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（ ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 12. 两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 两个连续偶数相差2，设较小偶数为x，则较大偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数为， 由题意得． 故答案为:． 13. 如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：列表如下： B C E A D 由列表可知，共有种等可能的结果，其中从口进，从口离开的结果只有种，即， ∴他选择从口进入，从口离开的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 15. 如图，正六边形 内接于，边长，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 或； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 设的半径为， ， ， ∵， ∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积． 18. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】（1） （2）该目标不能实现 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 19. 某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 （1）观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； （2）门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【答案】（1） （2）产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单. （1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设，解出k、b即可求出； （2）由利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值． 【小问1详解】 解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为，代入、 解得， 【小问2详解】 设每件产品定价为元，每天纯利润为元， ， 当时，即：，解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，利润取得最大，则； 则产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元． 20. 如图所示，是由两个正方形和一个半径为的半圆组合而成的，已知两个正方形的边长分别为和，求图中阴影部分的面积． （1）用表示图中阴影部分的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了平面图形的面积计算，图形组合与面积和差，准确识别阴影部分由哪几部分组成是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）将的值代入（1）中的结果即可． 【小问1详解】 解：由图可知，， ， 【小问2详解】 解：当时，． 21. 某工厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 A，B．原计划A 生产线每小时生产护目镜 400 个，B 生产线每小时生产护目镜 500 个． （1）若生产线A，B共工作12小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则B生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划A，B生产线每天平均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足的原因，A生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，B生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】（1）B生产线至少生产护目镜7小时 （2）该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量的关系，正确列出一元一次不等式；列出一元二次方程． （1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为7． 答：生产线至少生产护目镜7小时； 【小问2详解】 解：设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时． 22. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 （1）填空：________________，__________________； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； （3）若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】（1）0.305，148 （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：0.305，148． 【小问2详解】 解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． 【小问3详解】 解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 23. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， （1）求抛物线的表达式； （2）设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大值是4 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $