精品解析：甘肃省兰州西北中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

甘肃省兰州西北中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 出题人：李得杰 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列命题： ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等； ③若两条直线垂直，则这两条直线的斜率之积为-1； ④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等； ⑤若两条直线的斜率不存在，则这两条直线平行. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的一个顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的一个焦点F与抛物线的焦点相同，与交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分.） 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（1，0），直线，动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线”. C. 平面上有一点A（1，1），则的最小值为3. D. 点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________. 14. 已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 四、解答题（共77分） 15. (1)若抛物线过直线与圆的交点， 且顶点在原点，坐标轴为对称轴，求抛物线的方程. (2)已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 16. 已知圆，圆． （1）若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； （2）若圆与直线相交于两点，且，求的值． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）求斜率的取值范围； （3）当时，求两点的坐标． 18. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 19. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省兰州西北中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 出题人：李得杰 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【详解】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D 2. 给出下列命题： ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等； ③若两条直线垂直，则这两条直线的斜率之积为-1； ④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等； ⑤若两条直线的斜率不存在，则这两条直线平行. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行的条件，判断①、②、④、⑤；利用直线垂直的性质来判断③，注意斜率不存在和两直线重合的情况.. 【详解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故①错误； 若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或斜率都不存在，故②错误； 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率之积为-1或一条直线斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故③错误； 若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等，故④正确； 若两条直线的斜率不存在，则这两条直线平行或重合，故⑤错误； 所以正确命题的个数为1 故选：A 3. 已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线法向量利用待定系数法即可得到答案. 【详解】设为平面直角坐标系中任意一点， 则P在直线l上的充要条件是与垂直． 又因为，所以， 整理可得一般式方程为． 故选：D. 4. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可. 【详解】圆的方程即：，圆心坐标为，半径为， 代数式表示圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得： ， 考虑临界条件，令可得： ，则的最大值为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可得. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得. 故选：D. 6. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入双曲线的渐近线方程公式，即可求解. 【详解】双曲线化简为标准形式是， 其中，，焦点在轴， 所以渐近线方程. 故选：B 7. 已知抛物线的焦点恰为双曲线的一个顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出的方程组，解得，再利用斜率公式即可求得结果. 【详解】因为抛物线的焦点，由题可知； 又点在抛物线上，故可得；又， 联立方程组可得，整理得，解得（舍）或， 此时，又，故直线的斜率为. 故选：D. 8. 已知双曲线的一个焦点F与抛物线的焦点相同，与交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形的对称性及题设条件AFx轴，且，不难得到，将其代入双曲线方程化简可得，再化简整理可得，解之即可得到结果. 【详解】由图形的对称性及题设条件AFx轴，且，不妨设交点代入可得，故代入双曲线方程化简可得，即，也即，由此可得，即，也即，所以. 所以本题应选D. 【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出，及AFx轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将代入双曲线方程化简得到后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分.） 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求得直线AB的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断CD；利用数量积的定义计算可判断B；由抛物线的定义求解可判断A． 【详解】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为， 将代入，整理得， 设，由根与系数的关系得，故D错误； ，故C错误； ，故B正确； 由抛物线的定义可得，故A正确. 故选：AB． 11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（1，0），直线，动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线”. C. 平面上有一点A（1，1），则的最小值为3. D. 点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】BCD 【解析】 【分析】由定义化简即可求解点方程；直线上存在最远距离点即联立直线和椭圆方程后有解；将转化为即可求解；画出椭圆和圆的轨迹可直接辨别无交点. 【详解】设点为，点到的距离为， 因为动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半， 则，化简得，故A错误； 联立直线和椭圆方程，可得：， 故存在，直线是“最远距离直线”，B正确； 由可知，, 当点与点A纵坐标相等时，最小距离为：，C正确； 圆C：化简得：，显然圆C在椭圆内，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上，. 故答案为： 14. 已知椭圆的一个焦点是，那么__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆焦点，结合椭圆方程可得，根据建立等式计算可解. 【详解】椭圆可化为， 因为一个焦点是，所以， 而，即，解得. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. (1)若抛物线过直线与圆的交点， 且顶点在原点，坐标轴为对称轴，求抛物线的方程. (2)已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程. 【答案】（1）, 或．（2） 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线的方程求出交点，根据交点所在象限和抛物线顶点在原点设出抛物线方程，将交点代入抛物线方程求出p，即得．（2）由椭圆方程可知其离心率，那么双曲线的离心率为，双曲线和椭圆共焦点，则，，进而可知b和双曲线方程． 【详解】（1）由题解得交点坐标为(0，0)，(-3，-3)． (-3,-3) 在第三象限. 设方程为，或， 代入(-3，-3)，解得．∴ 所求的抛物线方程为, 或． （2）由题得椭圆中，焦点为（0,4）和（0，-4），离心率，则双曲线的离心率为，由双曲线的焦点为，所以，，故双曲线的方程为． 【点睛】本题考查圆锥曲线的基本性质，属于基础题． 16. 已知圆，圆． （1）若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； （2）若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆所满足的条件得到不等式，得到，两圆相减得，根据公共弦方程，得到，求出答案； （2）由求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式得到方程，求出. 【小问1详解】 由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； 【小问2详解】 圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）求斜率的取值范围； （3）当时，求两点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【小问1详解】 由题意得，， 又，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， 因为直线与交于不同的两点， 所以，解得或， 故斜率的取值范围是． 【小问3详解】 时，， 联立得，， 解得或， 当时，， 当时，， 故或． 18. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则 实轴长为2.，则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且， ， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 解法二：由（1）知，双曲线的方程为 设，， 则，化简得， 由为的中点，得， 则， 所以直线的方程为，经过点，所以，经验证此时直线与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为. 19. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值． 【答案】（1）y2＝4x.（2）－14. 【解析】 【分析】（1）直线MN的方程为，联立方程得到x1＋x2＝3p.代入弦长公式得到答案. (2) 先计算直线l的方程为y＝x＋1，设P(m，m＋1)，根据韦达定理，化简整理得到，得到最小值. 【详解】解：(1)由题意可知，则直线MN的方程为. 将直线方程代入y2＝2px(p＞0)，得. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x. (2)由l∥MN，可设直线l的方程为y＝x＋b，将其代入y2＝4x， 得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. ∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1， ∴直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝16x1x2＝1. 设P(m，m＋1)，则， ∴， ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝6，x1x2＝16，y1y2＝－4. 又，∴， ∴， 当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时， 取得最小值，最小值为－14. 【点睛】本题考查了抛物线方程，向量积的最小值，利用韦达定理，得到的表达式是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $