精品解析：天津市第一百中学2025-2026学年高一上学期过程性诊断（2）数学试卷

天津市第一百中学2025—2026学年第一学期过程性诊断（2） 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角的性质即可求. 【详解】，故与的角终边相同，其中在第三象限，故角的终边在第三象限． 故选:C． 2. 将化为弧度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用度与弧度的互化公式计算得解. 【详解】. 故选：A 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数的定义域和单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由题设，定义域为，且函数单调递增，函数至多有一个零点， ，， 所以函数零点所在区间为. 故选：C 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对数函数的单调性判断大小关系. 【详解】由， 所以. 故选：A 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 6. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出弧长后可求周长. 【详解】设扇形的弧长为，则，故，故此扇形的周长为， 故选：C. 7. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 8. 已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的概念求解. 【详解】∵奇函数，∴，则，即， ∵为偶函数，∴， ∴，， ∴，，则， 故选：A. 9. 已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，，显然， 则此时应满足，即 ，解得， 有3个解，有3个解，设即，， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、对数的性质求函数定义域. 【详解】由题设，可得，故定义域为. 故答案为： 11. 设，用表示为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】由， 得. 故答案为：. 12. 函数在区间上单调递增， 则实数a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法，结合对数函数的定义域列出关于的不等式，求解即得其范围. 【详解】设函数，由有意义，可得且，则函数为减函数， 故要使在区间上单调递增，需使，且函数在上恒为正数， ，解得. 故实数a的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算可得，则，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知，则，且，， 所以， 又，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为， 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，则a的值为______；当时，，若，则m的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得或，可求出m的取值范围是. 【详解】依题意可知，解得； 即当时，， 解不等式可得或，又因为，可得， 当时，可得, 解不等式可得或，又因为,可得； 所以可得或， 解得或， 即m的取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数满足对任意的实数且，都有不等式成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据真数大于0得出，再利用分段函数的单调性即可列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 因函数在上单调递增，则其最小值为， 则，即， 易知，在上单调递增， 则，，， 得，，， 令，则，则， 画出的图象， 因，， 则的解为，即，得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（共75分） 16. （1）. （2）化简：已知，求. 【答案】 【解析】 【分析】(1)利用对数运算法则，即可求值； (2)利用诱导公式，弦化切，即可求值. 【详解】（1）； （2）由可得：， 则. 17. 已知，. （1）求和的值； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，通过平方可得，再两等式联立求解即可； （2）由弦化切即可求解. 【小问1详解】 由，平方可得：， 所以，因为，， 所以， 将代入， 得即， 所以，则， 所以 【小问2详解】 18. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【小问1详解】 由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）写出的单调减区间并说明理由（不必证明） （3）若对于恒成立，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算，结合定义域，可利用复合型二次函数求值域； （2）利用复合函数单调性可作出判断； （3）利用分离参变量，再结合函数单调性求最大值，问题即可求解. 【小问1详解】 由 ， 因为，所以， 当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 即的值域； 【小问2详解】 根据，令， 函数可看作关于t的二次函数与对数函数的复合函数， 根据复合函数单调性，当时，单调递减，即，解得， 所以可得的单调递减区间为； 【小问3详解】 由可得：， 因为，所以， 当时，不等式显然成立，则当时， 原不等式可化为：， 令，则根据函数在上单调递增， 可知：， 由对于恒成立，可得：， 故m的最小值为. 20. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明：由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 而， 则是定义域为的奇函数. （2）函数在上为增函数.证明如下： 对于，且设， 可得， 由，可得，所以， 由，可得， 即，则， 得到， 即，故在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用对数函数的性质建立不等式求出定义域，再结合奇函数的定义证明即可. （2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论即可. （3）利用奇函数的性质得到，结合的单调性和对数函数的性质将目标式合理转化，再求解参数范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是定义域为的奇函数，所以， 则不等式化为， 因为在上为增函数， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一百中学2025—2026学年第一学期过程性诊断（2） 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知角，则角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 将化为弧度是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 函数的定义域为______． 11. 设，用表示为________ ． 12. 函数在区间上单调递增， 则实数a的取值范围为________ 13. 已知，且，则的最小值为_______； 14. 已知函数是定义在上的偶函数，则a的值为______；当时，，若，则m的取值范围是______． 15. 已知函数满足对任意的实数且，都有不等式成立，则实数a的取值范围是______． 三、解答题（共75分） 16. （1）. （2）化简：已知，求. 17. 已知，. （1）求和的值； （2）求. 18. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若，求关于x的不等式的解集. 19. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）写出的单调减区间并说明理由（不必证明） （3）若对于恒成立，求m的最小值. 20. 设函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $