八年级数学上学期期末模拟卷（新教材冀教版）

2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中华优秀传统文化“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图所示的四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义对各选项图形逐个分析判断即可得解． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合； A选项中的图形能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的性质及合并法则． 分析思路：先根据二次根式性质化简根式，再判断同类二次根式的合并是否正确；注意被开方数需为非负数，合并同类二次根式时系数相加减、根式部分不变． 【详解】解：A、，此选项符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意． 故选：A． 3．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，若三角形三边满足两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，准确分析判断是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，分别计算各选项中最长边的平方与其他两边平方和是否相等． 【详解】解：由已知可得，，，最长边是， ，， ，是直角三角形，故符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 由已知可得，，，最长边为， ，， ，不是直角三角形，故不符合题意； 故选． 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 5．题目“关于x的方程的解是非负数，求符合条件的负整数a的值．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙的答案合在一起才完整 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 将原方程去分母得，解得，由解为非负数得，且分母不为零，故，即，因此符合条件的负整数为和，结合题意即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 由于解为非负数，则，即， 又因为，则，即， 根据为负整数得或， 因此甲和丙的答案合在一起完整， 故选：B． 6．如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等得到，而，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出图1和图2中大正方形和小正方形的边长，进而得到的范围，根据，逐项判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， 则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 此时， 根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1， 则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 此时， 取交集得：， 由于，则， 选项A、，则，不符合题意； 选项B、，则，符合题意； 选项C、，则取不到，不符合题意； 选项D、，不符合题意； 故选：B． 8．如图，仓库内有一块缺了一个角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕迹（，，）依旧清晰可见，嘉嘉测量后发现，点D和点E恰好在和的垂直平分线上，由此可知和所在直线相交形成的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由已知条件可得出，，再由线段垂直平分线的性质得出，，进而求出，再利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D和点E恰好在和的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 即和所在直线相交形成的锐角度数为， 故选C． 9．如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为（　  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线，延长交于E，利用全等三角形的性质证明，再根据三角形的中线平分面积，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E， 垂直于的平分线于P， ，， 在与中， ， ， ，， ∴为的中线， ， ， 故选：D． 10．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 11．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 12．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：5 14．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ， 故答案为：18． 15．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合角的倍数关系转化为边的关系． 先过作，利用勾股定理求出的长度，分点在点右侧、左侧两种情况，结合“等角对等边”构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：如图，过作，则， 在中，， 当点在点右侧时，即， 如图，在上截取， 此时， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 当点在点左侧，即， 此时点与上述情况的点重合， ； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 18．（8分）如图是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，正确的结果是______； (2)当的值等于2时，求的值． 【答案】(1)二； (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算和分式方程的求解，正确运算是关键． （1）仔细观察解答过程，即可发现计算错误所在； （2）由已知得，进而求解计算即可． 【详解】（1）解：由解答过程知，小明的作业是从第二步开始出现错误的，正确的解答如下： ， 故答案为：二，； （2）解：由题意得，当的值等于2时， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 当原代数式的值等于2时，． 19．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)= 【分析】本题考查了画中心对称图形、画旋转图形、中心对称与旋转的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称和旋转的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由中心对称的性质得，， 由旋转的性质得，， ∴， 故答案为：=． 21．（9分）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 22．（9分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），两个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上． 测量方案示意图 (1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段______的长度； (2)第二小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点，，在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长（如图），请对他们的方案的可行性进行说理； (3)请你再设计一个测量方案，填在下表中． 方案（简要写出过程） 示意图（画出简图） 说明（填空） 根据示意图，只需要测出线段______的长，就能推算出河宽的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，垂直定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解； （）观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点，证明，所以，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行． （3）解：观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点， 如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 23．（11分）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ； （4）解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 24．（12分）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)9， (2)点和点在点处重合 (3)存在， (4)或 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，； （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点； （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意． （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A B B B C D B B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．5 14．18 15． 16．或 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【详解】解： ．···································7分 18．（8分） 【分析】本题考查了分式的混合运算和分式方程的求解，正确运算是关键． （1）仔细观察解答过程，即可发现计算错误所在； （2）由已知得，进而求解计算即可． 【详解】（1）解：由解答过程知，小明的作业是从第二步开始出现错误的，正确的解答如下： ， 故答案为：二，；··································3分 （2）解：由题意得，当的值等于2时， ， 解得，·································6分 经检验，是原方程的解，·································7分 当原代数式的值等于2时，．·································8分 19．（8分） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可． 【详解】（1）解： ；·································4分 （2）解： ．·································8分 20．（8分） 【分析】本题考查了画中心对称图形、画旋转图形、中心对称与旋转的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称和旋转的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ·································3分 （2）解：如图所示，即为所求： ·································6分 （3）解：由中心对称的性质得，， 由旋转的性质得，， ∴， 故答案为：=．·································8分 21．（9分） 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；·································4分 （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴，·································6分 ∴， ∴， 解得，即．·································9分 22．（9分） 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，垂直定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解； （）观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点，证明，所以，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：；·································2分 （2）解：延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行．·································5分 （3）解：观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点， 如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度．·································9 分 23．（11分） 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． 【详解】（1）解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：；·································2分 （2）解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；·································4分 （3）证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ；·································7分 （4）解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，．·································11分 24．（12分） 【分析】（1）求出第一次回到点的时间，然后算出的运动距离，即可判断； （2）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （3）首先证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值； （4）分别就和列方程求解可得； 【详解】（1）解：∵等边的边长为， ∴， ∵点的速度为．当点第一次回到出发点点时， ∴第一次回到点的时间为：， 此时运动的距离为，运动到边上， 故答案为，；·································2分 （2）解：设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合，此时运动的距离为，运动到点， 故点和重合时的位置为点；·································4分 （3）解：存在，时，点、均在边上时，； 当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（2）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意．·································7分 （4）解：当点在上运动时，如图， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图，若， 由得， 解得． 当时，两点都在上，此时不存在与的某一边垂直； 综上所述，当为或时， 与的某一边垂直；·································12分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中华优秀传统文化“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图所示的四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．题目“关于x的方程的解是非负数，求符合条件的负整数a的值．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙的答案合在一起才完整 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 6．如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，仓库内有一块缺了一个角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕迹（，，）依旧清晰可见，嘉嘉测量后发现，点D和点E恰好在和的垂直平分线上，由此可知和所在直线相交形成的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为（　  ）    A． B． C． D． 10．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 14．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是 ． 15．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 18．（8分）如图是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，正确的结果是______； (2)当的值等于2时，求的值． 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 21．（9分）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 22．（9分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），两个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上． 测量方案示意图 (1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段______的长度； (2)第二小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点，，在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长（如图），请对他们的方案的可行性进行说理； (3)请你再设计一个测量方案，填在下表中． 方案（简要写出过程） 示意图（画出简图） 说明（填空） 根据示意图，只需要测出线段______的长，就能推算出河宽的长． 23．（11分）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 24．（12分）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八年级数学上册全部内容。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中华优秀传统文化“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图所示的四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．中，，，的对边分别记为，，，由下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．题目“关于x的方程的解是非负数，求符合条件的负整数a的值．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙的答案合在一起才完整 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 6．如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，仓库内有一块缺了一个角的三角形木板，木工师傅在上边的作图痕迹（，，）依旧清晰可见，嘉嘉测量后发现，点D和点E恰好在和的垂直平分线上，由此可知和所在直线相交形成的锐角度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为（　  ）    A． B． C． D． 10．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 14．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是 ． 15．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 16．如图，射线外有一点，且到射线的距离为6，若点是射线上的一个动点，则当线段与射线所夹锐角是的两倍时，的长为 ．（温馨提示：在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） 三、解答题（本大题共8小题，第17每小题7分，第18、19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23题每小题11分，第24题每小题12分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 18．（8分）如图是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 (1)小明的作业是从第______步开始出现错误的，正确的结果是______； (2)当的值等于2时，求的值． 19．（8分）计算： (1)； (2)． 20．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 21．（9分）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 22．（9分）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），两个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上． 测量方案示意图 (1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段______的长度； (2)第二小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点，，在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长（如图），请对他们的方案的可行性进行说理； (3)请你再设计一个测量方案，填在下表中． 方案（简要写出过程） 示意图（画出简图） 说明（填空） 根据示意图，只需要测出线段______的长，就能推算出河宽的长． 23．（11分）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)小明证明用到的判定定理是： ；（用字母表示） (2)的取值范围是 ； (3)【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； (4)【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 24．（12分）如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，点的速度是，点的速度为．当点第一次回到出发点点时，、同时停止运动．设运动时间为． (1)当___________时，运动停止，此时点在___________(填“”或“”)边上； (2)求出点和重合时的位置； (3)当点、均在边上时，是否存在的情况？若存在求出；若不存在，说明理由； (4)当与的某一边垂直时，直接写出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $