27.2.3 相似三角形应用举例（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形的实际应用，通过三峡大坝、黄鹤楼等著名景点的测量问题导入，从泰勒斯测量金字塔的传说引出影子测量法、镜子测量法等，结合“A”“X”型模型，构建从实际问题到数学原理再到应用的学习脉络。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，用树影在墙、盲区判断等典例发展推理思维，通过测量方法归纳强化数学语言表达。学生能在探究中提升应用意识，教师可借助丰富例题与检测题高效开展教学。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.3 相似三角形应用举例 BY YUSHEN BY YUSHEN 三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽建筑之一，集防洪、发电、航运、水资源利用等为一体。 黄鹤楼是中国著名的历史文化名楼，以其独特的建筑风格和深厚的文化底蕴吸引着无数游客。 武汉长江大桥是中国湖北省武汉市连接汉阳区与武昌区的过江通道，是长江上的第一座大桥，也是新中国成立后在长江上修建的第一座公铁两用桥。 如何测量三峡大坝的长度？ 如何测量黄鹤楼的高度？ 如何测量长江的宽度？ 著名景点 思考 情境引入 BY YUSHEN 新知探究 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 你知道如何测量吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m， 如何求金字塔的高度 BO？ 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m. BY YUSHEN BY YUSHEN 测量方法1:影子测量法 1.测量出参照物的高度 DF； 测量出太阳光下参照物的影长 EF 2.和被测物体的影长 BC； 3.计算出被测物体的高度 AC. 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： (1)被测物体的底部能够到达； (2)由于影子长随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. BY YUSHEN BY YUSHEN 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 原理： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 核心：找到同一时刻的标杆 测量方法2:影子测量法 BY YUSHEN BY YUSHEN 1.在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记 E； 2.测出观测者眼睛到地面的高度 CD； 3.观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观测者脚底的水平距离 DE 及到被测物体底端的水平距离 BE； 4.根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB. 测量方法2:影子测量法 BY YUSHEN BY YUSHEN 原理： 利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形. 注意：测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置. 测量方法2:镜子测量法 BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 （2）“X”型图，如下图所示． （1）“A”型图，如下图所示． E D C B A A B C D E 利用相似三角形测量的模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知AB与CD相交于点E,AB∥CD.根据图②中的数据求出x的值. 解：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△ DCE， ∴ , 即 , ∴=0.9. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 大课间活动时，小明同学看到教学楼外的参天大树，于是想利用数学知识测量这棵大树的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为0.4m，同时，当他测量教学楼前大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得树干到教学楼的距离EF=10m，大树在教学楼墙上的影长FG=1m,求大树DE的高． 解：如图，过点G作GH∥EF交DE于点H, ∵DE∥GF，∴四边形HEFG是平行四边形， ∵∠HEF=90°，∴四边形HEFG是矩形， ∴GH=EF=10,EH=FG=1, 由同一时刻物高与影长成正比，得 , ∴DH=25,∴DE=DH+EH=26(m) 答：大树的高是26m. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图所示，在离某建筑物 3 m 的 B 处有一棵树 AB， 1.4 m 长的竹竿 垂直于地面，影长 为 2 m.同一时刻，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在建筑物的墙上，墙上的影高 CD 为 2 m，求这棵树的高度. 解：如图，过点 C 作 CE//AD 交 AB 于点 E，则 AE = CD = 2 m. 由题意，知 AD//，则 EC//. ∴ ∠BCE =∠B'BA'. 又∠ =∠EBC=90°， ∴ △∽△BCE， ∴ ，即 ， 解得 EB =2.1 m， ∴ AB =EB +AE =2.1+2=4.1(m)，即这棵树的高度为 4.1 m. E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ ， 即 解得 EH=8. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 【主题】测量金柱塔的高度 【测量步骤】步骤1：把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q，测得QD=3m; 步骤2：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处， 塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P，测得PF=4m,FD=17.5m. 【数学运算】 求金柱塔的高度AB. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 解：设AB=x,BD=y, ∵AB∥EF, ∴△EFP∽△ ABP， ∴ ,∵PF=2,FP=4,PB=4+17.5+y=21.5+y, ∴, ∵AB∥CD, ∴△CDQ∽△ ABQ， ∴ ,∵CD=2,DQ=3,BQ=3+y, ∴, ∴,解得y=52.5(检验成立)， ∴x=37(检验成立)，金柱塔的高度AB为37米. 答：大树的高是26m. BY YUSHEN BY YUSHEN 测量物体的高度 归纳总结 方法1 利用影子测量物体的高度 方法2 借助标杆测量物体的高度 方法3 利用平面镜的反射测量物体的高度 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB从木杆的顶端B观察井水水岸D视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得那么为（    ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 B 2.九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙AB的高度．如图，小明在距B点10米F处竖立了一根高为2米的标杆EF，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛D、标杆顶端E、寺庙顶端A在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（    ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DE离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB是 米． 5.5 6.周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为 米． 7 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.如图，身高是 1.6 m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为 1.2 m 和 9 m，则旗杆的高度为 m . 12 D E A B C 3米 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 30 5.1m BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝21 m，ED=3 m，求 A、B 两点间的距离. A B E D C 解：由题意，知 AD//， ∴ △∽△ABE， ∴ ，即 ， 解得 AB =30 m， ∴A、B 两点间的距离为30m. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A B C D G E F ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米， 解得：AC = 10， 解：由题意可得：△DEF∽△DCA， 则 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (米). 答：旗杆的高度为 11.5 米. ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 3.明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( ) A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 4.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好完全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( ) A．5.5 m B．6.2 m C．11 m D．2.2 m 8.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为 ． 9．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的两岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_ _米． 10．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条视线上，已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高为 ． $