精品解析：江西省三新协作体2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集与一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 所以，即. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. 为实数 B. C. 的虚部为2 D. 为纯虚数 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算复数的和，逐项判断. 【详解】根据题意，，其虚部为，A、C错误，D正确； ，B错误. 故选：D 3. 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用对数函数的图象性质求出所过定点坐标即得. 【详解】当，即时，对任意且，恒有，即的图象过定点， 所以点的横坐标为2. 故选：C 4. 已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的焦点为，则，则， 又，则，所以的最小值为， 故选：A. 5. 2025年正好是一个平方年（），纵观历史，从1250年到1900年，所有平方年对应的朝代如下表所示： 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 元朝 明朝 明朝 明朝 明朝 清朝 清朝 清朝 某位历史老师将从这8个年份中随机选取3个年份，对当年的历史进行深入研究，则他选取的年份至少有2个在明朝的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定从8个年份中选3个年份的总组合数，再计算至少2个年份在明朝的组合数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】由表格可知，从1250年到1900年，平方年在明朝的个数为4. 从8个年份中选3个年份的总组合数为， 至少2个年份在明朝的组合数为. 所以他选取的年份至少有2个在明朝的概率为. 故选：A 6. 已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理得到与的关系，再结合椭圆的定义得到与和的关系，进而求出关于的表达式，再由的范围得出结论. 【详解】因为，且三点不共线， 在中，由正弦定理得 ，所以，又， 所以.因为，即，又， 所以，又三点不共线， 所以，由，得， 所以，即椭圆长轴长的取值范围是. 故选：B 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 8. 在棱长为6的正方体中，，过的平面将该正方体分成体积为的两个部分，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线是长方体的体对角线，所以截面将长方体截成体积相等的两部分，进而可得截正方体的两部分体积的范围，从而可得所求值的最大值. 【详解】如图：由，得是的中点，是的三等分点（靠近A点）. 构造长方体是其体对角线，其体积. 设线段的中点为，过的平面为， 则平面将长方体分成的两个几何体关于点对称，体积都为. 而正方体的体积. 不妨设，则，， 当且仅当截面过四点时取得最大值. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数的最小值分别为，则下列命题中正确的有（ ） A. 当时， B. C. 成等比数列 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由基本不等式分别求出的最小值，然后对各个选项进行判断可得结果. 【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以. 又因为，得，则， 当且仅当时等号成立，所以.当时，，所以A正确； 因为，所以B正确； 若成等比数列，则，整理得，因为，所以方程无解，C错误. 由，得，又由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD. 10. 菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正六边形的性质和平面向量的加法和夹角定义判断AB；建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算判断CD. 【详解】由图可知，，A错误. 连接，，B正确. 分别取的中点，以正六边形的中心为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，则. 则， 则 C错误，D正确. 故选：BD 11. 已知曲线，曲线由组成，圆，则（ ） A. 当时，与圆无公共点 B. 当与圆有6个公共点时， C. 不存在过原点的直线与无公共点 D. 上仅有4个点到直线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系即可求出. 【详解】依题意可知为圆 为圆为圆， 这3个圆的半径均为2，且. 当时，，则圆与这3个圆都外离，所以与圆无公共点，A正确. 当与圆有6个公共点时，圆与这3个圆都相交，则，解得，B正确. 设过原点的直线为直线，若直线曲线都相交， 则， 即，无解， 不存在过原点的直线与无公共点所，C正确. 因为到直线的距离为且与其平行的直线为， 且到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 所以直线与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 江西省共有个地级市，各地级市的县､县级市､区的数量之和如下：南昌市，景德镇市，萍乡市，九江市，新余市，鹰潭市，赣州市，吉安市，宜春市，抚州市，上饶市.这个数组成一组数据，则这组数据的第百分位数对应的地级市为__________市. 【答案】抚州 【解析】 【分析】根据统计中的百分位数的计算方法计算即可. 【详解】将这11个数按照从小到大的顺序排列为， 因为6.6，所以第7个数字（11）即为这组数据的第百分位数，对应的地级市为抚州市. 故答案为：抚州 13. 如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设，则，得， 则. 设函数， 则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值. 故答案为：3 14. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立.若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，且，则， 所以，即. 设函数，易得在上单调递减. 因为为上的奇函数，为偶函数， 所以为上的奇函数，且在上单调递减. 因为， 所以. 由，得，即， 则，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动，需依次按顺序完成A（剪纸•窗花），B（陶艺•杯盏），C（刺绣•团扇）三个手工作品，只有完成当前作品，才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表，各个手工作品能否完成相互独立. 手工作品 完成的概率 获得的积分 A 0.8 200 B 0.5 600 C 0.4 1200 （1）求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率； （2）设该成员获得的总积分为，求的分布列及均值. 【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，592 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式，结合和事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合分布列的定义、均值的定义进行求解即可. 【小问1详解】 分别用表示完成三个手工作品的事件，则相互独立. 用表示该成员未获得制作手工作品C的资格， 则. 【小问2详解】 的可能取值为 则的分布列为 0 200 800 2000 0.2 0.4 0.24 0.16 . 16. 如图，在直四棱柱中，. （1）证明：平面平面. （2）设为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理把问题转化为平面，然后通过勾股定理和直棱柱的性质证明和即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后根据线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 连接，因为，所以由余弦定理得， 又，所以，则. 在直四棱柱中，平面，平面，则. 因为，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线与双曲线的焦距相等. （1）求的值及的离心率. （2）设为坐标原点，直线且与交于两点. （i）若，证明：. （ii）若直线的斜率之积为，证明：直线不经过的左焦点. 【答案】（1）， （2） 设. （i）证明：将代入，得， 则， 所以. （ii）将代入得， 则， . ，∵， ∴， 则整理得. 的左焦点的坐标为，假设直线经过的左焦点，则， 则， 因为，所以，所以，即， 这与矛盾，所以假设不成立，故直线不经过的左焦点. 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程，解得，然后由离心率的公式求得离心率； （2）设交点坐标，（i）将直线方程代入双曲线方程后得到一元二次方程，利用交点弦长公式及韦达定理求得，即可得证； （ii）将直线方程代入双曲线方程后得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标的和及积，写出，由，建立方程.假设直线经过的左焦点，由点坐标得到的数量关系，代入方程后由方程无解得到矛盾，从而得证. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以双曲线中，，则， 所以的离心率. 【小问2详解】 略 18. 对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”： （i）确定，取； （ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定. 已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”. （1）求的通项公式及. （2）证明：. （3）设是给定的正整数，求集合中的元素之和. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等差中项的意义求出通项公式，再求出即可得. （2）令，利用“就近隔离区间列”的定义探求得，求出数列的通项，再比较大小即可得证. （3）按的奇偶分类确定的最大取值，再利用等比数列前项和公式求出. 【小问1详解】 由，得，则是等差数列， 设的公差为，则，解得， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 设，则， 设且，则， 即， 于是，即， 而，则，由的定义知，， 即，则， 因此是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 则， 而， 所以. 【小问3详解】 由，得， 当时，，解得； 当时，，， ，， 即，则， 当时，若为奇数，则正整数不存在；若为偶数，则， 因此当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. （2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再由切线过原点，代入运算得证； （2）（i）解法一，对函数求导，判断单调性和极值，得到，又，可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，得解；法二，令，得，令，得，设，求导判断单调性极值数形结合求解； （ii）由（i）得，进而得到，，利用基本不等式将问题转化为证明，利用分析法证，即证，构造函数，利用导数证明，即可. 【小问1详解】 因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 由该切线过原点，得， 整理得，故为定值； 【小问2详解】 （i）解法一，， 令，得单调递增， 令，得单调递减； 故的极大值为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 若恰有两个零点，则，得； 由， 可得恰有两个零点等价于恰有两个零点，且， 故的取值范围是； 解法二： 令，得，令，得， 设，则， 由，得单调递增，由，得单调递减； 由，得单调递增，由，得单调递减； 故的极大值为的极大值为； 当时，，当时，， 当时，，当时，； 由图可知，的取值范围是； （ii）由（i）得，所以， 因为，所以，即， 同理得， 故， 因为， 又因为，所以，得， 则， 所以； 先证， 要证，只需证， 因为，所以， 而在上单调递减，所以只需证， 即证； 设， 则 ， 因为，所以，得， 而，所以， 得在上单调递增，所以， 则，即，得证； 令， 得在上单调递增， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 为实数 B. C. 的虚部为2 D. 为纯虚数 3. 已知函数且的图象经过定点，则点的横坐标为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年正好是一个平方年（），纵观历史，从1250年到1900年，所有平方年对应的朝代如下表所示： 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 元朝 明朝 明朝 明朝 明朝 清朝 清朝 清朝 某位历史老师将从这8个年份中随机选取3个年份，对当年的历史进行深入研究，则他选取的年份至少有2个在明朝的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的两个焦点为，且.若在椭圆上，，三点不共线，且，则椭圆的长轴长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为6的正方体中，，过的平面将该正方体分成体积为的两个部分，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数的最小值分别为，则下列命题中正确的有（ ） A. 当时， B. C. 成等比数列 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图1所示（图中的三个正六边形在同一平面内），将菲的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，曲线由组成，圆，则（ ） A. 当时，与圆无公共点 B. 当与圆有6个公共点时， C. 不存在过原点的直线与无公共点 D. 上仅有4个点到直线的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 江西省共有个地级市，各地级市的县､县级市､区的数量之和如下：南昌市，景德镇市，萍乡市，九江市，新余市，鹰潭市，赣州市，吉安市，宜春市，抚州市，上饶市.这个数组成一组数据，则这组数据的第百分位数对应的地级市为__________市. 13. 如图，周长为12的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，__________ 14. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，当时，恒成立.若，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动，需依次按顺序完成A（剪纸•窗花），B（陶艺•杯盏），C（刺绣•团扇）三个手工作品，只有完成当前作品，才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表，各个手工作品能否完成相互独立. 手工作品 完成的概率 获得的积分 A 0.8 200 B 0.5 600 C 0.4 1200 （1）求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率； （2）设该成员获得的总积分为，求的分布列及均值. 16. 如图，在直四棱柱中，. （1）证明：平面平面. （2）设为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线与双曲线的焦距相等. （1）求的值及的离心率. （2）设为坐标原点，直线且与交于两点. （i）若，证明：. （ii）若直线的斜率之积为，证明：直线不经过的左焦点. 18. 对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”： （i）确定，取； （ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定. 已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”. （1）求的通项公式及. （2）证明：. （3）设是给定的正整数，求集合中的元素之和. 19. 已知函数. （1）当时，过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值. （2）已知恰有两个零点恰有两个零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $