数学一模提分卷01（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．设集合，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2．已知正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 3．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 【答案】5 【分析】令，解出即可. 【详解】因为，且各项系数和为32， 令，则，解得， 所以正整数的值为5. 故答案为：5. 4．已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 5．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，由，，，共线可得，可得再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． ，当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为． 故答案为： 7．若函数对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式把问题转化成二次函数在给定区间上恒成立的问题求参数的取值范围. 【详解】因为在上恒成立. 设，，则在恒成立. 则. 故答案为： 8．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为 ，圆锥的表面积与球O的表面积的比为 ． 【答案】 / /0.5625 【分析】结合圆锥的图形特征应用线面角定义得出正切即可求角，再应用圆锥及球的表面积公式计算求解. 【详解】由题意可知球心在圆锥的高上，设底面的半径为，球的半径为，则，则， 所以， 因为与底面所成的角为，所以， 故． 由上可知圆锥的表面积为， 所以圆锥的表面积与球的表面积的比为． 故答案为：；. 9．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数 . 【答案】或 【分析】求出的坐标，再设的坐标，根据给定条件，列出方程组求解作答. 【详解】依题意，，设， 由得：，由得：， 联立解得或，即或， 所以或. 故答案为：或 10．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“直角距离”，若到点，的“直角距离”相等，其中实数x，y满足，，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ． 【答案】 【分析】根据“直角距离”定义结合条件列关系式，确定点C的轨迹，再求轨迹长度. 【详解】因为到点，的“直角距离”相等， 所以， 因为，， 所以当时，，该段轨迹的长度为1， 当时，，该段轨迹的长度为， 当时，，该段轨迹的长度为1， 所以点C的轨迹的长度之和为. 故答案为：. 11．已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得到的周期为，即最多3个不同取值，再结合，分析得到一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，解得，则集合中的两个不同元素为，，再化简计算即可． 【详解】， 则，其周期为， 而，即最多3个不同取值， 由题可知集合有且仅有两个元素，， 则在，，中，或， 或， 又，即，一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为，， 于是有， 即有， 解得， 不相等的两项为，， 故． 故答案为：． 12．若是区间上的单调函数，满足，，且（为函数的导数），则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与x轴交点的横坐标，当与的误差估计值（m为的最小值）在要求范围内时，可将相应的作为的近似值．用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 ，相应的值为 ． 【答案】 2 【分析】根据牛顿切线法，求解切线方程为，进一步得到，代入检验与的误差估计值不超过0.01即可求解. 【详解】设则，，当，故可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值. 由于在单调递增，所以，所以的最小值为2，即， 图象在点处的切线方程为，化简得， 令，则， 由于，所以，， ，， ，， 故作为的近似值， 故答案为：2， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解. 【详解】依题意，， ∴， 故声强为，的两人达到要求， 故选：C 14．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列不是对偶互存集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“对偶互存集”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，为全体奇数构成的集合， 当为奇数时，也为奇数，故B正确； 对于C，，则， 但，故C错误； 对于D，，当时，，故D正确． 故选：C 15．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点、、，根据这三点与双曲线以及渐近线的位置关系比较、、与、的大小关系，由此可得出结论. 【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为， 点在直线的上方，则，则，即 点在直线的上方，则，则， 所以，， 点在双曲线的外部，则， 在直线的上方，则，可得， 点在直线的下方，则，可得， 所以，，即； 因为点在双曲线的内部，则. 综上所述，. 故选：D. 16．对定义在上的函数，若实数满足，则称为的一个不动点.设二次函数，若在上有不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在上有不动点，得到方程有非负根，利用二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数在上有不动点，即方程有非负根， 即方程有非负根， 当方程有根时，满足， 解得或，即集合或， 又由若方程有两个负根时， 则，解得，即集合, 所以当方程有非负根时， 则满足或， 即的取值范围是. 故选B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点． (1)求证：EO平面PDC； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD． 【分析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明AC⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O， ∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴，（4分） ∵平面PDC，平面PDC， ∴平面PDC；（6分） （2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，（10分） ∵平面，∴AC⊥平面PBD，（12分） 又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．（14分） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简可求出，再由余弦定理计算可求出； （2）方法一：由结合平面向量线性运算计算求解；方法二：由余弦定理进行求解． 【详解】（1）（为外接圆半径）， ，（2分） ，，， ，（3分） ， ，即.（4分） ， ， ，.（6分） （2）方法一：由题意知，，（8分） ，（9分） ，（10分） ，（12分） .（14分） 方法二：由已知及余弦定理，得，（8分） ， ，（10分） 是的重心， ，（12分） .（14分） 19．（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分12分） 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设定义，得到，（i）先利用极值点的定义，求得，进而有，即可求解；（ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原式 ．（2分） （2） ．（3分）             （i）． 当或时，；当时，．                 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以，（6分） 则公差，所以， 所以．（8分） （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．                 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减．                 所以，                     而，所以．（11分） 令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，                 所以， 而，所以．（14分）            综上，． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 【分析】（1）利用导数研究其单调性即可. （2）先求出导函数，然后求出单调区间，进而利用极大值点的概念证明即可. （3）将问题转化为证明对任意恒成立，参变分离得对任意恒成立，令，即证，，多次求导求得的单调区间，即可求解的最小值，令，，利用导数求得最小值，即可证明. 【详解】（1）当时，，， 令，则，（2分） 当时，，，所以， 所以在上单调递减.（4分） （2），，其中满足，，，（7分） 令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增；（8分） 当时，，所以函数在区间上单调递减.（9分） 所以在上存在极大值点，且.（10分） （3）由（2）知在上的最大值为. 要证，使得对任意恒成立， 即证对任意恒成立，（11分） 即证对任意成立，又， 所以即证对任意恒成立， 即证，其中.（12分） 令，， 因为，，， 所以.（13分） 令，， 则， 则在上单调递增，又，， 则，使， 解得，所以.（15分） 当时，，即，所以函数在区间上单调递减； 当时，，即，所以函数在区间上单调递增. 所以函数在时取到极小值，也是最小值， .（16分） 令，， 则， 即在上单调递减，， 又， 即当时，，（17分） 所以，使得对任意恒成立，命题得证.（18分） 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 【分析】（1）根据判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出的值； （2）（i）首先计算出，的坐标，根据中点坐标公式得出圆心的坐标，在利用，得到圆的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆过定点；（ii）根据圆的面积公式，得出圆D的面积最小时，，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求的取值范围，根据切线性质可求，最后再构造出函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：；（1分） 对于曲线，，解得：；（2分） 即，所以曲线，曲线.（4分） （2）（i）由题意可知：，，（5分） 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则，（7分） 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得，（9分） 令得，所以圆过定点；（10分） （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为，（11分） 设，，则，即； 则，（12分） 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，，（13分） 设，则，, 因为，（15分） 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，，（17分） 可得，所以面积的取值范围为.（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 2.2 3.5 4. 5.144 6. 7. 8./ /0.5625 9.或 10. 11./ 12.2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 14 15 16 C C D B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（14分） 【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O， ∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴，（4分） ∵平面PDC，平面PDC， ∴平面PDC；（6分） （2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，（10分） ∵平面，∴AC⊥平面PBD，（12分） 又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．（14分） 18．（14分） 【详解】（1）（为外接圆半径）， ，（2分） ，，， ，（3分） ， ，即.（4分） ， ， ，.（6分） （2）方法一：由题意知，，（8分） ，（9分） ，（10分） ，（12分） .（14分） 方法二：由已知及余弦定理，得，（8分） ， ，（10分） 是的重心， ，（12分） .（14分） 19．（14分） 【详解】（1）原式 ．（2分） （2） ．（3分）             （i）． 当或时，；当时，．                 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以，（6分） 则公差，所以， 所以．（8分） （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．                 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减．                 所以，                     而，所以．（11分） 令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，                 所以， 而，所以．（14分）            综上，． 20．（18分） 【详解】（1）当时，，， 令，则，（2分） 当时，，，所以， 所以在上单调递减.（4分） （2），，其中满足，，，（7分） 令，得，当时，，所以函数在区间上单调递增；（8分） 当时，，所以函数在区间上单调递减.（9分） 所以在上存在极大值点，且.（10分） （3）由（2）知在上的最大值为. 要证，使得对任意恒成立， 即证对任意恒成立，（11分） 即证对任意成立，又， 所以即证对任意恒成立， 即证，其中.（12分） 令，， 因为，，， 所以.（13分） 令，， 则， 则在上单调递增，又，， 则，使， 解得，所以.（15分） 当时，，即，所以函数在区间上单调递减； 当时，，即，所以函数在区间上单调递增. 所以函数在时取到极小值，也是最小值， .（16分） 令，， 则， 即在上单调递减，， 又， 即当时，，（17分） 所以，使得对任意恒成立，命题得证.（18分） 21．（18分） 【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上； 对于曲线，，解得：；（1分） 对于曲线，，解得：；（2分） 即，所以曲线，曲线.（4分） （2）（i）由题意可知：，，（5分） 设，因为在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则，（7分） 且， 可知圆的圆心为，半径， 则圆的方程为：，整理可得，（9分） 令得，所以圆过定点；（10分） （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为，（11分） 设，，则，即； 则，（12分） 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，，（13分） 设，则，, 因为，（15分） 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，，（17分） 可得，所以面积的取值范围为.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 2 123 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 5 破。 6 6 5. 正确填涂■ 789 789 56789 456789 45678 6789 56789 123456789 456789 12345678 缺考标记 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6， 题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 3 5 6 8. 10 11 12 箭 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 1516题每题5分) 舸 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C[D] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共？8分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．设集合，，则 ． 2．已知正实数、满足，则的最小值为 ． 3．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 4．已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 . 5．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 ． 7．若函数对恒成立，则的取值范围是 . 8．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为 ，圆锥的表面积与球O的表面积的比为 ． 9．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数 . 10．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“直角距离”，若到点，的“直角距离”相等，其中实数x，y满足，，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ． 11．已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 12．若是区间上的单调函数，满足，，且（为函数的导数），则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与x轴交点的横坐标，当与的误差估计值（m为的最小值）在要求范围内时，可将相应的作为的近似值．用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 ，相应的值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列不是对偶互存集的是（ ） A． B． C． D． 15．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．对定义在上的函数，若实数满足，则称为的一个不动点.设二次函数，若在上有不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点． (1)求证：EO平面PDC； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 19．（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分12分） 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．设集合，，则 ． 2．已知正实数、满足，则的最小值为 ． 3．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则正整数的值为 . 4．已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 . 5．从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 ． 7．若函数对恒成立，则的取值范围是 . 8．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则SA与底面所成的角为 ，圆锥的表面积与球O的表面积的比为 ． 9．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数 . 10．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“直角距离”，若到点，的“直角距离”相等，其中实数x，y满足，，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 ． 11．已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 12．若是区间上的单调函数，满足，，且（为函数的导数），则可用牛顿切线法求在区间上的根的近似值：取初始值，依次求出图象在点处的切线与x轴交点的横坐标，当与的误差估计值（m为的最小值）在要求范围内时，可将相应的作为的近似值．用上述方法求方程在区间上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条件的k的最小值为 ，相应的值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列不是对偶互存集的是（ ） A． B． C． D． 15．点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．对定义在上的函数，若实数满足，则称为的一个不动点.设二次函数，若在上有不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点． (1)求证：EO平面PDC； (2)求证：平面PAC⊥平面PBD． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知分别为三个内角的对边，若且. (1)求角以及边的大小； (2)若分别是的中点，且交于点，求. 19．（本题满分14分，第1小题满分2分，第2小题满分12分） 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知函数，，其中函数的导函数为. (1)当时，求函数在上的单调性； (2)证明：当时，在上存在极大值点，且； (3)证明：，使得恒成立. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点． (1)分别求的方程． (2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D． （i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $