精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高一上学期12月自主学习效果评估数学试题

江苏省扬州中学2025-2026学年第一学期自主学习效果评估 高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如果，那么正确的结论是（ ） A. B. C. D. 2. 存在量词命题“”的否定是 （ ） A. B. C. D. 3. 若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集是空集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 10. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的单调增区间为_____. 13. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，若第一象限角满足，则的取值范围_____. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 扬州瘦西湖隧道长米，设汽车通过隧道的速度为米/秒．根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间的安全距离为米；当时，相邻两车之间的安全距离为米（其中，是常数）．当时，；当时，． （1）求，的值． （2）一列由辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为米，其余汽车车身长为米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第辆汽车车尾离开隧道所用的时间为秒． ①将表示为的函数； ②要使车队通过隧道的时间不超过秒，求汽车速度的范围． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）求不等式的解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； 19. 已知，. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2025-2026学年第一学期自主学习效果评估 高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如果，那么正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义，逐一分析选项中的元素与集合的关系即可. 【详解】由，则，，，故AB错误，D正确， 而，故C错误. 故选：D. 2. 存在量词命题“”的否定是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定，“”的否定是 . 故选：D. 3. 若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得， 所以“”时，可得“函数的最小正周期为”， “函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得出，结合同角三角函数的基本关系可得出的表达式. 【详解】因为，且为锐角，则， 所以，因此. 故选：A. 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数为上的减函数，则， 因为指数函数为上的增函数，所以， 又因为，故. 故选：B. 7. 已知关于的不等式的解集是空集，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分为与两种情况，结合一元二次不等式的解法，列出不等式求解． 【详解】当时，解得或， 当时，不等式可化为，得，解集不是空集，舍去； 当时，不等式可化为，解集是空集，符合题意， 当时，因为不等式的解集为空集，所以， 即，得，解得， 综上，的取值范围为． 故选：C． 8. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，，以及，计算出的值，结合函数周期性可得出所求代数式的值. 【详解】因为是定义域为的奇函数，满足， 即，， 在等式中，用代替得， 所以， 故函数是周期为的周期函数，且， 对任意的，， 所以， 因为，所以 ， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ） A. B. C. 扇形的面积 D. 角所对的弧长 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 10. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】由得， 则，当且仅当时，取等号，A正确， ， 当且仅当时，取等号，B正确， ， 即，又，为正实数， 得，则的最大值为2，C错误， 由，得且，即， 所以 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示，根据定义作出函数的图象，根据 在区间上的值域为，结合图象讨论区间的长度，得出选项. 【详解】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示： 根据定义作出函数的图象（实线部分），其中，. 已知在区间上的值域为： 最小值：仅在的顶点处取得. 最大值：在上解得（）， 或在上解得（）. 故区间的最小长度：区间包含顶点和上的， 即，其长度为，故A对； 中间长度：区间左端点扩展到，此时，即，区间长度为，故B对； 最大长度：区间左端点扩展到，此时，因为时单调递增， 所以区间为，长度为，故C对； 当区间长度为2时，由图象可知，区间包含或的点，故D错. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的单调增区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，所以， 令，， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 外层函数为增函数，故函数的增区间为. 故答案为：. 13. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，若第一象限角满足，则的取值范围_____. 【答案】， 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性解不等式，结合象限角即可求出范围. 【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减. 又，所以，所以， 解得，或，. 又为第一象限角，此时，. 所以，，. 故答案为：，. 14. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用换底公式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值； （2）利用诱导公式化简得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）， 故. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 当时，， 所以或，故或. 【小问2详解】 因为，所以. 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 扬州瘦西湖隧道长米，设汽车通过隧道的速度为米/秒．根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间的安全距离为米；当时，相邻两车之间的安全距离为米（其中，是常数）．当时，；当时，． （1）求，的值． （2）一列由辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为米，其余汽车车身长为米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第辆汽车车尾离开隧道所用的时间为秒． ①将表示为的函数； ②要使车队通过隧道的时间不超过秒，求汽车速度的范围． 【答案】(1) （2）①. ② 【解析】 【详解】试题分析：（1）由分段函数及待定系数法知，，解得，；（2）由题意分析第一辆车开始至最后一辆车离开车队走过的距离（其中包括车间距），得当时,当时, 要求时间不超过280秒，即，分别分段解出． 试题解析：（1）当时,,则； 当时, , 则，所以，． （2）①当时,； 当时, , 所以. ②当时,是减函数，则当时，，不符合题意；当时， ，令，解得,所以．故汽车速度的范围是. 点睛：本题考查了分段函数问题，解不等式及分类讨论的数学思想，涉及实际问题的数学应用，属于难题．解决这类问题时，首先要认真阅读题目，理解题意，将实际问题准确转化为数学问题，这是解此类问题的关键.第（2）问求汽车速度的范围时转化为解不等式问题，注意分段来解，并对解得的结果与定义域对比． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）求不等式的解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）函数为奇函数，证明如下： 由真数，解得，所以函数的定义域为，定义域关于原点对称. 又， 所以函数为奇函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性判断即可. （2）判断的单调性，结合的定义域和值域，得到，解不等式求解即可. （3）先求出在时的值域，分情况求出在时的值域，由题意可得与的值域存在交集，求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数. 证明略； 【小问2详解】 设，则，， 则， 即，所以函数在区间上单调递减. 由可得，， 所以，即，所以，解得. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，函数在区间上单调递减， 所以当时，的值域为. 由题意知，与在时的值域一定存在交集. 当时，在上单调递增，值域为， 此时与的值域不存在交集； 当时，在上单调递减，值域为， 若与的值域存在交集，则，即. 综上，实数的取值范围为. 19. 已知，. （1）求的解析式； （2）求的值域； （3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时的值域为；当时的值域为. （3）. 【解析】 【分析】（1）令，则x=2t，故．从而得出f（x）的解析式； （2）设，，下面对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a>0时，③当a<0时，分别求出其值域即可； （3）函数对任意x1，x2∈[-1，1]，，等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可. 【小问1详解】 设，则， . ； 【小问2详解】 设，则， 当 时，对称轴，且抛物线开口向下， 的值域为， 当 时，， 的值域为 综上，当时的值域为； 当 时，对称轴，在上单调递减，在上单调递增 的值域为 . 当时的值域为. 【小问3详解】 由题 . 对任意总有， 在满足 ， 设，则，， 当即时在区间单调递增， ， ， （舍去）， 当时，不合题意 ， 当时， 若即时，在区间单调递增， ， ， ， ， 若即时在递减，在递增， ， ， 若即时在区间单调递减， ， ， （舍去）， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $