精品解析：广东省揭阳市普宁市赤岗中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

广东省揭阳市普宁市赤岗中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 说明：1.全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国幅员辽阔，南北温差较大，10月份的某天同一时刻，我国南端南沙群岛的曾母暗沙的气温是，而北端漠河县的气温是，则该时刻曾母暗沙的气温比漠河县的气温高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．利用该时刻曾母暗沙的气温减去漠河县的气温即可得． 【详解】解：∵10月份的某天同一时刻，曾母暗沙的气温是，而北端漠河县的气温是， ∴该时刻曾母暗沙的气温比漠河县的气温高， 故选：D． 2. 非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，理解题意，由“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，得出数学原理是点动成线，即可作答． 【详解】解：依题意，这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是点动成线， 故选：A 3. 如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点间距离的概念 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 4. 极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（ ）． A. 北偏东 B. 西偏南 C. 南偏西 D. 东偏北 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 5. 已知与是同类项，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此可列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴ ． 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的周长都相等 B. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C. 顶点在圆上的角叫做圆心角 D. 由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质.等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等。根据性质逐项判断即可. 【详解】解：A：∵ 中，若，则与不一定相等，∴ A错误， B：∵，根据等式性质，，但选项为 ，显然不成立，∴ B错误， C：∵，且 ，∴ 两边同除以 得 ，∴ C正确， D：∵ ，∴ 两边同减1得 ，而非 ，∴ D错误， 故选C. 8. 由若干个相同的小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看得到的形状图如图所示，其中小正方形中的字母和数字表示该位置上小立方块的个数，则小立方块最多有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何图形，由图可得，的值为或，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，的值为或， ∴小立方块最多有个， 故选：． 9. 如图所示是一个长方形根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积（单位：cm2）是（　　） A. 8+2x B. 8﹣2x C. 16+2x D. 16﹣2x 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中所示可知：阴影部分面积长方形面积减去两个三角形面积． 【详解】解：阴影部分面积＝长方形面积减去两个三角形面积， ∴S＝8×4﹣×4×8﹣×4×（4﹣x）＝16﹣2（4﹣x）＝8+4x， 故选：A． 【点睛】根据图中所示可知：阴影部分面积长方形面积减去两个三角形面积． 10. 如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据题意得出从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次是解题的关键．根据题意，分别求出每次相遇时的位置，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令正方形的边长为a， 因为甲，乙分别从A和C出发，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动， 所以第1次相遇时两人所走的路程之和为 又因为乙的速度是甲的3倍， 所以第1次相遇时甲走的路程为，乙走的路程为， 所以第1次相遇时在的中点处． 因为第2次相遇时，两人又走了， 所以甲走了， 所以第2次相遇时在的中点处， 依此类推，第3次相遇时在的中点处，第4次相遇时在的中点处，第5次相遇时在的中点处，…， 由此可见，从第1次相遇开始，相遇点每四次循环一次． 因为， 所以第2025次相遇时在的中点处． 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 天角潭水库位于海南省儋州市，属于国务院确定的172项重大水利工程之一．水库的总库容为191000000立方米，将191000000用科学记数法表示应为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示形式作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则该多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形过一个顶点的所有对角线公式是条可得答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得， 故答案为：六． 13. 2025年7月15日是第十一个世界青年技能日．当天，“技能照亮前程，‘豫’见精彩未来”——2025年世界青年技能日主题宣传活动在郑州开展．将“豫”“见”“精”“彩”“未”“来”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图所示的是它的一种展开图，则在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是_____． 【答案】彩 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “豫”与“彩”是对面， 故答案为：彩． 14. 是一元一次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键； 根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，即可求解． 【详解】解：是一元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 15. 已知多项式的次数为a，项数为b，常数项为c，如图，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是_______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查线段之和最小值问题，即两点之间，线段最短，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵多项式的次数为a，项数为b，常数项为c， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∴最小值为． 故答案为：48． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】(1)18；(2) 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，解一元一次方程的方法，熟练掌握运算顺序和解方程的方法是解答本题的关键． （1）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后加减即可； （2）根据解一元一次方程的步骤和方法解方程即可． 【详解】解：（1） （2） 17. 2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如图． （1）该示意图可以由上面右侧四幅图中的第 幅图旋转而成；（填序号） （2）求该“粮仓”的体积．（提示：保留π，，） 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的体积，熟练掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【小问1详解】 解：由图可知该几何体是由第②幅图旋转而成的； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：该“粮仓”的体积为： ． 18. 随着数字经济蓬勃发展，直播销售为许多特色产品打开了新市场．某南山荔枝种植户聘请专业主播鹏鹏为自家果园直播带货，下表是主播鹏鹏在荔枝季某周的销售情况（以每日50千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： （1）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （2）双方约定薪酬制度如下：每日完成50千克的基础销售任务，主播可获得500元的基础日薪．若超额完成任务，则超过部分每千克奖励20元；若未完成任务，则少卖的部分每千克扣30元．试求在这一周鹏鹏的总薪酬是多少元？ 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用与有理数的混合运算，解题的关键是根据题意准确计算每天的销量及薪酬构成． （1）由表格得，销售量最多为星期六，最少为星期三，计算最多与最少的差值； （2）分别计算基础日薪、超额奖励和未完成扣罚，再将三者结合求出总薪酬． 【小问1详解】 解：由表格得，销售量最多为星期六，最少为星期三， ∴差值：（千克）； 【小问2详解】 解：基础日薪：一周7天， 超额的天数及超额量∶ 星期一：，奖励（元） 星期四：，奖励（元） 星期六：，奖励（元） 星期日：，奖励（元） 超额总奖励（元） 基础日薪：（元） 未完成的天数及未完成量∶ 星期二：，扣罚（元） 星期三：，扣罚（元） 星期五：，扣罚（元） 扣罚总额：（元） 总薪酬：（元） 总薪酬为元． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 作图与计算． （1）已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在第（1）问的条件下，，，是的角平分线，则的度数为______． 【答案】（1） 如图所示，就是所求的角． （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角平分线的有关计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）先根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 20. 小红在认真学习的时候，调皮的二宝弟弟跑来把她的一道求值题弄污损了，细心的小红隐约辨识出：化简，其中．系数“□”看不清楚了． （1）如果小红把“□”中的数值看成2，求上述代数式的值； （2）若式子无论m取何值，这个代数式的值都是，请通过计算帮助小红确定“□”中的数值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查整式加减运算及代数式求值，熟练掌握整式的加减混合运算是解题的关键， （1）将“□”中的数值看成2，化简，并求值即可； （2）设□中的数值为x，然后将原式化简，再根据题意，令含的项的系数为0即可求得的值． 【小问1详解】 解：将“□”中的数值看成2，即， ． 当时， 原式． 【小问2详解】 解：设□中的数值为x， 原式 ． ∵无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是， ∴． ∴． 即“□”中的数是4． 21. 生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． （1）若为，，B是中点，求手表全长的长度． （2）表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】（1）14 （2）①；②在内部时，，在外部时 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过的角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【小问1详解】 解：是中点． ； ； ； ； ； 【小问2详解】 解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3）10；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得，，代入运算即可； （2）利用已知条件求得，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新组合，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成x即可得出结论． 【详解】解：（1）∵a、b互为相反数，m、n互为倒数， ∴， 则 （2）∵当时，的值是2023； ∴ ∴ 当时， （3） ∵， ∴ 即 故原式的值为10； （4）关于的一元一次方程 设则 关于的一元一次方程的解是， 即 解得 23. 【问题初探】 数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点在线段AB上，点在线段的延长线上，若，点是线段的中点．为了探究与之间的数量关系，小聪和小慧进行了如下的讨论： （1）小聪说：“如果，则可依次求出、、的长．从而得出与之间的数量关系”，请你根据小聪的说法，求出与的数量关系？ （2）小慧说：“你的做法有道理，但只适合的情况，不具有普遍性，不能作为说理的依据．我们可以设，用含的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系”，请你按照小慧的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （3）通过小慧的做法，李老师与同学们总结出：用字母表示一个基本量，把其它相关的量用含这个字母的式子表示，就能发现一些量与量之间的数量关系．为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕点逆时针旋转得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； 设，则， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则． （3）．理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则． 【解析】 【分析】本题主要考查线段之间的关系和角度之间的关系、线段中点和角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）求出长，根据线段中点求得以及，即可得到答案； （2）设，得，根据线段中点求得以及，即可得到答案； （3）设，得到以及，根据角平分线性质得到，即可得到答案． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则； （2）略． （3）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市普宁市赤岗中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 说明：1.全卷共6页，用时120分钟，满分为120分． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的监测号、姓名、试室号、座位号、用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国幅员辽阔，南北温差较大，10月份的某天同一时刻，我国南端南沙群岛的曾母暗沙的气温是，而北端漠河县的气温是，则该时刻曾母暗沙的气温比漠河县的气温高（ ） A. B. C. D. 2. 非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不对 3. 如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点间距离的概念 D. 以上都不是 4. 极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（ ）． A. 北偏东 B. 西偏南 C. 南偏西 D. 东偏北 5. 已知与是同类项，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 6. 下列说法正确的是（ ） A. 圆的周长都相等 B. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C. 顶点在圆上的角叫做圆心角 D. 由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 7. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 8. 由若干个相同的小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看得到的形状图如图所示，其中小正方形中的字母和数字表示该位置上小立方块的个数，则小立方块最多有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图所示是一个长方形根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积（单位：cm2）是（　　） A. 8+2x B. 8﹣2x C. 16+2x D. 16﹣2x 10. 如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点A、C沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2025次相遇在哪条边上？（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 天角潭水库位于海南省儋州市，属于国务院确定的172项重大水利工程之一．水库的总库容为191000000立方米，将191000000用科学记数法表示应为__________． 12. 过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，则该多边形是______边形． 13. 2025年7月15日是第十一个世界青年技能日．当天，“技能照亮前程，‘豫’见精彩未来”——2025年世界青年技能日主题宣传活动在郑州开展．将“豫”“见”“精”“彩”“未”“来”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图所示的是它的一种展开图，则在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是_____． 14. 是一元一次方程，则_____． 15. 已知多项式的次数为a，项数为b，常数项为c，如图，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如图． （1）该示意图可以由上面右侧四幅图中的第 幅图旋转而成；（填序号） （2）求该“粮仓”的体积．（提示：保留π，，） 18. 随着数字经济蓬勃发展，直播销售为许多特色产品打开了新市场．某南山荔枝种植户聘请专业主播鹏鹏为自家果园直播带货，下表是主播鹏鹏在荔枝季某周的销售情况（以每日50千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： （1）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （2）双方约定薪酬制度如下：每日完成50千克的基础销售任务，主播可获得500元的基础日薪．若超额完成任务，则超过部分每千克奖励20元；若未完成任务，则少卖的部分每千克扣30元．试求在这一周鹏鹏的总薪酬是多少元？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 作图与计算． （1）已知：，（图（1）、图（2））． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）在第（1）问的条件下，，，是的角平分线，则的度数为______． 20. 小红在认真学习的时候，调皮的二宝弟弟跑来把她的一道求值题弄污损了，细心的小红隐约辨识出：化简，其中．系数“□”看不清楚了． （1）如果小红把“□”中的数值看成2，求上述代数式的值； （2）若式子无论m取何值，这个代数式的值都是，请通过计算帮助小红确定“□”中的数值． 21. 生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． （1）若为，，B是中点，求手表全长的长度． （2）表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 23. 【问题初探】 数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点在线段AB上，点在线段的延长线上，若，点是线段的中点．为了探究与之间的数量关系，小聪和小慧进行了如下的讨论： （1）小聪说：“如果，则可依次求出、、的长．从而得出与之间的数量关系”，请你根据小聪的说法，求出与的数量关系？ （2）小慧说：“你的做法有道理，但只适合的情况，不具有普遍性，不能作为说理的依据．我们可以设，用含的式子表示出的长，进而得到与之间的数量关系”，请你按照小慧的解题思路，写出说理过程． 【类比分析】 （3）通过小慧的做法，李老师与同学们总结出：用字母表示一个基本量，把其它相关的量用含这个字母的式子表示，就能发现一些量与量之间的数量关系．为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答． 如图2，，射线在内部，将射线绕点逆时针旋转得到射线（即），平分．探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $