精品解析：安徽省合肥市第四十二中学2025-2026年九年级上学期第二次段考数学试卷

安徽省合肥市第四十二中学2025-2026年九年级上学期第二次段考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如果，那么下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位后的解析式为（ ） A B. C. D. 4. 关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 当时，随增大而增大 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 5. 如果点A（－2，y1），B（－1，y2），C（2，y3）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y2＜y1 6. 如图，直线，直线，分别交直线，，于，，和，，，且，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 7. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D是斜边AB的中点，E是边BC上一点，且DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　） A. B. 1 C. D. 10. 已知点在直线上，点在拋物线上，且该直线和拋物线相交于点．若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 12. 若抛物线与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标______． 13. 汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了米，则汽车上升了______米． 14. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若________； （2）若的面积为6，则________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． （1）请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； （2）求出的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长． （2）若线段是线段，比例中项，求线段的长． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． （1）求反比例函数的解析式； （2）请连接、．并求出的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 六、（本题满分12分） 21. 某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 七、（本题满分12分） 22. 已知在平面直角坐标系中有抛物线． （1）若此抛物线对称轴为直线，求的值； （2）另有直线与此抛物线交于，两点（点在点的左边），点为抛物线与轴的交点． 在中，当为直角时，求的值； 当为何值时，的面积为． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点E在边上，连接并将沿着翻折，点F为点D的对称点．连接，交于点． （1）如图1，若点F在对角线上，且，求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，延长交于点H，连接．求证：； （3）如图3，连接．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市第四十二中学2025-2026年九年级上学期第二次段考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如果，那么下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质，同除以12或同除以4y，即可判断. 【详解】∵， ∴，A正确，B错误；亦可得，C错误，D错误. 【点睛】此题主要考查分式的性质. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“的顶点坐标为”即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 抛物线向右平移2个单位，根据平移规律“上加下减，左加右减”，将原函数中的x替换为得到新解析式，展开即可． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位， ∴新解析式为． 故选：D． 4. 关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象与坐标轴无交点 D. 若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用． 根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 图象位于第一、三象限， A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点， C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，， 增大，减小， 随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意． 故选：B． 5. 如果点A（－2，y1），B（－1，y2），C（2，y3）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y3＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象法，把点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）在反比例函数图象上的位置表示出来，进而得出答案． 【详解】解：点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）在反比例函数（k＞0）的图象上的位置如图所示， 因此有y2＜y1＜y3， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，用图象表示点在图象上的位置，可以直观得出y2＜y1＜y3． 6. 如图，直线，直线，分别交直线，，于，，和，，，且，，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，可得出，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似， ∴矩形ABCD与矩形BFEA相似， ∴， ∴AD•BF=AB•AB， 又∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 8. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，D是斜边AB的中点，E是边BC上一点，且DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长BC至F，使得CF＝AC，根据勾股定理求出AF，根据题意得到E是BF的中点，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：延长BC至F，使得CF＝AC＝1， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°， 在Rt△ACF中，AF＝， ∵D是AB边中点，DE平分△ABC的周长， ∴AC+CE＝BE， ∴EF＝EB，即E是BF的中点， ∵D为AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， ∴DE＝AF＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查中位线、勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线求解． 10. 已知点在直线上，点在拋物线上，且该直线和拋物线相交于点．若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，一元二次方程的根与系数的关系，判别式，求根公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由点在直线上求得，从而直线方程为，设y值为k，则，和为方程的根，故因此，由条件和判别式大于0，推导k的取值范围，进而得到的范围，即可作答． 【详解】∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线方程为， 设， 则点在直线上， 则， ∴， 点B、C在抛物线上， ∴， 即 ∴为方程的根， ∴由根与系数关系： ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 要使不等式成立，须有， 即 ∵ ∴ ∴， 解得或， ∵， ∴， 综上，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 12. 若抛物线与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴及抛物线与轴的一个交点坐标，利用抛物线的对称性可求出另一交点坐标，此题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为， 抛物线与轴的另一交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，解题的关键是利用抛物线的对称性找出另一交点坐标． 13. 汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了米，则汽车上升了______米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．设汽车上升的距离米，根据坡度的概念用表示出汽车行驶的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设汽车上升的距离米， 斜坡的坡度， 汽车行驶的水平距离米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则汽车上升的距离是米， 故答案为：20． 14. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若________； （2）若的面积为6，则________． 【答案】 ①. 6 ②. 8 【解析】 【分析】（1）求出C、A、M的坐标，再求出k，然后求出即可； （2）设，表示出M的坐标，用a、c表示k，求出D的横坐标，从而可求出；连接，根据矩形的性质可知三点共线，则，据此即可计算； 本题考查反比例函数图象的性质、矩形的性质、中点坐标公式的应用． 【详解】解：（1）由题可知，，则， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴； （2）设，则， 连接， 根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；8． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的混合计算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． （1）请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； （2）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）延长到，使，延长到，使，连接，可得出所求三角形； （2）利用三角形所在矩形面积与直角三角形面积的差进行计算即可． 本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求三角形； 【小问2详解】 解：的面积为其三个顶点所在矩形面积与三个直角三角形面积的差， 即． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长． （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1），， （2）线段 【解析】 【分析】（1）设，然后用表示出a、b、c，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的是义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长． 【小问1详解】 设， 则，，， ， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 线段是线段、的比例中项， ， 或舍去， 线段． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． （1）求反比例函数的解析式； （2）请连接、．并求出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出A的坐标，再求出k即可； （2）设一次函数图象与y轴交于D，求出D的坐标，联立一次函数和反比例函数的解析式求出B的横坐标，根据几何关系即可求解． 本题考查一次函数和反比例函数的图象性质． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； 小问2详解】 解：如图， 设一次函数图象与y轴交于D， ∴， 由，得，即， ∴， ∴B的横坐标， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，对角线相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算求出，再由求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ∵ 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴． 20. 某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】塔楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．延长，交于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， 答：塔楼的高度约为． 六、（本题满分12分） 21. 某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】（1） （2）第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解； （2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 综上所述，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，， ∴当时，利润为元； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴当时，利润为元； ∵， ∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 七、（本题满分12分） 22. 已知在平面直角坐标系中有抛物线． （1）若此抛物线对称轴为直线，求的值； （2）另有直线与此抛物线交于，两点（点在点的左边），点为抛物线与轴的交点． 在中，当为直角时，求的值； 当为何值时，的面积为． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及对称轴，二次函数与直线的交点问题，三角形的面积，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理列方程求解． （1）根据抛物线的对称轴为直线，列式求解即可； （2）易求点的坐标，联立抛物线的解析式和直线的解析式，解方程求得点、点的坐标，进而表示出，，，从而利用勾股定理列方程求解即可；设直线与轴交于点，易求点的坐标，从而根据表示出的面积，列等量关系式，即可得解． 【小问1详解】 解：对于抛物线，对称轴为直线， 则有，解得； 【小问2详解】 解：对于， 令，则有， ， 联立， 整理得，即， ， ， 或， ，， 点在点左边， ，， ， ， ， 当为直角时，由勾股定理得， 即， 整理得，解得； 设直线与��轴交于点��， 当时，可得， ， 又∵，， ， 的面积为， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点E在边上，连接并将沿着翻折，点F为点D的对称点．连接，交于点． （1）如图1，若点F在对角线上，且，求的长； （2）如图2，在（1）条件下，延长交于点H，连接．求证：； （3）如图3，连接．若，求的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，理解轴对称的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由翻折可得，利用勾股定理可求，再由列等式求解； （2）由翻折的性质和正方形的性质得，根据三角形的内角和及等边对等角的性质求得，证明，，得到，根据，通过等量代换可解决此问题； （3）先证，得出，然后在中，由勾股定理得出，再利用正方形的性质用替换即可求解． 【小问1详解】 解：在正方形中，，， 由翻折可得， ， 点F在对角线上， ， 由勾股定理，可得， ， ； 【小问2详解】 证明：在正方形中，， 由翻折得， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设交于H，由翻折，得， ， ， ， 正方形中，，， ， ， 由翻折，得垂直平分，即， ， 又， ， ， ， 在中，，由勾股定理，得， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $