精品解析：福建省漳州市艺术实验学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

漳州艺术实验学校2025-2026学年(上)第三次月考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上（选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔填写）； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据过两点的直线斜率公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因，故. 故选：A 2. 在等差数列中，已知，则该数列前9项和值为（　　） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和的公式求解即得. 【详解】在等差数列中，由，得. 故选：B 3. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线的位置关系求解. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D 4. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点为，由，从而可得结论. 【详解】由可得， 双曲线的右焦点为， 因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 所以，故选D. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与焦点坐标，考查了抛物线的方程与焦点坐标，属于基础题. 5. 圆被直线所截的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先把圆的一般方程变形为标准方程，求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，最后利用弦长公式即可求解. 【详解】方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 6. 已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意，作图如下： ，当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 7. 已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出，即可求出则可写出的通项公式，再利用裂项相消即可求出答案. 【详解】因为①， 当时，； 当时，②， ①-②化简得， 当时：，也满足， 所以，， 所以的前2022项和. 故选:D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列前n项和为，若，则（ ）． A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求出数列的通项公式，即可判断各选项. 【详解】对于AB： 因为，故，当时，，当时，也成立， 所以，即为常数列，其既是等差数列，也是等比数列，故A、B正确； 对于C： ，，显然等式仅当时成立，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 C. 直线与抛物线相交所得弦长为8 D. 抛物线与圆交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知抛物线方程为 对于A，焦点的坐标为，故A正确 对于B，过点有抛物线2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误 对于C，，弦长为，故C正确 对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确 故选：ACD 11. 已知圆，直线，为实数，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将整理成，则有，计算得解；选项B，由直线恒过定点，求出点到圆心的距离， 判断与圆的半径的大小关系得解；选项C，圆心到直线的距离取最大值时，此时直线与直线垂直，从而得到最大值为；选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆的最大距离加上半径，，设，求出，利用二次函数求最值即可得解. 【详解】选项A，，， ，，直线恒过定点，选项A错误； 选项B，直线恒过定点， ，圆心， 点到圆心的距离为， 又圆的半径为，，在圆内，过圆内点的直线必与圆相交，选项B正确； 选项C，圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，则最大值为，故选项C正确； 选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， ， 设，当时，取最大值，且最大值为， 的最大值为，的最大值为，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，，，则公比____. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质计算可得. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13. 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________. 【答案】22 【解析】 【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得，再利用双曲线的定义，，即可求得． 【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线， 到坐标原点的距离为7， 又由双曲线的定义， 得 故答案为22． 【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题． 14. 设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，令，变形得，令，利用数形结合法画出图象，分析图象，列式即可求解. 【详解】因为，即， 变形得， 令，① ，② ①式变形得， 即为以为圆心，2为半径轴上方的半圆， ②式表示斜率为，在轴上的截距为的平行直线系， 如图所示，当直线，即与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或， 又因为，即， 所以，此时， 由图可知，要使上恒成立， 则直线必在半圆的切线上方或重合， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列性质公式计算即可. （2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设的公差为d，因为，所以， 又，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得： 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在轴上，长轴长为，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由长轴长和离心率求出和，进而求出的值，得椭圆的标准方程； （2）先求出抛物线的焦点坐标，再得到标准方程； （3）由椭圆的焦点得到双曲线的焦点，再结合顶点坐标得到双曲线的标准方程. 【小问1详解】 长轴在轴上，焦点在轴上， 设椭圆标准方程为， ，，，， 则，， 椭圆的标准方程是； 【小问2详解】 标准方程对应的焦点在坐标轴上， 抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，即焦点为或， 当焦点是时，抛物线标准方程是； 当焦点是时，抛物线标准方程是， 综上，抛物线的标准方程为或； 【小问3详解】 椭圆的焦点为，， 双曲线的焦点为，，， 设双曲线的标准方程是， 双曲线的顶点为，， ，， 则双曲线的标准方程是. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，由列出方程求解即可； （2）分类讨论，当直线斜率不存在和存在两种情况即可求解． 【小问1详解】 由题意可设圆心， 由，得，解得， 圆心，半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 所以当直线斜率不存在时，直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 到直线的距离为，解得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点都在椭圆上，且的中点在线段（不包括端点）上. ①求直线的斜率； ②求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】 （1）利用离心率，点代入椭圆方程，及，解方程即得参数a，b，即得方程； （2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线的斜率；设直线的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB的长度，再利用点到直线的距离公式计算的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可. 【详解】解：（1）离心率，代入椭圆方程得，又， 解得，故椭圆的方程是； （2）①点都在椭圆上，设，则，作差得，即， 因为，，，即直线的斜率是； ②设直线的方程是，联立椭圆得， 由解得，且， 故， 又O到直线AB的距离为， 故面积，当且仅当时，即时等号成立，故面积的最大值为. 【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 19. 已知双曲线的一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设直线的方程为，，，与双曲线联立得到，利用和的面积的比，可解从而得到直线方程； （ii）根据题意可得直线的方程，根据圆心到直线的距离即可判断位置关系. 【小问1详解】 设双曲线方程为，则，解得 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）的右焦点为），设直线的方程为，，， 与方程联立可得：， 则由 ，得， 因为和的面积的比值为2，所以， 所以，所以， 所以， 解得，满足，所以， 所以直线的方程为：或． （ii）依题意得，则直线的斜率， 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以直线与圆相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州艺术实验学校2025-2026学年(上)第三次月考 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上（选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔填写）； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，则该数列前9项和的值为（　　） A 18 B. 36 C. 54 D. 72 3. 已知直线：，：，若，则值是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 5. 圆被直线所截的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7. 已知数列满足，设，则数列的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前n项和为，若，则（ ）． A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. D. 10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点 C. 直线与抛物线相交所得弦长为8 D. 抛物线与圆交于两点，则 11. 已知圆，直线，为实数，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，，，则公比____. 13. 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________. 14. 设函数和.已知当时，恒有，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列前项和. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）长轴在轴上，长轴长为，离心率为的椭圆的标准方程； （2）焦点在直线上的抛物线的标准方程； （3）与椭圆有相同的焦点，且一个顶点为的双曲线的标准方程. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点都在椭圆上，且的中点在线段（不包括端点）上. ①求直线的斜率； ②求面积的最大值. 19. 已知双曲线一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $