15.1 分式及其基本性质（题型专练）（基础达标9大题型+能力提升9大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

15.1 分式及其基本性质 题型一 分式的定义 1．（教材P2例1变式）（2024·衡阳珠晖期末）下列式子中，属于分式的为（　） A． B． C． D． （a＋b） 2． 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 题型二 分式有意义的条件 1．（2024·长春榆树期中）要使分式 有意义，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．如果分式 无意义，那么的值为 4．（教材P3例2变式）当取什么值时，下列分式有意义？ （1） ；（2） ；（3） 题型三 分式值为0的条件 1．若，则下列分式中，值为0的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·眉山仁寿模拟）若分式 的值为0，则的值为 3．已知分式 . （1） 当时，分式的值为0，求的值； （2） 若，求分式的值. 题型四 分式的应用 1.已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A. 元 B. a 元 C. 元 D. 元 2．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产 件产品（用含的式子表示）.当时，现在每天要生产 件产品. 题型五 分式的基本性质 1. 下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍 题型六 分式的变号法则 1. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． 1. ；（2）；（3）；（4）． 2.下列各式中，正确的是( )． A. B. C. D. 题型七 分式的约分 1. 约分：＝　 　． 2. 下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3. 分式约分的结果是______． 题型八 分式的通分 1. 分式，的最简公分母是 　 　． 2. 把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 题型九 运用分式的基本性质求值 1. 先约分，再求值：，其中 题型一 分式的定义 1. [2022 怀化]代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 分式有意义的条件 1.下列说法中，错误的是（　　） A. 当时，分式 有意义 B. 当时，分式 无意义 C. 不论a取何值，分式 都有意义 D. 当时，分式 的值为0 2.若分式 的值为正整数，则整数的值的个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 题型三 分式值为0的条件 1.若a、b是实数，且 ＝0，则3a＋b的值为（　） A. 10 B. 10或2 C. 2 D. 以上都不对 2.已知分式 ，当时，分式的值为0；当时，分式无意义.求a＋b的值. 3. 分式的值能等于0吗？说明理由． 题型四 分式的应用 1.（教材P6习题15.1第1题变式）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）.若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需 小时（用含的式子表示）. 题型五 分式的基本性质 1. 下列各式从左到右的变形中，正确的是 （  ） A． B． C． D． 2. 下列等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 题型六 分式的变号法则 1. （2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 题型七 分式的约分 1. 列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2. ①,②　　．, 题型八 分式的通分 1. 分式与的最简公分母是（　　） A．m2（m﹣1） B．m（m﹣1） C．m﹣1 D．m 2. 阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1,，； 第二步：xy2，，3； 第三步：x2y2，2y，3x． ∴，的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求，，的最简公分母； （2）求，，的最简公分母． 题型九 运用分式的基本性质求值 1. 已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 1．仔细阅读下面的材料并解答问题. 例：当取何值时，分式 的值为正数？ 解：由题意，得 ＞0，则有① 或② 解不等式组①，得 ＜＜1；解不等式组②，得该不等式组无解.∴ 当 ＜＜1时，分式 的值为正数. 按照上面的方法，求当取何值时，分式 的值为负数. 2．（培养创新意识）对于两个非零实数，定义一种新的运算：，若，则的值是 。 3. 当为何值时，分式的值满足下列条件： （1）为正数；（2）为负数；（3）为1；（4）为-1. 4.如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝方法2：xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy得， 原式＝＝… （1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． （2）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （3）若b＝ab+a（a，b都不为0），请直接写出的值． 5.已知，则分式的值为（    ） A．8 B． C． D．4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 分式及其基本性质 题型一 分式的定义 1．（教材P2例1变式）（2024·衡阳珠晖期末）下列式子中，属于分式的为（　） A． B． C． D． （a＋b） 【答案】A 【分析】一般地，如果A,B表示整式，且B 中含有字母，式子叫做分式 ，其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.依此即可求解． 【详解】解：A、满足分式的定义，故A符合题意； B、在分母位置不含有未知数，故B不符合题意； C、π是常数，故C不符合题意； D、在分母位置不含有未知数，故D符合题意． 故选A． 2． 下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】整式是，；分式是；； 【分析】利用整式、分式的定义求解 题型二 分式有意义的条件 1．（2024·长春榆树期中）要使分式 有意义，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0. 【详解】要使分式有意义，需满足分母，解得 故选：A． 2．下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0. 【详解】解：A.当时，，分式无意义； B. 当时，，分式无意义； C. 当时，，分式无意义； D.分母为，因为，所以，分母永远不为0，分式一定有意义。 故选D． 3．如果分式 无意义，那么的值为 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母为0。 【详解】对于分式，令分母，解得，即。 因此，的值为 4．（教材P3例2变式）当取什么值时，下列分式有意义？ （1） ；（2） ；（3） 【答案】见解析 【分析】本题考查分式有意义的条件 【详解】解： （1）要使 有意义，得，即当时， 有意义 （2）要使 有意义，得，即当为任意实数时， 有意义 （3）要使 有意义，得，解得，即当时， 有意义 题型三 分式值为0的条件 1．若，则下列分式中，值为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式值为0的条件，分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0。 【详解】选项A：时，分母，但分子为1≠0，分式值不为0。 选项B：时，分母，分式无意义。 选项C：时，分子，分式值不为0。 选项D：时，分子，分母，满足分式值为0的条件。 故选：D． 2．（2024·眉山仁寿模拟）若分式 的值为0，则的值为 【答案】2 【分析】要是分式值为0，需同时满足分子为0，分母不为0. 【详解】解：分子为0，即，解得 分母不为0，即，解得 综上， 故答案为：2． 3．已知分式 . （1） 当时，分式的值为0，求的值； （2） 若，求分式的值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据分式值为 0 的条件求解：分子为 0 且分母不为 0；（2）根据 “绝对值和平方数的非负性”求解 【详解】解：（1） 由题意，得解得.∴ （2） ∵ ，＝0，∴ ,解得∴ ＝ ＝－ 故答案为：（1）1；（2） 题型四 分式的应用 1.已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A. 元 B. a 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用。 【详解】解：设衣服原来的价格为元，价格上涨后，现价是原价的倍，根据“原价×（1 + 上涨幅度）= 现价”，可列方程： 将方程变形，解得原价： 故选D。 2．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产 件产品（用含的式子表示）.当时，现在每天要生产 件产品. 【答案】，15 【分析】本题考查了工程问题，核心是利用 “工作总量、工作时间、工作效率” 三者的关系（工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间）进行列式与计算。 【详解】解：式子推导：原计划天生产60件，现在提前1天完成，实际用时为天。根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，现在每天生产的产品数为件。 代入计算：当时，代入式子得：，即现在每天要生产15件。 故答案为：，15． 题型五 分式的基本性质 1. 下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：C． 2. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍 【答案】B 【解析】解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y， 得 可见新分式与原分式相等． 故选：B． 题型六 分式的变号法则 1. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． 1. ；（2）；（3）；（4）． 【解析】 解：（1） （2） （3） （4）． 1. 【点睛】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 2.下列各式中，正确的是( )． A. B. C. D. 【答案】A； 【解析】. 题型七 分式的约分 1. 约分：＝　 　． 【答案】 【解析】解：原式＝ 故答案为． 【点睛】本题考查约分，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母怎么找公因式． 2. 下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据最简分式的定义依次判断即可． 解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：是最简分式，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C． 3. 分式约分的结果是______． 【答案】； 【解析】. 题型八 分式的通分 1. 分式，的最简公分母是 　 　． 【答案】10bc2． 【解析】解：分式，的最简公分母是10bc2． 故答案为：10bc2． 2. 把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确； B、，通分正确； C、，通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4； 故选：D． 题型九 运用分式的基本性质求值 1. 先约分，再求值：，其中 【答案】，。 【解析】解：原式＝ 把代入 原式＝＝． 题型一 分式的定义 1. [2022 怀化]代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式的定义求解，特别注意π是常数。 【详解】分析各代数式： ：分母是常数5，不是分式； ：是常数（圆周率），分母不含字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母是常数3，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式。 故属于分式的有，，。共3个。 题型二 分式有意义的条件 1.下列说法中，错误的是（　　） A. 当时，分式 有意义 B. 当时，分式 无意义 C. 不论a取何值，分式 都有意义 D. 当时，分式 的值为0 【答案】C 选项A：分式有意义的条件是分母不为0。对于分式，当时，分母，分式有意义，该说法正确。 选项B：对于分式，当时，分母，分式无意义，该说法正确。 选项C：分式的分母为，当时，分母，分式无意义，因此“不论取何值都有意义”的说法错误。 选项D：分式的值为0的条件是“分子为0且分母不为0”。对于分式，当时，分子，但分母，此时分式的值应为， 故选C 2.若分式 的值为正整数，则整数的值的个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】要解决这个问题，需分析分式值为正整数的条件 【详解】步骤1：确定分式的取值范围 分式的值为正整数，因此需满足： 分母（分式有意义）； （分式值为正）； 是的正因数（分式值为整数）。 步骤2：找出的可能值 的正因数为：，因此： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，。 步骤3：验证整数的个数 满足条件的整数有：，共个 题型三 分式值为0的条件 1.若a、b是实数，且 ＝0，则3a＋b的值为（　） A. 10 B. 10或2 C. 2 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】根据分式不为0的条件求解 【详解】要使分式成立，需满足： 分子为0： 由于平方数和绝对值均为非负数，因此：，；， 分母不为0：； 结合以上条件，（排除）。 因此，。 2.已知分式 ，当时，分式的值为0；当时，分式无意义.求a＋b的值. 【答案】6 【分析】本题考查分式值为0和分式无意义的条件 【详解】由题意，得 解得∴ 3. 分式的值能等于0吗？说明理由． 【答案】不能 【分析】分式值为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0 【详解】令分子为0，求解 令，解得。 验证分母是否为0 将代入分母：得 分母为0时，分式无意义。 因此，该分式的值不能等于0。 题型四 分式的应用 1.（教材P6习题15.1第1题变式）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）.若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需 小时（用含的式子表示）. 【答案】 　 【分析】行程问题 【详解】步骤1：计算甲乙两地的距离 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 = 千米/时， 甲乙两地距离 = 顺流速度 × 顺流时间 = 千米。 步骤2：计算逆流返回的时间 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = 千米/时， 返回时间 = 甲乙两地距离 ÷ 逆流速度 = 小时。 故答案为。 题型五 分式的基本性质 1. 下列各式从左到右的变形中，正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：C． 2. 下列等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，所以A选项的计算正确； B、，所以B选项的计算正确； C、（z≠0），所以C选项的计算不正确； D、，所以D选项的计算正确． 故选：C． 题型六 分式的变号法则 1. （2022秋•岳阳楼区月考）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵＝﹣，＝＝， ∴选项A、选项B、选项D都不符合题意，只有选项C符合题意， 故选：C． 题型七 分式的约分 1. 列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据最简分式的定义依次判断即可． 解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：是最简分式，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式． 2. ①,②　　．, 【答案】6a2，a﹣2． 【解析】解：①分母5xy变形成10axy，是乘以2a，因而分子是3a•2a＝6a2； ②分子a+2变形成1，是除以a+2，分母应进行相同的变化，因而分母是a﹣2． 故本题答案为：6a2，a﹣2． 题型八 分式的通分 1. 分式与的最简公分母是（　　） A．m2（m﹣1） B．m（m﹣1） C．m﹣1 D．m 【答案】A 【解析】解：与的最简公分母是m2（m﹣1）． 故选：A． 2. 阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1,，； 第二步：xy2，，3； 第三步：x2y2，2y，3x． ∴，的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求，，的最简公分母； （2）求，，的最简公分母． 【答案】abc，12x3y2z3 【解析】解：（1），，的最简公分母abc； （2），，的最简公分母12x3y2z3 题型九 运用分式的基本性质求值 1. 已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 【答案】，﹣。 【解析】解：两分式分母的公因式为，最简公分母为， ∴＝，即． 则＝＝． ＝＝﹣． 1．仔细阅读下面的材料并解答问题. 例：当取何值时，分式 的值为正数？ 解：由题意，得 ＞0，则有① 或② 解不等式组①，得 ＜＜1；解不等式组②，得该不等式组无解.∴ 当 ＜＜1时，分式 的值为正数. 按照上面的方法，求当取何值时，分式 的值为负数. 【答案】当且时 【分析】综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识。 【详解】原式＝ ＝ .由题意，得 ＜0，则有 ① 或② 解不等式组①，得0＜＜3且≠1； 解不等式组②，得该不等式组无解.∴ 当0＜＜3且≠1时，分式 的值为负数 2．（培养创新意识）对于两个非零实数，定义一种新的运算：，若，则的值是 。 【答案】-1 【分析】本题考查思维转化问题，能够通过模仿，进行新的运算。 【详解】根据新运算定义，代入已知条件求的值 由，已知，代入得：，得到 计算的值 代入新运算定义： 将代入，得： 3. 当为何值时，分式的值满足下列条件： （1）为正数；（2）为负数；（3）为1；（4）为-1. 【答案】见解析 【分析】利用分式的概念进行计算，注意计算的准确性，可能的完整性。 【详解】（1）分式的值为正数 分式，等价于分子、分母同号： 情况1：，解得：，取交集得。 情况2：，解得：，取交集得。 综上，的取值范围是或。 （2）分式的值为负数 分式，等价于分子、分母异号： 情况1：，解得：，取交集得。 情况2：。解得：，无交集（无解）。 综上，的取值范围是 （3）分式的值为1 令，解方程：，得 验证分母：，故。 （4）分式的值为-1 令，解方程：，得 验证分母：，故 4.如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝方法2：xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy得， 原式＝＝… （1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． （2）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （3）若b＝ab+a（a，b都不为0），请直接写出的值． 【答案】（1）分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 （2）﹣，（3）1 【解析】： （1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）∵xy≠0， ∴原式＝ ＝ ＝， ∵﹣＝2， ∴﹣＝﹣2， ∴原式＝＝﹣； （3）∵b＝ab+a， ∴a﹣b＝﹣ab， ∴＝＝＝＝1． 5.已知，则分式的值为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【解析】把已知整理成，再整体代入求解即可． 解：∵，即， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $