寒假作业01 有理数（巩固培优）（积累运用+巩固提升10大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 有理数 1.正数与负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 注意：1）正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 2）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。 2.有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 注意：1）在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数； 2）有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3.数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 4.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意：①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；③相反数是成对出现的（0除外）。 5.绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 ①绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 ②绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 6.有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1、有理数的相关概念辨析与分类 1．（25-26七年级上·广东·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确；③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确．正确的有①③；故选：C． 2．（25-26七年级上·绵阳·期中）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确．故选：C 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【详解】解：根据相关概念有：整数集合：{， 0， 2005， …}；正数集合：{ ，2005，…}； 负分数集合：{ ，， ， …}；负有理数集合：{，，，， …}． 题型2、正负数的应用（相反意义的量、允许偏差、基准量等） 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【答案】D 【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确； 水位为时，记作，故B选项说法正确；表示达到警戒水位，故C选项说法正确； 表示水位为8.5m，故D选项说法不正确；故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：它们的直径最大相差：，故选：C． 6．（24-25七年级上·山东·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 【答案】B 【详解】解：依题意，小乐得了分，故选：B． 题型3、数轴与有理数的关系 7．（25-26·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D． 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．2 B．1.8 C． D．5.4 【答案】C 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间，根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， 观察四个选项，只有符合题意题意，故数轴上x的值最有可能是．故选：C． 题型4、数轴上两点之间的距离与动点问题 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【答案】B 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离，故选：B． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【详解】解：∵点B到原点的距离为6，∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，∴或∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等，∴或，∴点C表示的数是或10故选：B． 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A，数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C，数轴上点7对应的是D，数轴上点9对应的是E，数轴上点11对应的是F，…… 则，所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E．故选：C． 题型5、相反数的概念与性质（含几何意义） 12．（25-26七年级上·绵阳·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；故选：C． 13．（24-25·广东·七年级专题练习）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的相反数为，故选：C． 14．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度，表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的，，，故选：D． 题型6、绝对值的概念与意义辨析 15．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个，故选：A． 16．（2025·江苏连云港·一模）下列各数是-2025的绝对值的是（   ） A． B． C．2025 D．-2025 【答案】C 【详解】解：的绝对值的是2025，故选：C． 17．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】D 【详解】法1：解：由题可知，，∴或，∴或．故选：D． 法2：∵，由几何意义知：x即为数轴上与实数1距离2个单位的实数，∴或．选：D． 题型7、绝对值的非负性与化简求值 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，，，．故答案为：． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为，故选：A． 20．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意．故选：D． 21．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，且，所以，故答案为：；； （2）解：因为，，所以． 题型8、绝对值的几何意义求最值（难点） 22．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B． 23．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为．故选：B． 题型9、绝对值与相反数的实际应用 24．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的误差最小，∴这四个零件中质量最差的是第四个．故选：D． 25．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球；(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球(2)见解析 【详解】（1）解：由题意得：∵，∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得：如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些；如果，那么两个篮球的质量一样好． 题型10、有理数的大小比较 26.（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【答案】数轴表示见解析， 【详解】解：，，把各数表示在数轴上，如下图所示， 按从小到大的顺序用“”连接起来可得：． 27．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，∵，，则该选项错误，不符合题意； B，∵，，则该选项错误，不符合题意； C，，∵分子相同，分母不同，且， ，，则该选项正确，符合题意； D，∵，则该选项错误，不符合题意；故选：C． 28．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，选项错误，符合题意；B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意；D、，选项正确，不符合题意；故选A． 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：“”所表示的数是，故选：． 2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（   ） 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量 294 300 299 305 A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味 【答案】A 【详解】解：由题意可得净含量合格的范围为， 则300，299，305均在该范围内，294不在该范围内，那么净含量不合格的是原味，故选：A． 3．（2025·河北沧州·一模）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（    ） A．7 B．6 C．14 D．12 【答案】C 【详解】解：∵数轴上点，分别在直尺的，处．∴，相距， ∵点对应，直尺的0刻度位置对应，∴直尺中是数轴上两个单位长度， ∴点对应的数为，故选：C． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：由图知点表示的数为，将点在数轴上右移7个单位到达点， 则点所表示的数为，故选：B． 5．（2025·四川绵阳·一模）的相反数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【详解】解：，则的相反数是，故选：D． 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意．故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【答案】3 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点．故答案为：3． 8．（24-25七年级上·河南·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 【答案】 【详解】解：，，，，， ∵ 号同学的体重最接近标准体重．故答案为： ． 9．（24-25·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）． 【答案】 (答案不唯一） 【详解】∵,∴；∴，， ∵，∴．故答案为：，． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，∴当时，有最小值， 当时，． 故答案为：225． 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由数轴可得：，∴，∴； （2）解：由数轴可得：，∴，， ∴． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用：①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是，故答案为：； （3）①，解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间，∴，∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误；故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，，对应的字母是．故选：A． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，∴，由选项可知A，B，C符合，D不符合，故选：D． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】C 【详解】解：设对折后点A的对应点为，因为对折后的点到点B的距离为4，分两种情况： ①点在点B的左边，到点B的距离为4，此时点表示的数为4，所以点C表示的数为； ②点在点B的右边，到点B的距离为4，此时点表示的数为12， 所以C表示的数为0．所以乙、丙的答案合在一起才完整，故选C． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，大于的需要放松，小于的需要拧紧，且， ∴指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是，故选：B． 6．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 7．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ． 【答案】6 【详解】解：根据题意得：数组中所有的逆序为“”，“”，“”，“” ，“” ，“”，∴数组的逆序数是6，故答案为：6． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【详解】∵，，∴，， ∴当，时，；当，时，； 当，时，；当，时，． ∵，∴的最大值为0．故答案为：0 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用 能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数． 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数． 已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由． 【答案】的值不可能为1，见解析 【详解】解：的值不可能为1 理由如下：∵，∴a、b、c、d的值均为， ∵是奇数，∴的值均为奇数， ∵奇数奇数奇数奇数偶数，∴是偶数， 又∵1是奇数，且偶数奇数，∴的值不可能为1． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】（3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3），； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为：； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 作业01 有理数 1.正数与负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 注意：1）正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 2）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。 2.有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 注意：1）在定义有理数时，我们说整数可以写作是分母为1的分数，但是切记整数一般情况下并不是分数； 2）有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3.数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…． 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 4.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意：①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；③相反数是成对出现的（0除外）。 5.绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 ①绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 ②绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 6.有理数的大小比较方法 1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1、有理数的相关概念辨析与分类 1．（25-26七年级上·广东·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·绵阳·期中）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 3．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 题型2、正负数的应用（相反意义的量、允许偏差、基准量等） 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 题型3、数轴与有理数的关系 7．（25-26·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．2 B．1.8 C． D．5.4 题型4、数轴上两点之间的距离与动点问题 9．（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型5、相反数的概念与性质（含几何意义） 12．（25-26七年级上·绵阳·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 13．（24-25·广东·七年级专题练习）的相反数（　　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 题型6、绝对值的概念与意义辨析 15．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 16．（2025·江苏连云港·一模）下列各数是-2025的绝对值的是（   ） A． B． C．2025 D．-2025 17．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 题型7、绝对值的非负性与化简求值 18．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 21．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 题型8、绝对值的几何意义求最值（难点） 22．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 题型9、绝对值与相反数的实际应用 24．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 25．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球；(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 题型10、有理数的大小比较 26.（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 27．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（   ） 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量 294 300 299 305 A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味 3．（2025·河北沧州·一模）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点，分别在直尺的，处．若点对应，直尺的0刻度位置对应，则点对应的数为（    ） A．7 B．6 C．14 D．12 4．（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 5．（2025·四川绵阳·一模）的相反数是（　　） A． B．2025 C． D． 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   8．（24-25七年级上·河南·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 9．（24-25·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 12．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用：①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，一条数轴上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若对折后的点A到点B的距离为4，求点C表示的数．甲答：点C表示的数为；乙答：点C表示的数为；丙答：点C表示的数为0．则下列说法正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 6．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·山东聊城·一模）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ． 8．（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用 能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质： 奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数． 奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数． 已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】（3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $