专题01 有理数及其运算-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（苏科版2024）

专题01 有理数及其运算 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 有理数的分类 1 题型二 求绝对值、相反数、倒数 3 题型三 有理数的大小比较 4 题型四 用科学记数法表示较大的数 6 题型五 有理数的混合运算 7 题型六 有理数的混合运算中错解复原问题 13 题型七 有理数的混合运算中应用问题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 有理数的分类 ⭐技巧积累与运用 有理数的分类： 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 【例1】（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了负整数的定义，根据负整数是小于0的整数进行求解即可． 【详解】解：由题意得，四个选项中只有是负整数， 故选：D． 【变式1-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下列说法错误的有（    ） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥是最小的负整数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查的是有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．直接根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：①是负分数，说法正确； ②1.5不是整数，说法正确； ③非负有理数包括0，说法错误； ④整数和分数统称为有理数，说法正确； ⑤0是最小的有理数，说法错误，没有最小的有理数； ⑥是最大的负整数，原说法错误． 所以错误的有3个． 故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数的定义解答即可；掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键． 【详解】解：整数有，，，共3个． 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答． 【详解】解：在，，0，，，这6个数中，负数有，，，共3个， 故选：C． 题型二 求绝对值、相反数、倒数 ⭐技巧积累与运用 绝对值：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 【例2】（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身是解题的关键． 根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：2024的绝对值是， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据：“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果． 【详解】解：2024的相反数是； 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、倒数 【分析】本题考查了绝对值、倒数，先根据绝对值的性质并结合已知条件得出，再根据倒数的定义得出a的倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a的倒数是． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 3 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，根据相反数、倒数的定义求额吉即可． 【详解】解：的相反数是：，的倒数是：3． 故答案为：，3． 题型三 有理数的大小比较 ⭐技巧积累与运用 有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法，绝对值大的反而小。 【例3】（23-24七年级上·安徽·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 故答案为： 【变式3-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】化简绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 将的绝对值化简，再将带分数化为小数，根据两个负数比较大小法则再进行比较即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号求出两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】此题考查了有理数比较大小，掌握相关规则是解题的关键． 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小和正数大于负数等规则，即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为，， 题型四 用科学记数法表示较大的数 ⭐技巧积累与运用 科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【例4】（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为， ∴用科学记数法表示万，则万， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：153亿， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型五 有理数的混合运算 ⭐技巧积累与运用 有理数的混合运算，运算法则是： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘法，绝对值，再算乘除法，最后算加减法。 【例5】（23-24七年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)21 (2)0 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘法，绝对值，再算乘除法，最后算加减法． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式5-1】（23-24七年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-2】（23-24七年级上·天津·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)5 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算． （1）先算括号，再算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加法即可； （3）先算乘方、乘除，再算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【变式5-4】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）首先计算乘方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可； （3）首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的减法，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-5】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)24 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先确定符号，再把除法变乘法，最后根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）运用乘法分配律展开，最后再运用加减运算法则计算即可； （4）先算乘方，再算出乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-6】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的运算， （1）先将原式化简，然后利用交换律和结合律进行正负数分组，再分别进行运算即可； （2）利用乘法分配律进行简算即可； （3）利用乘除运算法则进行运算即可； （4）先计算乘方，然后是括号内的减法，接着计算乘法，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算律和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型六 有理数的混合运算中错解复原问题 ⭐技巧积累与运用 有理数的混合运算，运算法则是： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘法，绝对值，再算乘除法，最后算加减法。 【例6】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误： 小明出错的步骤是第______步、小红出错的步骤是第______步； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、二 (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）小明的第一步计算出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小明第一步计算出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； 故答案为：一、二． （2）解：原式 【变式6-1】（23-24七年级上·北京顺义·期末）学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： ．…………………………………………① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？在第①步的算式中用“○”圈出来错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数混合运算的法则判断即可； （2）根据有理数混合运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：小明同学的第①步运算有2处错误； 在第①步的算式中，应该是； 用乘法分配律计算应该是； （2）解： ． 【变式6-2】（18-19七年级上·全国·单元测试）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)运算顺序错误；符号错误 (2)见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误， 故答案为：运算顺序错误；符号错误． （2）解： ． 【变式6-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 【答案】(1)一；四； (2)见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断； （2）根据有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步 故答案为：一；四； （2）原式 ． 题型七 有理数的混合运算中应用问题 ⭐技巧积累与运用 1.绝对值的意义、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 2.正负数的意义，有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接将航行路程相加即可得出结果； （2）根据题意将所有的航行路程的绝对值相加，然后利用有理数的乘法运算求解即可． 【例7】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一艘货船加满油沿东西方向的河流运送货物，早晨从甲地出发，向东记为正方向，当天的航行路程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，． (1)晚上送完最后一批货物后，货船在甲地的什么方向？到甲地多远？ (2)若货船每千米耗油0.7升，油箱容量为30升，求货船当天运送货物过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)货船在甲地的正东方向，距离甲地9千米 (2)升 【知识点】绝对值的意义、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】题目主要考查正负数的意义，有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接将航行路程相加即可得出结果； （2）根据题意将所有的航行路程的绝对值相加，然后利用有理数的乘法运算求解即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：货船在甲地的正东方向，距离甲地9千米； （2）解：货船当天航行总路程为 （千米）， （升）， 答：货船当天送货过程中至少还需补充19.7升油． 【变式7-1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一只蜗牛从位于电线杆底上方3米处沿着电线杆上上下下地爬行，规定向上爬记为正，向下爬记为负（单位；厘米），某数学兴趣小组观察了这只蜗牛的5次爬行，记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 爬行距离（与上一次相比） (1)观察结束时，蜗牛离出发点多远？是在出发点的上方还是下方？为什么？ (2)若蜗牛平均每厘米要爬5秒，则该数学兴趣小组一共观察了多长时间？ 【答案】(1)观察结束时，蜗牛离出发点2厘米远，在出发点的上方，原因见解析 (2)该数学兴趣小组一共观察了460秒 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数知识点，有理数的加法和乘法运算，理清题意是解本题的关键，综合性较强，难度不大． （1）求出表中爬行记录数之和，再根据其值与0的大小判定是否朝上或朝下； （2）求出蜗牛爬行的总路程，总路程数乘以5秒即可得观察时间． 【详解】（1）（厘米）， 所以观察结束时，蜗牛离出发点2厘米远，在出发点的上方； （2）根据题意，得（厘米）， （秒）， 所以该数学兴趣小组一共观察了460秒． 【变式7-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）2024年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1～50 51～100 101张及以上 单价（元/张） 60 50 40 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． (1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ 【答案】(1)联合起来购买比各自购买节省了元 (2)甲单位有62人，乙单位有40人 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程解决实际问题，理解数量关系，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据表格信息，甲、乙单位得人数确定票价，即可求解； （2）设甲单位有人，则乙单位有人，根据甲单位人数的信息确定甲、乙单位得票价，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵甲、乙两个单位共有102人， ∴联合起来购买门票的费用为：（元）， ∴（元）， ∴联合起来购买比各自购买节省了元； （2）解：设甲单位有人，则乙单位有人， ∵甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人 ∴，即， ∴， 解得，，即甲单位有人， ∴乙单位有（人）， ∴甲单位有62人，乙单位有40人． 【变式7-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正数和负数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相减，差一定小于被减数 D．倒数等于它本身的数有， 【答案】B 【知识点】有理数的分类、倒数、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴的意义，有理数的定义以及有理数的减法．分别根据数轴的意义，倒数的定义，有理数的分类以及有理数的减法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、有理数分为正有理数、零和负有理数，原说法错误，故本选项不合题意； B、所有的有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确，故本选项符合题意； C、，，两数相减，差不一定小于被减数，原说法错误，故本选项不合题意； D、倒数等于它本身的数有，原说法错误，故本选项不合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·陕西安康·期末）我国第七次人口普查于2021年5月11日公布普查结果，显示我国人口数量约为141200万人，将这个数据用科学记数法表示为（   ） A．万人 B．万人 C．万人 D．万人 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：141200万人用科学记数法表示为万人． 故选：A． 4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、判断是否互为相反数 【分析】本题主要考查了有理数的运算，相反数的定义等知识点，根据乘方的定义，绝对值的性质，添括号法则逐一计算，即可判断，熟练掌握有理数的基本运算是解决此题的关键． 【详解】A、，此选项不符合题意； B、，，互为相反数，此选项符合题意； C、，，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·期末）在有理数，，，，，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的分类、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了多重符号化简、有理数乘方、绝对值的意义以及负数的定义，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．根据多重符号化简、有理数乘方、绝对值的意义将原数化简，然后根据负数的定义：小于0的数即为负数即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴这些有理数中是负数的有，，，共个． 故选：B． 二、填空题 6．（22-23七年级上·云南红河·期末）比较大小： ； （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号、求绝对值，根据有理数的大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：，． 7．（23-24七年级上·陕西安康·期末）每袋大米以为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第2袋大米的实际重量是 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法的应用．根据有理数的加法列式计算，可得答案． 【详解】解：依题意，图中第2袋大米的实际重量是 故答案为：． 8．（23-24七年级上·云南红河·期末）在中，负有理数有 个． 【答案】3 【知识点】有理数的分类、有理数的乘方运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的分类，先进行有理数的乘方运算，化简绝对值，多重符号，再根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：不是有理数，， 所以是负有理数． 故答案为：3． 9．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，理解同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．根据有理数的乘法法则，以及，可知，同号，进而求得，的值，即可求得的值． 【详解】解：，， ，， ， 时，或时，， 时，， 此时， 时，， 此时， 的值为或． 10．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）为了求的值，可令，则，因此，，所以，即，仿照以上推理计算：的值是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：设， 则， 两式相减得：， 则． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)20 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便． （1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律，以简化运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．（22-23七年级上·河南许昌·期末）在计算时，小明同学的解题过程如下： . 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_____步出现了错误，错误的原因是_____． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)②，改变了运算的顺序 (2)25 (3)在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一） 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）根据小明的解答过程分析即可； （2）按照有理数混合运算的顺序计算即可； （3）根据有理数的运算法则解答即可． 【详解】（1）由运算过程可知，小明同学第②步出现了错误，错误的原因是改变了运算的顺序． 故答案为：②，改变了运算的顺序； （2）原式 ； （3）在有理数的运算中要注意确定运算结果的符号（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 15．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：，13，12，，，9，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营额为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 【答案】(1)10千米 (2)在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米 (3) 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用： （1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案； （2）分别计算出七次记录后与出发地的距离，比较即可得到答案； （3）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米； （2）解：第一次记录时距离出发地10千米， 第二次记录时距离出发地千米， 第三次记录时距离出发地千米， 第四次记录时距离出发地千米， 第五次记录时距离出发地千米， 第六次记录时距离出发地千米， 第七次记录时距离出发地千米， ∴在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米． （3）解： 千米， 元， ∴这天上午小李盈利元． 16．（23-24七年级上·云南红河·期末）2023年第十七届中国红河·建水孔子文化节暨第五届上海一云南建水国际陶瓷柴烧艺术节隆重开幕，本次活动秉承“欢聚一堂庆佳节，燃情建水暖客心，文明与古城同在，礼仪与风景共存”的理念，吸引了众多游客欢聚红河．第一天的游客人数约为万人，后6天每天的游客人数变化如下表（“”表示比前一天多的人数，“”表示比前一天少的人数）： 日期 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 人数变化（万人） (1)在这七天里，第二天的游客人数是_____________万人； (2)这七天游客人数最多与游客人数最少相差多少？ (3)求这七天的游客总人数． 【答案】(1) (2)4万人 (3)万人 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用： （1）用第一天的人数加上第二天在第一天基础上变化的人数即可得到答案； （2）分别求出剩下的五天的游客人数，再用客人数最多的人数减去游客人数最少的人数即可得到答案； （3）根据（2）所求把这七天的人数求和即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， ∴在这七天里，第二天的游客人数是万人， 故答案为：； （2）解：第三天的游客人数是万人， 第四天的游客人数是万人， 第五天的游客人数是万人， 第六天的游客人数是万人， 第七天的游客人数是万人， ∴人数最多的是第四天，最少的是第六天， ∵万人， ∴这七天游客人数最多与游客人数最少相差4万人； （3）解：万人， ∴这七天的游客总人数为万人． 一、单选题 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·陕西延安·期末）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数，且）．例如：．若，则的值为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的混合运算，根据求出a的值，再根据新定义求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 3．（23-24七年级上·四川泸州·期末）定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 【答案】9 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用题干中的新定义进行计算即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：9． 4．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 【答案】0 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．由于定义一种新运算：，那么按照法则代入数字计算即可求解． 【详解】解：∵定义一种新运算：， ∴ ． 故答案为：0． 三、解答题 5．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】倒数、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义． （1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可， （2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可； 【详解】（1） （2），， ， ． 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握． （1）根据，求出的值是多少即可． （2）根据题中新定义得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴， 化简得：， 解得：． 7．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解答本题的关键． （1）根据新定义转化为有理数的混合运算计算即可； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）； （2） 8．（22-23七年级上·河南信阳·期末）设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“”为： 如：23，因为，所以． (1)求的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，新定义下的有理数混合运算． （1）由，根据新定义下的运算法则，然后按照有理数的混合运算计算即可． （2）由，根据新定义下的运算法则代入，然后得出关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 因为： 所以： （2）显然 利用题中的新定义化简已知等式得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 9．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数及其运算 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 有理数的分类 1 题型二 求绝对值、相反数、倒数 3 题型三 有理数的大小比较 4 题型四 用科学记数法表示较大的数 6 题型五 有理数的混合运算 7 题型六 有理数的混合运算中错解复原问题 13 题型七 有理数的混合运算中应用问题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 有理数的分类 ⭐技巧积累与运用 有理数的分类： 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 【例1】（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式1-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下列说法错误的有（    ） ①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥是最小的负整数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 求绝对值、相反数、倒数 ⭐技巧积累与运用 绝对值：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 【例2】（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是 ． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是 ，的倒数是 ． 题型三 有理数的大小比较 ⭐技巧积累与运用 有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法，绝对值大的反而小。 【例3】（23-24七年级上·安徽·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【变式3-1】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）比较大小： ． 【变式3-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①   ②   ③ ． 题型四 用科学记数法表示较大的数 ⭐技巧积累与运用 科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【例4】（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【变式4-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为 ． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为 ． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 题型五 有理数的混合运算 ⭐技巧积累与运用 有理数的混合运算，运算法则是： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘法，绝对值，再算乘除法，最后算加减法。 【例5】（23-24七年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 【变式5-1】（23-24七年级上·重庆·期末）计算： (1) (2) 【变式5-2】（23-24七年级上·天津·期末）计算： (1)； (2)． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-4】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-5】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-6】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 有理数的混合运算中错解复原问题 ⭐技巧积累与运用 有理数的混合运算，运算法则是： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先算乘法，绝对值，再算乘除法，最后算加减法。 【例6】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误： 小明出错的步骤是第______步、小红出错的步骤是第______步； (2)写出正确的解答过程． 【变式6-1】（23-24七年级上·北京顺义·期末）学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： ．…………………………………………① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？在第①步的算式中用“○”圈出来错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【变式6-2】（18-19七年级上·全国·单元测试）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式    （第一步）         （第二步）         （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是______，第二处是第三步，错误的原因是______． (2)把正确的解题过程写出来． 【变式6-3】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算： 下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务： 原式第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 (1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步； (2)任务二：请写出正确的解答过程. 题型七 有理数的混合运算中应用问题 ⭐技巧积累与运用 1.绝对值的意义、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 2.正负数的意义，有理数的加减运算及乘法运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接将航行路程相加即可得出结果； （2）根据题意将所有的航行路程的绝对值相加，然后利用有理数的乘法运算求解即可． 【例7】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一艘货船加满油沿东西方向的河流运送货物，早晨从甲地出发，向东记为正方向，当天的航行路程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，． (1)晚上送完最后一批货物后，货船在甲地的什么方向？到甲地多远？ (2)若货船每千米耗油0.7升，油箱容量为30升，求货船当天运送货物过程中至少还需补充多少升油？ 【变式7-1】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）一只蜗牛从位于电线杆底上方3米处沿着电线杆上上下下地爬行，规定向上爬记为正，向下爬记为负（单位；厘米），某数学兴趣小组观察了这只蜗牛的5次爬行，记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 爬行距离（与上一次相比） (1)观察结束时，蜗牛离出发点多远？是在出发点的上方还是下方？为什么？ (2)若蜗牛平均每厘米要爬5秒，则该数学兴趣小组一共观察了多长时间？ 【变式7-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）2024年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表： 数量（张） 1～50 51～100 101张及以上 单价（元/张） 60 50 40 如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元． (1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？ 【变式7-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正数和负数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相减，差一定小于被减数 D．倒数等于它本身的数有， 3．（23-24七年级上·陕西安康·期末）我国第七次人口普查于2021年5月11日公布普查结果，显示我国人口数量约为141200万人，将这个数据用科学记数法表示为（   ） A．万人 B．万人 C．万人 D．万人 4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各数互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．和 D．与 5．（24-25七年级上·全国·期末）在有理数，，，，，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．（22-23七年级上·云南红河·期末）比较大小： ； （填“”“”或“”）． 7．（23-24七年级上·陕西安康·期末）每袋大米以为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第2袋大米的实际重量是 ． 8．（23-24七年级上·云南红河·期末）在中，负有理数有 个． 9．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知，，且，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）为了求的值，可令，则，因此，，所以，即，仿照以上推理计算：的值是 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级上·全国·期末）运用乘法运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（22-23七年级上·河南许昌·期末）在计算时，小明同学的解题过程如下： . 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_____步出现了错误，错误的原因是_____． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 15．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：，13，12，，，9，． (1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？ (2)在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？ (3)若小李的平均运营额为元/千米，成本为元/千米，求这天上午小李盈利多少元？ 16．（23-24七年级上·云南红河·期末）2023年第十七届中国红河·建水孔子文化节暨第五届上海一云南建水国际陶瓷柴烧艺术节隆重开幕，本次活动秉承“欢聚一堂庆佳节，燃情建水暖客心，文明与古城同在，礼仪与风景共存”的理念，吸引了众多游客欢聚红河．第一天的游客人数约为万人，后6天每天的游客人数变化如下表（“”表示比前一天多的人数，“”表示比前一天少的人数）： 日期 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 人数变化（万人） (1)在这七天里，第二天的游客人数是_____________万人； (2)这七天游客人数最多与游客人数最少相差多少？ (3)求这七天的游客总人数． 一、单选题 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·陕西延安·期末）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数，且）．例如：．若，则的值为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 二、填空题 3．（23-24七年级上·四川泸州·期末）定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 4．（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）对有理数a、b定义一种新运算△，规定，则 ． 三、解答题 5．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 6．（23-24七年级上·吉林长春·期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定， 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 7．（23-24七年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数，，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 8．（22-23七年级上·河南信阳·期末）设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“”为： 如：23，因为，所以． (1)求的值； (2)若，求m的值． 9．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$