阶段检测验收卷 数与式（综合训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 根据合并同类项，单项式乘以多项式，单项式的乘法，幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A中，和不是同类项，不能合并，A错误； 选项B中，，B错误； 选项C中，，C错误； 选项D中，，D正确； 故选：D． 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方式作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．的次数是 B．是单项式 C．的次数是 D．的系数是 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义、系数、次数、多项式的次数，关键是熟练掌握单项式及多项式的知识点；根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：∵的次数是， ∴A选项错误； ∵是多项式， ∴B选项错误； ∵的次数是， ∴C选项错误； ∵的系数是， ∴D选项正确； 故答案选：D． 4．① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的运算法则逐项判断即可 【详解】解：①，原计算错误；②，计算正确；③，原计算错误；④与不是同类项，不可以合并，原计算错误， 故选：B 5．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 先对所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ , 故选：． 6．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 7．某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（    ） A．4层 B．3层 C．2层 D．1层 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减混合运算的应用，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 设每层的距离为x，根据题意分别表示出每层到开会楼层的距离和，进而比较求解即可． 【详解】设每层的距离为x， ∵从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2， ∴到1层开会的总距离为：， 到2层开会的总距离为：， 到3层开会的总距离为：， 到4层开会的总距离为：， ∵ ∴要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议应设在2层． 故选：C 8．已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，几个非负数的和的结果为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【分析】通过计算，可以推出结果． 【详解】解： … ，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键． 10．定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查新定义的运算，需要根据定义逐一判断各说法的正确性．说法①通过反例验证不成立；说法②、③、④通过定义和逻辑推理验证成立． 【详解】解：说法①：取反例 ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，故说法①错误． 说法②：若，则分两种情况： ∵当时，， ∴， ∴， ∴； ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 故说法②正确． 说法③：∵当时，； 当时，； ∴，故说法③正确． 说法④：若，则分两种情况： 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ； 若， 假设， 则， ∴， 与矛盾， ∴， ． 故说法④正确． 综上，说法②、③、④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．通过提取公因式和运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为零的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 故答案为：． 13．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据裁去的两个小正方形的面积可求出这两个小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，再用大正方形的面积减去裁去的两个小正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为， 故答案为：． 14．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查代数式的化简及求值，整式的混合运算的应用，解本题的关键在于结合图形正确列出代数式． 根据题意表示出正方形A、B的边长，长方形E的长和宽，通过图1的周长得到x、y的关系，在表示出阴影部分的周长求解即可得出结论． 【详解】解：长方形E的宽为， 正方形A的边长为， 正方形B的边长为， 长方形E的长为， ∴， ∴， 如图2： 由题意得： ， ∴， ∴阴影部分的周长 ． 正方形的周长． ． 故答案为：． 16．对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当为奇数时，第次操作结果；当为偶数时，第次操作结果；四个结论中正确的有 ． 【答案】④ 【分析】根据题意可得出规律为，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ， 以此类推， 可得． 由于， ， ， ， 以此类推， 可得， 当n为奇数时，，当n为偶数时，． ，故结论①错误； ． 故结论②错误； ． 故结论③错误； ∵当n为奇数时，，当n为偶数时，， 故结论④正确． 故四个结论中正确的有④，共1个， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式及平方差公式，整式规律探究，找出规律是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了整数指数幂、特殊的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（4分）（1）计算：． （2）已知代数式，，请说明． 【答案】 （1）； （2）见解析． 【分析】本题考查实数的混合运算，平方差公式，完全平方公式． （1）按照运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式，对，进行整理，可得，根据平方的非负性即可证得结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后代入求值即可. 【详解】解：原式， 当时，原式． 20．（6分）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． (1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了新定义、完全平方公式等知识，理解并运用“吉祥数”的规定是解决本题的关键． （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义求出，利用完全平方公式的非负性证明即可． 【详解】（1）解：，， ∴． ，的“吉祥数”是． （2）解： ． ∵． ∴． 21．（8分）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了解直角三角形，估计实数的大小，图形规律型，正确得到规律是解题的关键． （1）根据勾股定理，逐一计算，得到规律，即可解答； （2）计算出第九个直角三角形的斜边长，再计算周长，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据（1）中的结论，可知第9个直角三角形的斜边长为， 这个海螺图形的周长为， ，且接近， ，且接近， ，且最接近的整数是13， 即最接近的整数是13． 22．（10分）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 24．（12分）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)505． 【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可； （2）先求出，再得出的小数部分，即的值，代入求解即可； （3）先将分母有理化，再算出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴； （3）解：， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 25．（12分）对于一个四位正整数，如果满足各个数位上的数字都不相同且均不为，它的千位数字与十位数学之和等于百位数字与个位数字之和，那么称这个数为“交叉数”． 对于一个“交叉数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数减去百位数字和个位数字构成的两位数所得的差记为．将它的千位数字和个位数字构成的两位数减去百位数字和十位数字构成的两位数所得的差记为．规定：． 例如：，因为，故：是一个“交叉数”，所以：，．则：． (1)判断：________（填“是”或“不是”）“交叉数”， ________（填“是”或“不是”）“交叉数”； (2)直接写出最大的“交叉数”，并求出它对应的的值； (3)若正整数，都是“交叉数”，其中，，（，，，，，，，都是整数）． 规定，当能被整除时，求的值． 【答案】(1)不是，是 (2)最大的“交叉数”是， (3) 或 【分析】（1）依据“交叉数”的定义（千位+十位=百位+个位，且各位数字不同且不为0），分别计算两个数的“千位+十位”“百位+个位”的和，对比是否相等，同时验证数字是否符合要求即可判断； （2）要构造最大的四位“交叉数”，优先让高位数字尽可能大，结合“千位+十位=百位+个位”的条件，确定各数位数字；再根据的公式，代入对应两位数的差计算即可； （3）先根据、的表达式拆分出各数位数字，利用“交叉数”的定义得到数字间的数量关系；再代入的公式化简，得到、的表达式；最后结合“能被整除”的条件，确定参数取值，进而求出T． 【详解】（1）解：数：千位，十位；百位，个位， ∵，，， ∴不是“交叉数”； 数：千位，十位；百位，个位， ∵，，且各位数字（、、、）不同且不为， ∴是“交叉数”； （2）要构造最大的四位“交叉数”，需让高位数字尽可能大，同时满足“千位+十位=百位+个位”、数字互不相同且不为， 千位取最大的，百位取次大的，十位取，个位取（满足）， ∴最大的交叉数是； 由题意得：，， ∴； （3）解：∵，则的千位、百位、十位、个位数字依次是，，，， ，则的千位、百位、十位、个位数字依次是，，，， 根据正整数，都是“交叉数”， ∴，， 化简得：，， ∴的千位、百位、十位、个位数字依次是，，，， 的千位、百位、十位、个位数字依次是，，，， ∴对于整数：，，， 对于整数：，， ， ∴， ∵，，，，，， ∴、的取值范围为，， ∴， ∵能被9整除， ∴或， ①当时， ∵，都是整数， ∴，， ∴，， ∴； ②当时， ∵，都是整数， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，代数式的化简与求值，整数的整除性分析，解题的关键是准确理解“交叉数”的定义，梳理出数字之间的数量关系，通过代数式化简得到、的表达式，再结合整除性条件确定参数的取值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．的次数是 B．是单项式 C．的次数是 D．的系数是 4．① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 5．若，，则（　　） A．12 B．6 C．3 D．1 6．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某公司办公大楼共4层，公司要召开会议，从1层到4层每层参会人数分别为2、2、1、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在（    ） A．4层 B．3层 C．2层 D．1层 8．已知，则（　　） A．2025 B．1 C． D． 9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 10．定义新运算：．例如：，．下列说法： ①；②若，则； ③；④若，则． 正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 12．若分式的值为0，则x的值为 ． 13．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 ． 16．对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当为奇数时，第次操作结果；当为偶数时，第次操作结果；四个结论中正确的有 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算： 18．（4分）（1）计算：． （2）已知代数式，，请说明． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． (1)若，，直接写出，的“吉祥数”； (2)如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 21．（8分）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点． (1)求的值． (2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？ 22．（10分）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 23．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 24．（12分）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 25．（12分）对于一个四位正整数，如果满足各个数位上的数字都不相同且均不为，它的千位数字与十位数学之和等于百位数字与个位数字之和，那么称这个数为“交叉数”． 对于一个“交叉数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数减去百位数字和个位数字构成的两位数所得的差记为．将它的千位数字和个位数字构成的两位数减去百位数字和十位数字构成的两位数所得的差记为．规定：． 例如：，因为，故：是一个“交叉数”，所以：，．则：． (1)判断：________（填“是”或“不是”）“交叉数”， ________（填“是”或“不是”）“交叉数”； (2)直接写出最大的“交叉数”，并求出它对应的的值； (3)若正整数，都是“交叉数”，其中，，（，，，，，，，都是整数）． 规定，当能被整除时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $