精品解析：广东省普宁市华侨中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试卷

普宁市华侨中学2025—2026学年度第一学期高一级 第三次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标.在疫情初期，感染人数随时间 （单位：天）的变化规律近似满足公式 ，其中为初始感染人数，为传播率.若某种病毒在疫情初期，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（ ） （参考数据：，） A. 5天 B. 7天 C. 9天 D. 11天 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 11. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，且当时， 则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间是 和 D. 方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是 . 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. ________rad 13. 已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 14. 已知函数，则值域为 ________ 四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程． 15. 已知函数且，且函数的图像过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 16. 化简或求值： （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 17. 若函数. （1）若，求函数的零点： （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 18. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 19. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2025—2026学年度第一学期高一级 第三次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上. 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】由， 则， 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】全称量词命题“，”的否定形式为“，”， 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取一组特殊值即可排除A、B、D，利用指数函数的单调性即可判断选项C 【详解】若 则 ，，，则A、B、D错误； 因为在上单调递增且，所以，C正确. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出后者不等式，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】，即，则，解得或， 根据是或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数的定义域满足,得到答案. 【详解】函数的定义域满足 则且 故选：D 6. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性求解. 【详解】的对称轴为， 在区间上单调递增， ，故实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出的大小关系. 【详解】∵，，， ∴，即. 故选：A. 8. 流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标.在疫情初期，感染人数随时间 （单位：天）的变化规律近似满足公式 ，其中为初始感染人数，为传播率.若某种病毒在疫情初期，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（ ） （参考数据：，） A. 5天 B. 7天 C. 9天 D. 11天 【答案】B 【解析】 【分析】根据感染人数翻两番的条件，结合给的感染人数变化公式，通过建立方程并求解，进而得出感染人数翻两番所需要的时间. 【详解】，，感染人数翻两番（变为原来的4倍）， ，，，，， ，约为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的三要素逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且，函数的定义域为， 定义域相同且对应关系一致，所以是同一函数，故B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且， 函数与函数的定义域且对应关系一致，所以是同一函数，故D正确. 故选：BD. 10. 已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为或 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 11. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，且当时， 则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间是 和 D. 方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是 . 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数解析式求得判断A；由奇函数的性质，求出当时的解析式判断B；根据二次函数的图象特征求得函数的单调递减区间判断C；将方程 有三个不同的实数根转化成的图象与直线有三个交点，结合函数的图象，求得实数  的取值范围判断D. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，当时，，所以. 因为函数是定义在 R 上的奇函数，所以.所以B正确； 对于C，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的单调递减区间是.所以C错误； 对于D，由C知，函数在上单调递减，在和上单调递增. 且.所以其简图如下： 因为方程 有三个不同的实数根，所以的图象与直线有三个交点，所以.所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. ________rad 【答案】 【解析】 【分析】根据弧度制的定义进行求解即可. 【详解】设圆的半径为，所以圆的周长为， 因此圆心角为，它所对的弧长为， 由弧度制的定义可知：， 所以， 故答案为： 13. 已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由幂函数的图象不过原点可知： ，解得：， 故答案为：3 14. 已知函数，则值域为 ________ 【答案】 【解析】 【分析】结合复合函数及对数函数的性质求解即可. 【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成. 由真数得，， 所以内层函数的值域为. 又外层函数在定义域上单调递减， 所以，即值域为. 故答案为：. 四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程． 15. 已知函数且，且函数的图像过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点代入函数,求出即可. （2）利用对数函数的单调性,列出不等式,求解即可. 【小问1详解】 函数的图像过点, 且 【小问2详解】 ， 当时,在上为增函数, 或. 实数的取值范围为或. 16. 化简或求值： （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案. （Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案. （Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案. 【详解】（Ⅰ）. （Ⅱ）原式 . （Ⅲ）原式 . 【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质. 17. 若函数. （1）若，求函数的零点： （2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求二次函数的零点等价于解一元二次方程即可求解； （2）利用换元法并分离参数将问题转换为恰好有一个根，构造函数，发现其具有单调性，故问题转换为求的值域即可求解. 【小问1详解】 若，， 若，则或， 所以函数的零点是； 【小问2详解】 由题意恰好有一个根， 等价于恰好有一个根， 即恰好有一个根， 令，则函数是增函数， 所以的值域是， 故所求为. 18. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 【答案】（1）；（2）14分钟. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解； （2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】（1）当时，设函数， 因为，所以，所以， 当时，， 由，解得，所以， 综上，函数的解析式为. （2）当时，令， 即，解得或（舍去），所以， 当时，令，得， 所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟. 19. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明：设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在R上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据整理可得； （2）利用定义法，结合指数函数单调性证明即可； （3）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，然后参变分离，利用基本不等式求解可得. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数为奇函数， 所以， 又因为在R上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $