专题03 数轴及动点问题（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 数轴及动点问题 题型1 单个动点问题 题型4 两动点恒速问题（重） 题型2 动点的规律探究问题（重） 题型5 两动点变速问题（难） 题型3 动点的定值问题 题型6 新定义型问题（难） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单个动点问题 1．已知在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求线段的长度； (2)若点是线段的中点，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)个单位长度 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， ∴个单位长度； （2）解：存在，理由如下： 由题意得，点运动秒时表示的数为， ∵点表示的数为，点是线段的中点， ∴点表示的数为， ∵， ∴，解得或（不合，舍去）， ∴存在，使得． 2．如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 3．在数轴上点B、点C分别表示、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵在数轴上点B、点C分别表示、1， ∴, 由题意可得，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q运动了个单位长度， 余，即点Q在点B和点C之间往复运动两个来回后，又多走了16个单位长度，即从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴运动，到达点C后，再往点B运动6个单位长度，即运动到， 故选：A 4．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 【答案】8 【详解】解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒， ∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度）， 设点对应的数为， 则、两点间的距离为， 由题意得：， 解得：或， ∵沿数轴的正方向运动， ∴点对应的数为8． 故答案为：8． 5．如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 【答案】35或 【详解】解：在点运动过程中，分两种情况： ①当点运动到点右侧时， ∵， ∴， 此时点表示的数是； ②当点运动到点左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 综上所述，点表示的数是35或． 6．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和．    (1)求、两点之间的距离． (2)点沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①求秒后点表示的数． ②为何值时，、两点之间的距离为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①5秒后A点表示的数为；②或时，、两点之间的距离为 【分析】 【详解】（1） （2）①， 秒后点表示的数为；   ②秒后点表示的数是， 当点运动到点左边时，， 解得：；   当点运动到点右边时，， 解得：；   综上：或时，、两点之间的距离为． 题型2 动点的规律探究问题 7．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：第1次移动：向右移动1单位，位置变为 ； 第2次移动：向左移动2单位，位置变为 ； 第3次移动：向右移动3单位，位置变为 ； 第4次移动：向左移动4单位，位置变为 。 累计时间：秒，恰好完成4次移动， 故5秒后动点Q表示的数为， 故答案为：． 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 9．数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 10．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 11．如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 重合． 【答案】1 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴圆滚动一周的距离为4个单位长度， ∴圆每滚动一周为一个循环，数轴上的数字分别对应的圆周上的数字为2，1，0，3， ∵， ∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合， 故答案为：1． 题型3 动点的定值问题 12．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是的绝对值． (1)________；________；________． (2)点，，开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________（用含的代数式表示）． (3)试问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，求出这个值． 【答案】(1)，，3； (2)；； (3)不变，． 【分析】 【详解】（1）解：∵是3的相反数，是最大的负整数，是的绝对值， ∴，，， 故答案为：，，3； （2）∵点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为， ∵A起始数为，B起始数为，C起始数为3， ∴运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （3）解：根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个值是． 13．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知a是，数b是最大的负整数，c是单项式的次数． (1) ， ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)； (2)①；②当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 【分析】 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴； ∵单项式的次数是， ∴． 故答案为：；． （2）解：①t秒后，点A的位置：，点B的位置：， ∴． 故答案为：． ②t秒后，点B的位置为，点C的位置为， 由（2）①知， ． 将、代入得：． 当，即时：．此时的值不随t的增大而增大， 当，即时：．此时的值会随着时间t的变化而改变． 综上，当时，的值不随t的增大而增大，其值为38；当时，的值会随着时间t的变化而改变． 14．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）． (2)几秒后，线段与线段恰好满足？ (3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系． 【答案】(1)6， (2)秒或秒 (3) 当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）解： ∴，， ∴，， ∴， 当运动时间为秒时，动点对应的数是， 故答案为：， ； （2）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是， 根据题意得：， 解得：或， 答：秒或秒后，线段与线段恰好满足； （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，动点对应的数是， ∴， ， ， ∵与不重合， ∴， ∴， ∴分及两种情况考虑： 当时， ， ， ∴； 当时， ，， ∴， 综上所述， 当时，；当时， . 15．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】(1)37；5 (2)13；21 (3)存在，当时，为定值，定值为64 【分析】 【详解】（1）解：∵其中，对应的数分别为，，为47个单位长度， ∴点B对应的数为； 设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇）， 由题意得， 解得， 故答案为：37；5． （2）解：由（1）可知，点P和点Q在第5秒的时候第一次相遇， 即第一次相遇时点P和点Q对应的数字为5， ∴第一次相遇的点到点B的距离为， 设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为， ∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，当到达点立即返回， ∴由题意得， 解得， ∴当到达点立即返回后第二次与相遇时间（秒）， 相遇点表示的数为； 故答案为：13；21． （3）解：①由（1）可知，点P和点Q第一次相遇前，，点B表示的数为37， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ②∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒， ∴第一次相遇到后，点P到点B所用时间为（秒）， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ③由（2）可知，第二次相遇的时间为13秒， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，为定值，定值为64； ④∵第二次相遇点对应的数为21，相遇后点的速度为3个单位／秒，点的速度为1个单位／秒，且当回到点时，、同时停止运动， ∴第二次相遇到后，点P回到点A的时间为（秒）， ∵，即此时点Q还没有运动到点B， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； 综上所述，当时，为定值，定值为64． 16．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动时间为秒． (1)①已知点表示的数是，试求点表示的数；②用含有的代数式表示点表示的数； (2)当时，求的值． (3)试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置． 【答案】(1)① ；② (2)或 (3)在到之间，；在右边， 【分析】 【详解】（1）点表示的数是， ， 点表示的数为； 当点与点重合时， 此时点表示的数为， 当点开始运动时，此时点表示的数为； （2）运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， ， ， 解得：或． （3） ， 当时， 此时，， ， ， ， 即点位于和之间； 同理可得：， 当时， 此时，， 此时， ， ，即点C位于点B的右边． 题型4 两动点恒速问题 17．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16， ∴（单位长度）， ∵（单位长度）， ∴（单位长度）； 设运动t秒时， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：， 解得：． 即运动2秒或4秒时，（单位长度）． 故选：C． 18．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向右移动个单位长度，同时点沿数轴向左移动个单位长度，例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示，在数轴上点，表示的有理数分别是，． (1)第次按键后，点表示的数是______，点表示的数是______． (2)第次按键后，求比大多少? (3)在按键过程中，当点与原点的距离为个单位长度时，求的值； (4)试判断点与点的距离能否为个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)当按键次数为次时，点与点距离为 【分析】 【详解】（1）解：每按一次键盘，点沿数轴向右移动个单位长度，同时点沿数轴向左移动个单位长度， 第次按键后，点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：第次按键后，点表示的数是，点表示的数是， ， 第次按键后，求比大； （3）解：设第次按键后点表示的数是，点表示的数是， 点与原点的距离为， 根据题意可得：， 可得：或， 解得：或， 当时，点表示的数是， 当时，点表示的数是， 综上所述，点表示的数为或； （4）解：设第次按键时，点与点的距离为个单位长度， 根据题意可得：， 解得：， 答：当按键次数为次时，点与点距离为． 19．如图，已知A，B为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． (1)若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，设运动的时间为t秒，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整，并回答问题． 时间t（秒） 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 点在数轴上的位置所表示的数 3 2 直接写出C点的速度为_________________，D点的速度为_________________． (2)若点先出发，当时，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求为何值时，C、D两点相遇．（用一元一次方程求解） (3)若动点C，D以（1）中各自的速度同时同方向运动，当时，________________． 【答案】(1)3个单位长度/秒；1个单位长度/秒 (2)当时，C、D两点相遇 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，C点的速度为个单位长度/秒， D点的速度为个单位长度/秒； （2）解：由题意得，， 解得， ∴当时，C、D两点相遇． （3）解：由（1）可知点C的运动速度比点D的运动速度大，且点B表示的数为， ∴， ∵点C和点D同方向运动， ∴当点C和点D同时向左运动时一定有，不满足， ∴点C和点D只能同时向右运动， 运动t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 20．已知点和点从同一数轴上的原点处同时出发，点沿数轴向负半轴运动，点沿数轴向正半轴运动，1.5秒后两点相距9个单位长度，已知点的速度是点速度的2倍．请分别求出两点的速度，并在如图所示的数轴上标出1.5秒时两点的位置． 【答案】点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为4个单位长度/秒，见解析 【分析】 【详解】解：设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度为个单位长度/秒． 根据题意，得， 解得． 所以点的速度为2个单位长度/秒，点的速度为4个单位长度/秒， 1.5秒时点表示的数是， 点表示的数是． 在数轴上表示如下： 21．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 【答案】(1)；2 (2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是 (3)4或 【分析】 【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点A运动后所在位置表示的数为； ∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动， ∴点B运动后所在位置表示的数为； 故答案为：；2 （2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8， ∴A，B之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， 此时相遇点所表示的数是； 即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时， ， 解得：； 当两点相遇后相距2个单位长度时，， 解得：； 综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度． 22．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时， ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点运动至中点， ∴， 解得：， 即当点运动至中点时，． 故答案为： 题型5 两动点变速问题 23．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求a、b的值； (2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________； (3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】 【详解】（1） ∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关， ∴， 解得，； （2）由题意得：点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）当点E和点F相遇时， 解得， 根据题意得， 解得． 24．如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点到达点需要秒，再停留秒，然后往点运动， ∴点从向运动的过程中，点表示的数为。 故答案为：． （2）解：由题意可得点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点与点之间的距离为． （3）解：由（1）（2）点表示的数为，点表示的数为， ∴当点与点重合时，，解得：． 25．如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 【答案】(1)；12； (2)①7；②或或3或4 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由题意得，点P从点A到C和从点C返回到点A的总时间为秒， 设点C表示的数为x，则， ∴， 解得， ∴点C表示的数为7； 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，此时点P表示的数为， 当从到，且点P在上运动时， 由题意得， 解得：，即此时点P表示的数为； ∵从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒，秒， ∴停留时间为秒， ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数10的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； ∵当点P从点B返回到A的途中走到表示数4的位置时，点到、、三点的距离之和为个单位， ∴此时； 综上所述，当t的值为或或3或4时，点到、、三点的距离之和为个单位． 26．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 题型6 新定义型问题 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2)或0或6；30或48或21． 【分析】 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2）点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 28．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)90 (2)所对应的数是20或50； (3)折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 【分析】 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为80， ∴， ∴点之间的距离是90； 故答案为：90； （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为50； ∴线段的“理想点”所对应的数是20或50； （3）解：∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为18，18，54， ①当从到三条纸条的长度为18，18，54，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为18，54，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为54，18，18，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是17或35或53． 29．定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【分析】 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 30．阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． $专题03 数轴及动点问题 题型1 单个动点问题 题型4 两动点恒速问题（重） 题型2 动点的规律探究问题（重） 题型5 两动点变速问题（难） 题型3 动点的定值问题 题型6 新定义型问题（难） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单个动点问题 1．已知在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求线段的长度； (2)若点是线段的中点，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 3．在数轴上点B、点C分别表示、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（   ） A． B． C． D．6 4．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 5．如图，在数轴上，点表示的数是20，点表示的数为60，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，求点表示的是哪个数． 6．如图，在一条不完整的数轴上有，两点，它们表示的数分别为和．    (1)求、两点之间的距离． (2)点沿数轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①求秒后点表示的数． ②为何值时，、两点之间的距离为，请直接写出的值． 题型2 动点的规律探究问题 7．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为 ． 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 9．数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是 ． 10．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 11．如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 重合． 题型3 动点的定值问题 12．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是3的相反数，是最大的负整数，是的绝对值． (1)________；________；________． (2)点，，开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________（用含的代数式表示）． (3)试问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，求出这个值． 13．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，已知a是，数b是最大的负整数，c是单项式的次数． (1) ， ． (2)点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，若点B、点C分别以每秒5个单位长度的速度和2个单位长度的速度向右运动．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则t秒过后： ① ．（用含t的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 14．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）． (2)几秒后，线段与线段恰好满足？ (3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系． 15．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 16．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动时间为秒． (1)①已知点表示的数是，试求点表示的数；②用含有的代数式表示点表示的数； (2)当时，求的值． (3)试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置． 题型4 两动点恒速问题 17．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当（单位长度）时，运动时间为多少秒？（   ） A．2秒 B．秒 C．2秒或4秒 D．2秒或秒 18．小明在电脑显示屏上画出了一条数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点沿数轴向右移动个单位长度，同时点沿数轴向左移动个单位长度，例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图所示，在数轴上点，表示的有理数分别是，． (1)第次按键后，点表示的数是______，点表示的数是______． (2)第次按键后，求比大多少? (3)在按键过程中，当点与原点的距离为个单位长度时，求的值； (4)试判断点与点的距离能否为个单位长度，若能，求按键次数；若不能，说明理由． 19．如图，已知A，B为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． (1)若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，设运动的时间为t秒，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整，并回答问题． 时间t（秒） 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 点在数轴上的位置所表示的数 3 2 直接写出C点的速度为_________________，D点的速度为_________________． (2)若点先出发，当时，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求为何值时，C、D两点相遇．（用一元一次方程求解） (3)若动点C，D以（1）中各自的速度同时同方向运动，当时，________________． 20．已知点和点从同一数轴上的原点处同时出发，点沿数轴向负半轴运动，点沿数轴向正半轴运动，1.5秒后两点相距9个单位长度，已知点的速度是点速度的2倍．请分别求出两点的速度，并在如图所示的数轴上标出1.5秒时两点的位置． 21．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 22．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时， ． 题型5 两动点变速问题 23．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求a、b的值； (2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________； (3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值． 24．如图，在数轴上点对应的数是，点对应的数是，两动点、同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向点运动；点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后停留秒，再从点沿数轴向右到达点后停止运动．设点的运动时间为秒． (1)在点从点向点运动的过程中，点表示的数为___________（用含的代数式表示）； (2)当时，求点与点之间的距离； (3)在运动过程中，当点与点重合时，求的值． 25．如图，数轴上、、三点表示的数分别为、、，且、满足． (1)则 ， ； (2)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，到达点停留片刻后立即以每秒个单位的速度沿数轴返回到点，共用了秒；其中从到，返回时从到包括在点停留的时间共用了秒． ①求点表示的数； ②设运动时间为秒，求为何值时，点到、、三点的距离之和为个单位？ 26．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 题型6 新定义型问题 27．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 28．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80． (1)则点之间的距离为___________； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 29．定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 30．阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． $