第04讲 解决排列组合方法讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦排列组合高频考点，涵盖相邻、不相邻、分组分配等24类经典模型，按“基础概念-方法技巧-综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点分析明确命题趋势，方法指导拆解解题步骤，真题训练强化模型迁移，助力学生系统突破计数原理难点。 讲义创新采用模型化分类教学策略，如将相邻问题捆绑法拆解为“捆-排-松绑”三步流程，培养学生逻辑推理与数学建模能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合错解分析与方法归纳，确保高效突破重点题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第04讲 解决排列组合方法大全 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 题型归纳 9 题型01：相邻问题捆绑法 9 题型02：不相邻问题插空法 13 题型03: 隔板法 17 题型 04: 排队问题 20 题型05：多排问题 21 题型06：错位排列 22 题型07：环排问题 25 题型08：特殊元素法 28 题型09：特殊位置法 30 题型10：间接法 33 题型11：定序倍缩法 36 题型12：定序问题——先选后排 38 题型13：合理的分类与分步 39 题型14：平均分组 42 题型15：部分平均分组 46 题型16：分配问题 49 题型17：涂色问题 50 题型18：列举法 56 题型19：多面手问题 57 题型20：分解与合成模型和最短路径问题 59 题型21：构造法模型、递推模型与化归策略 63 题型22：定序重排问题求幂策略 68 题型23: 数字问题 70 题型24：几何问题 73 巩固提升 75 排列组合在高考中是高频基础+综合应用考点，全国卷/新高考多以5分小题（选择、填空）为主，偶与概率、统计等综合出现在解答题，整体难度中等偏易，核心是考分类分步思想与模型化解题。 一、高考定位与考情 1. 分值与题型：近五年全国卷、新高考卷中，排列组合多为5分小题（选择/填空）；解答题常与概率、统计、二项式定理等结合，难度略升，总计分值约5-12分。 2. 核心考点：必考排列组合基本概念与公式；高频模型有相邻（捆绑）、不相邻（插空）、特殊元素/位置优先、分组分配、定序、隔板法等；常结合古典概型、二项分布综合命题。 3. 难度与趋势：全国甲/乙卷偏基础，新高考Ⅰ/Ⅱ卷略灵活；命题情境化（如体育赛事、分组分配、生活决策），强调数学运算、逻辑推理核心素养。 4. 易错点：混淆排列（有序）/组合（无序）、分组重复计算、分类不全或交叉、忽视特殊限制条件。 二、核心命题角度（2023-2025） 1. 基础计算：排列数、组合数公式与性质，含含参方程/不等式求解，常考组合数对称性、阶乘化简。 2. 经典模型： ◦ 相邻问题：捆绑法（先捆后排，注意内部顺序） ◦ 不相邻问题：插空法（先排无限制元素，再插空） ◦ 特殊元素/位置：优先法（先特殊后一般）或间接法（总-不合条件） ◦ 分组分配：先分组（注意平均分组去重），再分配（乘对应排列数） ◦ 相同元素分配：隔板法（适用于“至少一个”等限制） 3. 综合应用：与概率统计结合（先计数再求概率）、与数列/新定义结合（如2024新高考Ⅰ卷第19题）、与涂色/几何结合（分类讨论）。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟练排列数、组合数公式与性质，明确有序/无序区别；牢记经典模型的适用场景与步骤。 2. 模型化训练：按“相邻/不相邻→特殊元素→分组分配→隔板法→定序”分类刷题，形成解题模板；重点练平均分组去重与间接法应用。 3. 综合提升：结合概率、统计、二项式定理综合题，训练“先转化为计数问题，再用排列组合求解”的思维链。 四、命题预测 1.小题仍以基础计算+经典模型为主，难度稳定，突出情境化与核心素养。 2. 解答题将更强调与概率统计、数据分析的融合，考查“实际问题→数学建模→计数求解→结论解释”的完整能力链。 3.对分类分步严谨性与模型迁移能力的要求会持续提升。 一、 知识目标 1. 准确理解排列（有序选取）、组合（无序选取）的核心定义，能清晰区分二者的适用场景。 2. 熟练掌握排列数公式 组合数公式 及其性质，能完成公式的推导与含参计算。 3. 全面掌握排列组合的经典解题模型，包括相邻（捆绑法）、不相邻（插空法）、特殊元素/位置优先法、分组分配、定序问题、隔板法等，明确各模型的适用条件与解题步骤。 二、 能力目标 1. 具备分类讨论与分步计数的核心思维，能将复杂计数问题拆解为若干简单子问题，做到分类不重、分步不漏。 2. 提升数学建模能力，能将生活情境、几何、赛事等实际问题转化为排列组合计数问题，选择恰当模型求解。 3. 培养逻辑推理与运算求解能力，能灵活运用直接法、间接法（正难则反）解题，规避重复计数、遗漏计数等常见错误。 4. 增强知识迁移能力，能将排列组合知识与概率、统计、二项式定理等内容融合，解决综合性问题。 三、 素养目标 1. 深化数学抽象素养，从具体计数案例中提炼出排列组合的数学本质，形成结构化的知识体系。 2. 强化数学运算素养，在公式应用、模型计算中养成严谨的运算习惯，提升计算准确率。 3. 发展数据分析素养，通过排列组合计数为概率统计问题提供数据支撑，理解计数与概率的内在联系。 知识点一：排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 知识点三：求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 1.特殊元素和特殊位置优先策略 2.相邻元素捆绑策略 捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤： ①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； ②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种． 3.不相邻问题插空策略 插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种． 4.定序问题倍缩空位插入策略 1.(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 2.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 3.（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 5.重排问题求幂策略 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种 6.环排问题线排策略 在圆排列数中： 个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理． 7.多排问题直排策略 8.排列组合混合问题先选后排策略 9.小集团问题先整体后局部策略 方法十.元素相同问题隔板策略 将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法． 10.间接法（正难则反总体淘汰策略） 11.平均分组问题除法策略 分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以. 12.数字排序问题查字典策略 数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数例如由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 13.树图策略 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 14.复杂分类问题表格策略 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果. 15.错位排列 错位排列公式 16.涂色问题 涂色问题常用方法： (1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； (3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数. 种颜色圆周染色问题 如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法. 正常着色定理 如图，用（为正整数）种颜色给图的个顶点着色，则正常着色的方法为：，. 17.多面手问题 解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 18.分解与合成模型和最短路径问题 分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案． 19.构造法模型、递推模型与化归策略 化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题． 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解． 20.定序问题先选后排策略与重排问题求幂策略 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理．允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置．一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种． 题型01：相邻问题捆绑法 【典型例题1】3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（    ） A．72种 B．64种 C．48种 D．36种 【答案】D 【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，故不同的站法共有种. 【典型例题2】某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（    ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】D 【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况， 第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况， 第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列， 共有种情况，所以.故选：D 【典型例题3】现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．48 B．72 C．144 D．96 【答案】B 【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，再把小吃店与玩具店全排共有种排法， 然后把2家文创店插空全排共有种排法，所以共有6×2×6＝72种 【典型例题4】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C 【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为. 【变式训练1-1】某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式训练1-2】某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．34种 B．56种 C．96种 D．144种 【变式训练1-3】2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（    ） A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种 【变式训练1-4】志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练1-5】“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．216种 B．108种 C．72种 D．54种 【变式训练1-6】我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练1-7】甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式训练1-8】2014年3月8日，马航航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人，，和个蛙人，，各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水， 和必须相邻安排，则不同的搜寻方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练1-9】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 【变式训练1-10】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 【变式训练1-11】甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【变式训练1-12】某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 二、填空题 【典型例题5】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可. 解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：， 则至多2名男生相邻的方法总数为：， 所以多2名男生相邻的概率为.故答案为：. 【典型例题6】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素， 然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，此时共有种排法.综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.故答案为：. 【变式训练1-13】五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答） 【变式训练1-14】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【变式训练1-15】中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种. 【变式训练1-16】五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______. 【变式训练1-17】成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答） 【变式训练1-18】当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种． 【变式训练1-19】在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个． 【变式训练1-20】中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）． 题型02：不相邻问题插空法 【典型例题1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 【典型例题2】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为.故选：C. 【典型例题3】五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【解析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 【典型例题4】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．24 B．48 C．144 D．244 【答案】C 【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空， 所以不同的放置方式有种.故选：C 【典型例题5】高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（    ） A．72 B．144 C．48 D．36 【答案】A 【解析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法， 再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法， 所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.故选：A. 【变式训练2-1】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【变式训练2-2】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 【变式训练2-3】某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（    ） A．4种 B．10种 C．20种 D．60种 【变式训练2-4】为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为(    ) A．36 B．45 C．72 D．90 【变式训练2-5】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种 B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种 C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种 【变式训练2-6】某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【变式训练2-7】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【变式训练2-8】《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．1440 B．2400 C．14400 D．86400 【变式训练2-9】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-10】A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【变式训练2-11】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（    ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式训练2-12】志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种 【变式训练2-13】第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（    ） A．120种 B．96种 C．48种 D．24种 【变式训练2-14】某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-15】已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（    ） A． B． C． D． 【典型例题6】“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答） 【答案】12 【解析】先将个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有种排法.故答案为：. 【典型例题7】3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______． 【答案】 【解析】首先求出基本事件总数，再分女生都不相邻和有两个女生相邻两种情况讨论，求出符合题意的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得； 解：依题意基本事件总数为， 若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法， 若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列， 再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法， 故每名女生旁边都有男生的概率故答案为： 【变式训练2-16】将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答） 【变式训练2-17】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） 【变式训练2-18】某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）． 题型03:隔板法 【典型例题1】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】采用隔板法直接求解即可. 将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额， 共有种.故选：B. 【典型例题2】方程的非负整数解共有___________组． 【答案】 【解析】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法， 所以方程的非负整数解共有组.故答案为：78 【典型例题3】方程的正整数解的个数__________. 【答案】 【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内． 共有种．故答案为： 【典型例题4】将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种． 【答案】84 【解析】因为个班级干部没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．在个空档中选个位置插个隔板，把班级干部分成份，对应地分给七个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 【典型例题5】已知数列共有26项，且，，，则满足条件的不同数列有__________ 个． 【答案】2300 【解析】， 或， 设有个，则有个， ， 所以，解得， 即可知25个括号中有22个取1， 所以满足条件的不同数列有.故答案为：2300. 【典型例题6】将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 【答案】见解析 【解析】(1)把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； (2)由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； (3)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种. 【变式训练3-1】某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【变式训练3-3】现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ） A．28 B．24 C．18 D．16 【变式训练3-4】方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 二、多选题 【变式训练3-5】为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种 C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种 D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种 三、填空题 【变式训练3-6】某地举办庆祝建党周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种. 【变式训练3-7】六元一次方程的正整数解有________组． 【变式训练3-8】现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【变式训练3-9】某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种． 【变式训练3-10】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法. 【变式训练3-11】若方程，其中，则方程的正整数解得个数为______. 四、解答题 【变式训练3-12】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 【变式训练3-13】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【变式训练3-14】方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？ 题型 04: 排队问题 【典型例题1】七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．144种 【答案】D 【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种． 【典型例题2】名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A. 【典型例题3】甲､乙､丙三人相约一起去做检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案； ②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； ③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； ④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.故选：C 【变式训练4-1】街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练4-2】六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（    ） A．48 B．72 C．90 D．120 【变式训练4-3】某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【变式训练4-4】（多选题）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 【变式训练4-5】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 【变式训练4-6】若，，，，五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数 (1)，两人不站在一起； (2)不站在最左边，不站最右边； (3)如果又来了一位同学，六个人站一排，、站在中间，站在的右边； (4)若5个人站成两排，其中一排站2个人，另一排站3个人． 题型05：多排问题 【典型例题1】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】C 【解析】前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C． 【典型例题2】6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种． 【答案】720【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列． 【解析】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种）． 【变式训练5-1】6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（    ） A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种 【变式训练5-2】毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（    ） A．40种 B．20种 C．180种 D．90种 【变式训练5-3】10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A．168 B．420 C．840 D．20160 【变式训练5-4】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（    ） A．36 B．90 C．360 D．720 题型06： 错位排列 错位排列公式 【典型例题1】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】B 【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种. 【典型例题2】将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里， 对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.则对于编号为的小球，有个盒子可以放入， 对于编号为、的小球，只有种放法.综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种. 【典型例题3】同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有 A．8种 B．9种 C．10种 D．12种 【答案】B 【解析】方法一： 设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配， 所以共有3×3×1×1=9种分配方式;方法二： 根据题意，列举出所有的结果: 1、甲乙互换，丙丁互换； 2、甲丙互换，乙丁互换； 3、甲丁互换，乙丙互换； 4、甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的； 5、甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的； 6、甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的； 7、甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的； 8、甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的； 9、甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的． 通过列举可以得到共有9种结果． 【典型例题4】“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 【答案】C【解析】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为． 【典型例题5】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d， 当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式， 由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 【变式训练6-1】若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（    ） A．20 B．90 C．15 D．45 【变式训练6-2】5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（   ） A．42 B．44 C．46 D．48 【变式训练6-3】若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（  ）种不同的站法. A．4 B．8 C．12 D．24 【变式训练6-4】个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________. 【变式训练6-5】位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答） 【变式训练6-6】一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位. 乘客 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 （1）若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)； （2）若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率. 【变式训练6-7】将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求： （1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ （3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ （4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？ 【变式训练6-8】n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？ (1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品； (2)有人取回了他原来的物品； (3)恰好只有一人取回他原来的物品. 【变式训练6-9】将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求： (1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数； (2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数. 题型07： 环排问题 【典型例题1】7颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈． 【答案】360 【解析】由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开，可看成个元素排成一排，即共有种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成（顺时针、逆时针两种情况）种不同的珠子圈． 【典型例题2】8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法． 【答案】1260或 【解析】8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有种不同的围法．故答案为：1260或. 【典型例题3】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ） A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】当倒数第个人出来表演节目时，一共报数了次. 【典型例题4】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 【典型例题5】现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】8个人围成一圈,有种.其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由. 所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为. 【变式训练7-1】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【变式训练7-2】如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）. A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种 【变式训练7-3】已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 【变式训练7-5】10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________ 【变式训练7-6】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【变式训练7-7】4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答) 【变式训练7-8】一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种. 【变式训练7-9】有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）． （1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？ （2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？ 题型08：特殊元素法 【典型例题1】小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解； 先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种．故选：C 【典型例题2】甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.设“甲、乙在同一组”为事件， 教师随机分成三组，每组至少一人的分法为， 而甲、乙在同一组的分法有，故，故选：A. 【典型例题3】为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（    ） A．18种 B．36种 C．68种 D．84种 【答案】B 【解析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可 根据题意，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故一共有：种分派方法故选： 【典型例题4】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【解析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10．故选：C． 【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 【典型例题5】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 【答案】B 【解析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B. 【变式训练8-1】某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（    ） A．72 B．84 C．90 D．96 【变式训练8-2】运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（    ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 【变式训练8-3】某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练8-5】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单． （1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？ 题型09：特殊位置法 【典型例题1】开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】B 由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2， 当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则种安排方式； 当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则种安排方式， 所以共有种；故选：B 【典型例题2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 【典型例题3】某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．56种 【答案】C 【解析】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，因为连续空座至多有个，所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座， 甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，则这种情况为， 同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，所以，满足要求的坐法有种. 【典型例题4】某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 【答案】C 【解析】根据题意，用间接法分析：甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况， 其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种，则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种， 【典型例题5】将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解. 解：由题得任意放球共有种方法，如果有一个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1号球，则再对后面的2,3,4,5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同，假设2号盒子里放3号球，则有三种，所以 后面的小球的排列共有种方法. 所以剩下的四个球共有种方法. 由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为故选：A 【变式训练9-1】包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（    ） A．240种 B．252种 C．264种 D．288种 【变式训练9-2】过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【变式训练9-3】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（    ）个． A．600 B．300 C．360 D．180 【变式训练9-4】某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生参与毕业典礼志愿者工作，并把他们安排在3个不同的岗位，其中岗位不安排男生，则不同的安排方式种数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【变式训练9-5】因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（        ）种． A．379 B．360 C．243 D．217 【变式训练9-6】某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________． 题型10：间接法 【典型例题1】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D 【典型例题2】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.故选：B 【典型例题3】中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为， 于是得， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.故选：A 【典型例题4】红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】所有演出方案有种， 歌舞类相邻有种，小品类相邻有种， 歌舞与小品均相邻有种， 所以总数有种.故选：C. 【典型例题5】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解. 7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D 【变式训练10-1】某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种 A．9 B．36 C．54 D．108 【变式训练10-2】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（    ） A．720 B．1440 C．2280 D．4080 【变式训练10-3】2024年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（    ） A．8 B．18 C．19 D．24 【变式训练10-4】甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（    ）种不同的参加方法 A．72 B．144 C．216 D．240 【变式训练10-5】四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【变式训练10-6】某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（    ） A．192种 B．120种 C．96种 D．24种 【变式训练10-7】现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．484 B．472 C．252 D．232 【变式训练10-8】中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【变式训练10-9】在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 【变式训练10-10】将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）. 【变式训练10-11】2025年8月，南昌最美地铁7号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为______. 题型11：定序倍缩法 【典型例题1】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种， 甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种． 【典型例题2】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（   ） A．120个 B．100个 C．300个 D．600个 【答案】B 【解析】数字0,1,2, 3,4,5可组成个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，共种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有个. 【典型例题3】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【解析】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 【典型例题4】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（    ） A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】A 【解析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解. 先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有，总共有种.故选：A. 【典型例题5】高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ） A．24种 B．40种 C．60种 D．84种 【答案】B 【解析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果. 五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B． 【变式训练11-1】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（    ） A．20种 B．30种 C．50种 D．60种 【变式训练11-2】有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(    ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 【变式训练11-3】某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．150种 【变式训练11-4】现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（    ） A．36 B．24 C．20 D．12 【变式训练11-5】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【变式训练11-6】小武是1999年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（    ） A．2760 B．3180 C．3200 D．3360 【变式训练11-7】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答） 【变式训练11-8】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 题型12：定序问题——先选后排 【典型例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为． 故选：C． 【典型例题2】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（       ） A．36 B．90 C．360 D．720 【答案】B 【解析】6个高矮互不相同的人站成两排， 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，故选：B 【变式训练12-1】五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 【变式训练12-2】满足，且的有序数组共有（       ）个. A． B． C． D． 【变式训练12-3】DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（       ） A．20 B．40 C．60 D．120 【变式训练12-4】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （       ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 题型13：合理的分类与分步 【典型例题1】为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】携带工具方案有两类： 第一类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种； 第二类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种； 所以不同的安排方案共有种，故选：A 【典型例题2】用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（    ） A．600个 B．540个 C．480个 D．420个 【答案】A 【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数， 若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种， 再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字； 若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种， 再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字； 综上可得一共有个数字；故选：A 【典型例题3】某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 【答案】C 【解析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法；按照分步乘法原理，共有 种方法；故选：C. 【典型例题4】有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可 先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法， 然后将3个项目全排列，共有种排法， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种， 因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，故选：D 【典型例题5】将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置， ① 当C在位置1时，不同的摆法有种； ② 当C在位置2时，不同的摆法有种； ③ 当C在位置3时，不同的摆法有种； 由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同， 故摆放种数有.故选：B. 【变式训练13-1】志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（    ） A．14 B．12 C．24 D．28 【变式训练13-2】用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【变式训练13-3】小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（    ） A．20160 B．20220 C．20280 D．20340 【变式训练13-4】有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【变式训练13-5】（多选题）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【变式训练13-6】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【变式训练13-7】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【变式训练13-8】有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________. 题型14：平均分组 【典型例题1】有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】D 【解析】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误； 选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误； 选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确. 【典型例题2】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解 由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1； 在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）. 因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个， 所以所求的概率．故选：A． 【典型例题3】某社区为了做好防控工作，安排6名志愿者进行检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【答案】A 【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人， 可分两种情况考虑：第一种：人数为的三组，共有种； 第二种：人数为的三组，共有种.所以不同的安排方法共有种， 【典型例题4】2024年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ） A．630种 B．600种 C．540种 D．480种 【答案】C 【解析】先把把6名工作人员分成三组，再安排到三个村，即先分组，再排列. 把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种； 所以共有90+90+360=540种.故选：C. 【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 【典型例题5】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（    ） A．150 B．240 C．390 D．1440 【答案】C 【解析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种.故选：C 【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题. 【变式训练14-1】将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（    ） A．36种 B．14种 C．22种 D．8种 【变式训练14-2】将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（    ） A．24种 B．12种 C．6种 D．10种 【变式训练14-3】将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（    ） A．240种 B．360种 C．450种 D．540种 【变式训练14-4】某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ） A．540种 B．300种 C．210种 D．150种 【变式训练14-5】某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（    ） A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 【变式训练14-6】将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【变式训练14-7】若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（    ）种安排方法 A．335 B．100 C．360 D．340 【变式训练14-8】将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（    ） A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种 【变式训练14-9】有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（    ） A．96种 B．124种 C．150种 D．130种 【变式训练14-10】一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种. 【变式训练14-11】A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）. 【变式训练14-12】安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种． 【变式训练14-13】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【变式训练14-14】设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）. (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？ (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？ (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？ 题型15：部分平均分组 【典型例题1】安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人； 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有种实习方案， 即共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D. 【典型例题2】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 【答案】D 【解析】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，所以不同的选派方法共有种. 【典型例题3】中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】D 【解析】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30， 若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240，若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90，故不同的安排方法种数是360. 【典型例题4】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 A．4680 B．4770 C．5040 D．5200 【答案】C 【解析】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C. 【点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 【变式训练15-1】将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（    ） A．81种 B．72种 C．63种 D．36种 【变式训练15-2】某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（    ） A．360种 B．300种 C．90种 D．150种 【变式训练15-3】为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ） A．54种 B．240种 C．150种 D．60种 【变式训练15-4】（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种 【变式训练15-5】甲乙丙丁4位大学生前往，，3个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少安排1人，其中甲只能去，两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．36 B．12 C．24 D．18 【变式训练15-6】感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（    ） A．不同的安排方法数为 B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法 C．小晗被安排到甲学校的概率为 D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为 【变式训练15-7】将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答） 题型16：分配问题 【典型例题1】某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且每班安排名，则不同的安排方案种数为 __． 【答案】 【解析】先把名学生均分两组有种方法， 然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法， 根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．故答案为：. 【典型例题2】甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 __种 【答案】30 【解析】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：， 所以不同分法的种数有5＝30，故答案为：30． 【变式训练16-1】某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______． 【变式训练16-2】某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________． 【变式训练16-3】将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）. 【变式训练16-4】有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________. 【变式训练16-5】我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种. 题型17：涂色问题 【典型例题1】用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（    ） A．6 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【解析】依题意，第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：①全染黑色，有 1 种方法； ②第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； ③第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； 所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有种， 【典型例题2】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)． 【答案】420 【解析】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有种， 用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有种， 用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有种， 所以不同的着色方法共有（种）.故答案为：420 【典型例题3】七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种. 【答案】 【解析】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色. 又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色. ①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况； ②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况. 又板块颜色可排列，故共种.故答案为： 【典型例题4】用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色． （1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ （2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？ （3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意知题图①中的四个区域，每个区域有种涂色方案，共有种方案； （2）题图①：第一步，涂，有种不同的涂法；第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；第四步，涂，只需与的颜色不相同，有种不同的涂法．所以共有种不同的涂色方案. 题图②：第一步，涂，有种不同的涂法；第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法．所以共有种不同的涂色方案； （3）前三步与题图①的涂法类似，分别有、、种不同的涂法， 第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法． 所以共有种不同的涂色方案， 所以，，所以． 【典型例题5】用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．72种 B．36种 C．12种 D．60种 【答案】A 【解析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算. 如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C与A同色1 2 C与A不同色1 1 总计 故选：A． 【变式训练17-1】有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．24种 【变式训练17-2】如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【变式训练17-3】如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-4】给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【变式训练17-5】在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练17-6】用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【变式训练17-7】在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ） A．1440 B．720 C．1920 D．960 【变式训练17-8】如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 【变式训练17-9】用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练17-10】如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对 【变式训练17-11】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　) A．420 B．210 C．70 D．35 【变式训练17-12】（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练17-13】学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法. 【变式训练17-14】如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种. 【变式训练17-15】“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种． 【变式训练17-16】用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______． 题型18：列举法 【典型例题1】从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（       ）个 A．98 B．56 C．84 D．49 【答案】A 【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况. 当公差为时，数列可以是：，共1种情况. 总的情况是. 又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减， 所以这样的等差数列共有个.故选：A 【典型例题2】三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（       ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 【答案】C 【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故选：C. 【变式训练18-1】三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【变式训练18-2】设，，，那么满足的所有有序数组的组数为（       ） A．45 B．46 C．47 D．48 【变式训练18-3】工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________． 题型19： 多面手问题 【典型例题1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会左边的都不选，有种； 第二类个只会左边的有人入选，有种； 第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A． 【典型例题2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种．综上分析，共可开出种． 【典型例题3】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法． 【变式训练19-1】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【变式训练19-2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（       ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【变式训练19-3】在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【变式训练19-4】某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 A．36种 B．33种 C．27种 D．21种 【变式训练19-5】6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法． 【变式训练19-6】在一次演唱会上共名演员，其中人能唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）. 【变式训练19-7】在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞. （1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？ （2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？ 题型20：分解与合成模型和最短路径问题 【典型例题1】夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（    ）条． A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【解析】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路，由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路，所以由到不经过的最短路径有. 【典型例题2】如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止. 则下列说法正确的是（       ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为 【答案】D 【解析】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有C种，故A错；对于B，第一步，甲从M到，有C种走法，第二步，从到N，有C种走法，所以共有种走法，故B错；对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C错；对于D，因为甲、乙两人只能在处相遇，由C可知D对. 【典型例题3】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 【变式训练20-1】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练20-2】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【变式训练20-3】蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式训练20-4】一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（    ） A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 【变式训练20-5】下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ） A．14条 B．12条 C．9条 D．7条 【变式训练20-6】（多选题）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则（    ） A．甲从M到达N处的走法有70种 B．甲从M必须经过到达N处的走法有12种 C．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法 D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法 【变式训练20-7】某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？ 【变式训练20-8】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练20-9】如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有 A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【变式训练20-10】5400的正约数有（       ）个 A．48 B．46 C．36 D．38 题型21：构造法模型、递推模型与化归策略 【典型例题1】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种. 【答案】10 【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻， 则需要用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位， 在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，即有10种关灯方法.故答案为：10． 【典型例题2】从1，2，3，…，15中选取三个不同的数组成三元数组，且满足，，则这样的数组共有______个.（用数字作答） 【答案】56 【解析】由，，得，，， 当时，可取中任一数，共有6种取法，则此时共有种取法； 当时，可取中的任一数，共有5种取法，则此时共有种取法； 同理当取时，对应的分别有10，6，3，1种取法. 综上，这样的数组共有（个）. 【典型例题3】从集合中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________. 【答案】 【解析】将和等于11放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6． 从每一小组中取一个，共故答案为：80． 【典型例题4】将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（    ） A．33 B．56 C．64 D．78 【答案】B 【解析】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图： 分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则， 其次证明：， 将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为， 行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为， 三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和， 定义当行含色方格时，，否则， 类似的定义， 所以 ， 由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而， 所以所以①， 由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边， 类似地，在列中至少有条分隔边， 则 ② ③， 下面分两种情况讨论： 1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个， 故至少有行含有色的方格，于是④， 由①③④得； 2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，， 从而由②可得； 综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B 【典型例题5】几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，． 倒霉的李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，， 先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后， 若在之间，有种可能： ①若在之间，有种可能，②若在之间，有种可能， ③若在之间，有种可能．若不在之间，则有种可能，此时有种可能， 可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，综上共有． 【变式训练21-1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．4种 B．10种 C．12种 D．22种 【变式训练21-2】跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（    ） A．进入第二个格子走法有2种 B．进入第二个格子走法有1种 C．进入第三个格子走法有2种 D．进入第八个格子走法有21种 【变式训练21-3】几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（    ） A．23 B．24 C．32 D．33 【变式训练21-4】九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（    ） A．30 B．90 C．170 D．341 【变式训练21-5】马路上有编号为1，2，，2011的2011只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）. 【变式训练21-6】16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________. 【变式训练21-7】个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法. 【变式训练21-8】某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）． 【变式训练21-9】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 【变式训练21-10】蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式训练21-11】将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________． 【变式训练21-12】如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为． （1）求，，的值； （2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集． 【变式训练21-13】贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种. 【变式训练21-14】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 题型22：定序重排问题求幂策略 【典型例题1】满足，且的有序数组共有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为． 故选：A． 【典型例题2】已知，则满足的有序数组共有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】所有有序数组 中,满足的 有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为 【典型例题3】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【解析】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种， 如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 【变式训练22-1】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （    ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 【变式训练22-2】元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（    ）． A．32种 B．70种 C．90种 D．280种 【变式训练22-3】讲桌上放有两摞书，每摞本，现要把本不同的书发给位学生，每位一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则有不同取法的种数是______.（用数字作答） 【变式训练22-4】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 【变式训练22-5】现有学号分别为号、号、号、、号的位同学依次站成一排，老师请他们从号同学开始依次从如图所示的装有标号为至号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有____________种（用数字作答）． 题型23: 数字问题 【典型例题1】用数字、、组成五位数，且数字、、至少都出现一次，这样的五位数共有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先考虑全部的情况，即每个数位均有种选择，共有个， 其中包含数字全部相同只有种情况，还有只含有个数字的共有个， 因此，满足条件的五位数的个数为个. 【典型例题2】罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（    ） A．87 B．95 C．100 D．103 【答案】D 【解析】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）. 2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有 个. 3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有 个. 1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有 个. 2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有 个. 综上可知，可组成的三位数共有 个.故选：D. 【典型例题3】我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】因为所有数的和为，所以每行每列以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种方法， 【典型例题4】用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成个不重复的四位数 B．可组成个不重复的四位偶数 C．可组成个能被整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为 【答案】BC 【解析】A选项，有个，错，B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，∴共有种，对，C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来， 即先选：，、、、，它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错。 【典型例题5】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【答案】 【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，根据分类计数原理得到共有个． 【变式训练23-1】数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（       ）个 A． B． C． D． 【变式训练23-2】从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【变式训练23-3】将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-4】若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（    ） A．1224 B．1800 C．1560 D．840 【变式训练23-5】定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练23-6】由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（    ） A．120 B．168 C．204 D．216 【变式训练23-7】已知a1，a2，a3∈{2，4，6}，记N（a1，a2，a3）为a1，a2，a3中不同数字的个数，如∶N（2，2，2）=1，N（2，4，2）=2，N（2，4，6）=3，则所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式训练23-8】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 【变式训练23-9】用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数． (1)能被25整除的数； (2)十位数字比个位数字大的数． 【变式训练23-10】（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？ （3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？ 题型24：几何问题 【典型例题1】一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　） A．至多能剪成19块“L”形骨牌 B．至多能剪成20块“L”形骨牌 C．最多能剪成21块“L”形骨牌 D．前三个答案都不对 【答案】C 【解析】考虑2×3的6块方格，如图： 每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌 一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌. 如图所示 故选：C 【典型例题2】已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个. A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为个，故选B. 【变式训练24-1】如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（    ）． A．190 B．199 C．69 D．60 【变式训练24-2】宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（    ）个矩形 A．3025 B．2025 C．1225 D．2525 【变式训练24-3】从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-4】如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-5】若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练24-6】以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（       ） A．70 B．64 C．60 D．58 【变式训练24-7】正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（       ） A．36 B．21 C．12 D．6 1.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A． B． C． D． 2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是 A．540 B．480 C．420 D．360 3.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（       ） A． B． C． D． 4.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（       ） A． B． C． D． 5.某校王老师带着2名女生和3名男生去参加数学建模比赛，比赛结束要进行拍照留念，若王老师不站在两端，2名女生相邻，则不同的站法共有（    ） A．120种 B．144种 C．158种 D．186种 6.为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．14种 B．20种 C．10种 D．7种 7.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 8.某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子（一男孩和一女孩）观看电影《八角笼中》，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为（    ） A B C D E F G H I J A．480 B．960 C．1040 D．1120 9.设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．60 B．100 C．120 D．130 10.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 11.年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（    ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A．种 B．种 C．种 D．种 12.甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．342 B．390 C．402 D．462 13.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 14.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（    ） A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种 15.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（    ） A．60种 B．68种 C．82种 D．108种 16.三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ） A． B． C． D． 17.将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（       ） A． B． C． D． 18.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（       ） A．28 B．24 C．18 D．16 19.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为 A．16 B．18 C．32 D．72 20.如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（       ）. A．24种 B．20种 C．16种 D．12种 21.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（       ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 22.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（       ） A．87 B．95 C．100 D．103 23.如图为的网格图，甲、乙两人均从出发去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为、，则的值为（       ） A． B． C． D． 二、多选题 1.(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（    ） A．A与B相邻有48种摆法 B．A与C相邻有48种摆法 C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法 D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法 2.历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D．信封均被投错的概率大于 3.如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（    ） A B C D E F G H A．4辆车的停车方法共有1680种 B．4辆车恰好停在同一行的概率是 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 4.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（    ）    A．甲从必须经过到达的方法数共有9种 B．甲从到的方法数共有180种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 5.现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（   ） A．4个空位全都相邻的坐法有720种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C．4个空位均不相邻的坐法有1800种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 6.美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若某两幅画至少有一幅参展，则不同的参展方案有多少种？（ ） A． B． C． D． 三、填空题 1.各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为 ． 2.有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答） 3.为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）. 4.2025年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 5.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上个颜色各不相同的点经过次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件”，并将所有满足“条件”的图形个数记为，则 ． 6.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为 . 7.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答） 8.如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（       ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲､乙两人在处相遇的概率为 D．甲､乙两人相遇的概率为 9.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 10.小王一次买了两串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，另一串有三颗冰糖葫芦．若小王每次随机从其中一串吃一颗，则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为 ． 11.某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 12.已知集合中含有个元素，集合是的非空子集，且，则不同的集合对有 个．（用含的代数式表示） 13.中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职工和2名女职工进行3天值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）． 14.我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）. 15.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是 . 16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 解决排列组合方法大全 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 题型归纳 9 题型01：相邻问题捆绑法 9 题型02：不相邻问题插空法 16 题型03: 隔板法 24 题型 04: 排队问题 31 题型05：多排问题 35 题型06：错位排列 36 题型07：环排问题 42 题型08：特殊元素法 46 题型09：特殊位置法 51 题型10：间接法 55 题型11：定序倍缩法 61 题型12：定序问题——先选后排 65 题型13：合理的分类与分步 66 题型14：平均分组 75 题型15：部分平均分组 84 题型16：分配问题 90 题型17：涂色问题 92 题型18：列举法 105 题型19：多面手问题 107 题型20：分解与合成模型和最短路径问题 111 题型21：构造法模型、递推模型与化归策略 118 题型22：定序重排问题求幂策略 126 题型23: 数字问题 129 题型24：几何问题 134 巩固提升 139 排列组合在高考中是高频基础+综合应用考点，全国卷/新高考多以5分小题（选择、填空）为主，偶与概率、统计等综合出现在解答题，整体难度中等偏易，核心是考分类分步思想与模型化解题。 一、高考定位与考情 1. 分值与题型：近五年全国卷、新高考卷中，排列组合多为5分小题（选择/填空）；解答题常与概率、统计、二项式定理等结合，难度略升，总计分值约5-12分。 2. 核心考点：必考排列组合基本概念与公式；高频模型有相邻（捆绑）、不相邻（插空）、特殊元素/位置优先、分组分配、定序、隔板法等；常结合古典概型、二项分布综合命题。 3. 难度与趋势：全国甲/乙卷偏基础，新高考Ⅰ/Ⅱ卷略灵活；命题情境化（如体育赛事、分组分配、生活决策），强调数学运算、逻辑推理核心素养。 4. 易错点：混淆排列（有序）/组合（无序）、分组重复计算、分类不全或交叉、忽视特殊限制条件。 二、核心命题角度（2023-2025） 1. 基础计算：排列数、组合数公式与性质，含含参方程/不等式求解，常考组合数对称性、阶乘化简。 2. 经典模型： ◦ 相邻问题：捆绑法（先捆后排，注意内部顺序） ◦ 不相邻问题：插空法（先排无限制元素，再插空） ◦ 特殊元素/位置：优先法（先特殊后一般）或间接法（总-不合条件） ◦ 分组分配：先分组（注意平均分组去重），再分配（乘对应排列数） ◦ 相同元素分配：隔板法（适用于“至少一个”等限制） 3. 综合应用：与概率统计结合（先计数再求概率）、与数列/新定义结合（如2024新高考Ⅰ卷第19题）、与涂色/几何结合（分类讨论）。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟练排列数、组合数公式与性质，明确有序/无序区别；牢记经典模型的适用场景与步骤。 2. 模型化训练：按“相邻/不相邻→特殊元素→分组分配→隔板法→定序”分类刷题，形成解题模板；重点练平均分组去重与间接法应用。 3. 综合提升：结合概率、统计、二项式定理综合题，训练“先转化为计数问题，再用排列组合求解”的思维链。 四、命题预测 1.小题仍以基础计算+经典模型为主，难度稳定，突出情境化与核心素养。 2. 解答题将更强调与概率统计、数据分析的融合，考查“实际问题→数学建模→计数求解→结论解释”的完整能力链。 3.对分类分步严谨性与模型迁移能力的要求会持续提升。 一、 知识目标 1. 准确理解排列（有序选取）、组合（无序选取）的核心定义，能清晰区分二者的适用场景。 2. 熟练掌握排列数公式 组合数公式 及其性质，能完成公式的推导与含参计算。 3. 全面掌握排列组合的经典解题模型，包括相邻（捆绑法）、不相邻（插空法）、特殊元素/位置优先法、分组分配、定序问题、隔板法等，明确各模型的适用条件与解题步骤。 二、 能力目标 1. 具备分类讨论与分步计数的核心思维，能将复杂计数问题拆解为若干简单子问题，做到分类不重、分步不漏。 2. 提升数学建模能力，能将生活情境、几何、赛事等实际问题转化为排列组合计数问题，选择恰当模型求解。 3. 培养逻辑推理与运算求解能力，能灵活运用直接法、间接法（正难则反）解题，规避重复计数、遗漏计数等常见错误。 4. 增强知识迁移能力，能将排列组合知识与概率、统计、二项式定理等内容融合，解决综合性问题。 三、 素养目标 1. 深化数学抽象素养，从具体计数案例中提炼出排列组合的数学本质，形成结构化的知识体系。 2. 强化数学运算素养，在公式应用、模型计算中养成严谨的运算习惯，提升计算准确率。 3. 发展数据分析素养，通过排列组合计数为概率统计问题提供数据支撑，理解计数与概率的内在联系。 知识点一：排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 知识点二：排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 知识点三：求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 1.特殊元素和特殊位置优先策略 2.相邻元素捆绑策略 捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤： ①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； ②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种． 3.不相邻问题插空策略 插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种． 4.定序问题倍缩空位插入策略 1.(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 2.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 3.（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 5.重排问题求幂策略 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种 6.环排问题线排策略 在圆排列数中： 个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理． 7.多排问题直排策略 8.排列组合混合问题先选后排策略 9.小集团问题先整体后局部策略 方法十.元素相同问题隔板策略 将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法． 10.间接法（正难则反总体淘汰策略） 11.平均分组问题除法策略 分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以. 12.数字排序问题查字典策略 数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数例如由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 13.树图策略 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 14.复杂分类问题表格策略 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果. 15.错位排列 错位排列公式 16.涂色问题 涂色问题常用方法： (1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； (3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数. 种颜色圆周染色问题 如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法. 正常着色定理 如图，用（为正整数）种颜色给图的个顶点着色，则正常着色的方法为：，. 17.多面手问题 解含有约束条件的排列组合问题，即多面手问题，可元素的性质进行分类，接事件发生的连续过程分步，做到标准明确．分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终． 18.分解与合成模型和最短路径问题 分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案． 19.构造法模型、递推模型与化归策略 化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题． 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解． 20.定序问题先选后排策略与重排问题求幂策略 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理．允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置．一般地，个不同的元素没有限制地安排在个位置上的排列方法有种． 题型01：相邻问题捆绑法 【典型例题1】3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（    ） A．72种 B．64种 C．48种 D．36种 【答案】D 【解析】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，故不同的站法共有种. 【典型例题2】某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（    ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】D 【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况， 第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况， 第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列， 共有种情况，所以.故选：D 【典型例题3】现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．48 B．72 C．144 D．96 【答案】B 【解析】先把3家小吃店捆绑全排共有种排法，再把小吃店与玩具店全排共有种排法， 然后把2家文创店插空全排共有种排法，所以共有6×2×6＝72种 【典型例题4】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C 【解析】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为. 【变式训练1-1】某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与队员C相邻，则不同的排法共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【解析】因为队员A和B不相邻且均与队员C相邻，所以队员C站在队员A和B的中间，故将队员看作个整体，其内部共有种排法，而这个整体与其他3名队员进行排列，则有种排法，所以不同的排法共有种. 【变式训练1-2】某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．34种 B．56种 C．96种 D．144种 【答案】C 【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，有种结果， 讲座和必须相邻，共有种结果，根据分步计数原理知共有种结果. 【变式训练1-3】2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（    ） A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种 【答案】B 【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法，此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法，所以他们不同的坐法有种. 【变式训练1-4】志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种. 【变式训练1-5】“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（    ） A．216种 B．108种 C．72种 D．54种 【答案】A 【解析】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有种方法，第二步从4个音频中选2个，共有种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排列，共种方法，故所求的总方法数为（种）. 【变式训练1-6】我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排节，且“数”必须排在第节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】分析可知“数”排在第节，且“射”和“御”相邻时，有种排法，再将“礼”、“乐”、“书”安排在剩下的节，有种排法，所以不同的安排顺序共有（种）． 【变式训练1-7】甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】C 【解析】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式，由分步计数原理可得，不同的排法共有种，故选C． 【变式训练1-8】2014年3月8日，马航航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有个水下机器人，，和个蛙人，，各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排个水下机器人或个蛙人下水，其中不能安排在第一个下水， 和必须相邻安排，则不同的搜寻方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】和捆绑，相当于个，先排第一位，则方法数有种， 【变式训练1-9】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 【答案】C 【解析】若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，∴共有(种）． 【变式训练1-10】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 则不同的排法共有种，故选：． 【变式训练1-11】甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 【答案】B 【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素，有种排法， 其中甲、乙相邻且在两端的有种， 故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有（种）．故选:B． 【变式训练1-12】某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑， 与语文、英语、生物三门课程进行排序，有种排法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的排法.故选：D. 二、填空题 【典型例题5】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】根据排列数求3名男同学、2名女同学排成一行与至多2名男生相邻的方法总数，在利用古典概型公式求解概率即可. 解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：， 则至多2名男生相邻的方法总数为：， 所以多2名男生相邻的概率为.故答案为：. 【典型例题6】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有______种．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个大元素， 然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有种排法.接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆绑，其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，此时共有种排法.综上所述，由间接法可知，共有种不同的排法.故答案为：. 【变式训练1-13】五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答） 【答案】24 【解析】相邻问题捆绑法，特殊元素优先排，用分步计数完成. C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种. 故答案为：24 【变式训练1-14】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种.故答案为： 【变式训练1-15】中国书法一般分为篆书､隶书､行书､楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草､今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书､隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草､今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为___________种. 【答案】72【解析】分别将隶书､草书､楷书当作整体，排法总数为，隶书内部顺序，草书内部顺序，故方法总数为种. 【变式训练1-16】五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______. 【答案】 【解析】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学， 又张三站在最右边，只有种情况， 所以不同站法种数为种，故答案为：. 【变式训练1-17】成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答） 【答案】24 【解析】把“徵”“羽”看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按“宫”在后，“徵”“羽”在前的顺序，有种排法， 另两个位置排“商”“角”，有种排法， “徵”“羽”又可交换顺序排列，有种排法， 故所求音序种数为.故答案为：24. 【变式训练1-18】当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种． 【答案】 【解析】以全集表示“甲与乙需安排在相邻的两天”，集合表示“乙与丙安排在相邻的两天”， 集合表示“丙安排在周一”，如下图所示： 要选人负责每周周一至周六的疫情防控工作，则只需从除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，全集表示的排法中，将甲、乙两人捆绑，则，集合表示的排法中，将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则，集合表示的排法中，丙排在周一，将甲、乙两人捆绑，则， 集合表示的排法中，丙排在周一，且将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则， 因此，满足条件的排法种数为. 【变式训练1-19】在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个． 【答案】36 【解析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻， 两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素， 那么小明可以设置的不同密码共有．故答案为：36. 【变式训练1-20】中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于东、西、南、北、中五个方位．郭靖同学决定利用今年寒假时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山，若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有_____种（用数字作答）． 【答案】12 【解析】先将黄山排在首位，再将“五岳”中的名山（共3座）捆绑，再与庐山排列， 故郭靖同学针对这五座名山的游览顺序种数为．故答案为：12. 题型02：不相邻问题插空法 【典型例题1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 【典型例题2】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为.故选：C. 【典型例题3】五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【解析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 【典型例题4】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．24 B．48 C．144 D．244 【答案】C 【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、 “谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空， 所以不同的放置方式有种.故选：C 【典型例题5】高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（    ） A．72 B．144 C．48 D．36 【答案】A 【解析】先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法， 再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法， 所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.故选：A. 【变式训练2-1】五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种．故选：C． 【变式训练2-2】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（    ）种 A．15 B．20 C．10 D．9 【答案】C 【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻， 则需要用插空法分析： 先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位， 在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况， 即有10种关灯方法.故选：C 【变式训练2-3】某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（    ） A．4种 B．10种 C．20种 D．60种 【答案】D 【解析】甲、乙、丙每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙互不相邻，相当于有四个空位放置成一排，形成5个空档，甲、乙、丙三人各带一个座位插入， 所以有（种）不同的坐法，故选：D． 【变式训练2-4】为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为(    ) A．36 B．45 C．72 D．90 【答案】D 【解析】采用插空法即可： 第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法； 第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10种排法， 故共有9×10＝90种排法.故选：D. 【变式训练2-5】为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种 B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种 C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种 【答案】D 【解析】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有(种)，A选项不正确； 对于B，除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有(种)，B选项不正确； 对于C，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数” 则不同排法共有(种)，C选项不正确；对于D，六门课程的全排列有(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有(种)，D选项正确. 【变式训练2-6】某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况. 【变式训练2-7】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【答案】B 【解析】分两步：第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法； 第二步：将两个1选两个空插进去有，由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种， 【变式训练2-8】《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．1440 B．2400 C．14400 D．86400 【答案】C 【解析】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法. 【变式训练2-9】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法， 故总共有种排法， 【变式训练2-10】A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】C 【解析】首先将A与C捆绑到一起，与除B、D以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有种排法，再将B、D插空到除最右边的3个位置中，有 种排法，因此共有种排法， 【变式训练2-11】2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（    ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，所以不同的放置方式种数有种. 【变式训练2-12】志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种 【答案】B 【解析】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有种，再分两类讨论： 第一类：2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有种， 3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有种， 第二类：2、将甲安排在乙丙中间有种，3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有种，所以不同的方案有(种. 【变式训练2-13】第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（    ） A．120种 B．96种 C．48种 D．24种 【答案】C 【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有种安排方案，2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有种安排方案，所以符合条件的安排方案共有. 【变式训练2-14】某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将6个小吃类店铺进行全排列，有种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有种排法，故排出的摊位规划总个数为． 【变式训练2-15】已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据相邻问题捆绑法与不相邻问题插空法计数，再根据古典概型计算概率. 解：5只鸡， 只兔子走出房门，共有种不同的方案， 其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有：种方案， 故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.故选：D. 二、填空题 【典型例题6】“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答） 【答案】12 【解析】先将个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有种排法.故答案为：. 【典型例题7】3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______． 【答案】 【解析】首先求出基本事件总数，再分女生都不相邻和有两个女生相邻两种情况讨论，求出符合题意的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得； 解：依题意基本事件总数为， 若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法， 若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列， 再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法， 故每名女生旁边都有男生的概率故答案为： 【变式训练2-16】将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答） 【答案】144 【解析】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种； 再把其与英语书、生物书进行全排列，有种； 再用插空法安排物理书､化学书，有种； 所以一共有.故答案为：144 【变式训练2-17】英文单词"sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个n不相邻一共可以得到英文单词的个数为_________．（可以认为每个组合都是一个有意义的单词） 【答案】2520 【解析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，再插入个字母，共有种，所以一共有种.故答案为：2520 【变式训练2-18】某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）． 【答案】44 【解析】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形： 第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共种， 将女生插空时又分两种情形： 先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计种； 空位两侧共排一名女生时计种， 共计种； 第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共种，将女生插空共种，共计种， 综上，共计种．故答案为：44 题型03:隔板法 【典型例题1】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】采用隔板法直接求解即可. 将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额， 共有种.故选：B. 【典型例题2】方程的非负整数解共有___________组． 【答案】 【解析】将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法， 所以方程的非负整数解共有组.故答案为：78 【典型例题3】方程的正整数解的个数__________. 【答案】 【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内． 共有种．故答案为： 【典型例题4】将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种． 【答案】84 【解析】因为个班级干部没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．在个空档中选个位置插个隔板，把班级干部分成份，对应地分给七个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 【典型例题5】已知数列共有26项，且，，，则满足条件的不同数列有__________ 个． 【答案】2300 【解析】， 或， 设有个，则有个， ， 所以，解得， 即可知25个括号中有22个取1， 所以满足条件的不同数列有.故答案为：2300. 【典型例题6】将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 【答案】见解析 【解析】(1)把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； (2)由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； (3)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种. 【变式训练3-1】某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【答案】C 【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案. 【变式训练3-2】学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】根据题意，先在编号为､､的个班级中分别分配､､个名额，编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个，由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种. 【变式训练3-3】现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ） A．28 B．24 C．18 D．16 【答案】C 【解析】把9个球分成3组，每组个数不相同，分法（按球的个数）为：126，135，234共三种，然后每组球放到3个盒子中有种方法，方法数为． 【变式训练3-4】方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【答案】A 【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式， 二、多选题 【变式训练3-5】为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲､乙､丙､丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种 C．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种 D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种 三、填空题 【变式训练3-6】某地举办庆祝建党周年“奋进新时代，学习再出发”的党史知识竞赛.已知有个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁四支参赛队伍，其中一支队伍分配有个名额，余下三支队伍都有参赛名额，则这四支队伍的名额分配方案有__________种. 【答案】 【解析】有个名额的队伍只能有一个，有种，剩余个名额分给其他个队伍，由隔板法知有种， 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.故答案为：. 【变式训练3-7】六元一次方程的正整数解有________组． 【答案】126 【解析】的正整数解的组数为，故答案为：. 【变式训练3-8】现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【答案】85 【解析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况. （1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.所以一共有种不同的分配方案. 【变式训练3-9】某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种． 【答案】 【解析】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有种则不同的分配方案有 【变式训练3-10】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法. 【答案】10 【解析】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，可分为以下三种情况：①其中有两个盒子各放入3个小球，共有种不同放法；②三个盒子中均放入2个小球，共有1种不同放法；③一个盒子放入3个小球，一个盒子放入2个小球，最后一个盒子放入1个小球，共有种放法； 所以不同的放法共有种.故答案为：10 【变式训练3-11】若方程，其中，则方程的正整数解得个数为______. 【答案】10 【解析】依据挡板法去求解即可. 因为方程，其中，则. 将其转化为有6个1排成一列，利用2个挡板法将其分成3组，第一组1的数目为， 第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个挡板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为10.故答案为：10 四、解答题 【变式训练3-12】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18. 【解析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中； （3）按照插板法进行计算即可； （4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算. （1）每个小球有4种方法，共有种放法； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法； （3）9个空中插入3个板即可，种放法； （4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法. 【变式训练3-13】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560. 【解析】(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案； (2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得； (3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可； (4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子即可得解. （1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球， 则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中， 所以共有2种放法； （2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法， 所以不同的放法种数为； （4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组， 每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求， 所以不同的放法种数为． 【变式训练3-14】方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？ 【答案】见解析 【解析】将正整数看成个1的和，将这个1排成一排. 在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法 被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解. 所以正整数解有个. 由 设 即求的正整数的组数. 将正整数看成个1的和，将这个1排成一排. 在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法 被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解. 所以的正整数的个数为. 即非正整数解有个. 题型 04: 排队问题 【典型例题1】七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．144种 【答案】D 【解析】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种． 【典型例题2】名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】首先5名大人先排队，共有种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有种排法，根据乘法原理，共有种，故选A. 【典型例题3】甲､乙､丙三人相约一起去做检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案； ②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； ③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； ④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案； 所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.故选：C 【变式训练4-1】街头篮球比赛后，红、黄两队共名队员（红队人，黄队人）合照，要求人站成一排，红队人中有且只有名队员相邻，则不同排队的方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】由题意，分三步进行分析： ①将名红队队员分成组，有种分组方法，将人的一组看成一个元素，考虑人之间的顺序，有种情况；②将黄队的人全排列，有种排法，排好后，有个空位；③在个空位中任选个，安排名红队队员分成的两个组，有种方法，则人站成一排照相，名红队队员中有且只有两人相邻的站法有种， 【变式训练4-2】六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（    ） A．48 B．72 C．90 D．120 【答案】A 【解析】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种. 【变式训练4-3】某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（    ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【解析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论： （1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案； （2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案； （3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案； 由加法计数原理可知共有种方案，故选：B 【变式训练4-4】（多选题）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（    ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 【答案】CD 【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确； D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确. 【变式训练4-5】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边． 【答案】见解析 【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种； （2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种； （3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法； （4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法； （5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法； （6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法； （7）对比（6），让女生插空，共有种排法； （8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法； （9）分步完成共有种排法； （10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列， 7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法. 【变式训练4-6】若，，，，五个人按不同的要求排列队伍，求不同的排队方法的种数 (1)，两人不站在一起； (2)不站在最左边，不站最右边； (3)如果又来了一位同学，六个人站一排，、站在中间，站在的右边； (4)若5个人站成两排，其中一排站2个人，另一排站3个人． 【答案】见解析 【解析】(1)采用插空法，，两人不站在一起有种方法； (2)当站在最右端，则有种方法，当不站在最右端，有种方法，所以共有种方法； (3)六个人站一排，、站在中间，站在的右边，有种方法；(4)若前排2人，后排3人，共有种方法，若前排3人，后排2人也是120种方法，所以共有240种方法. 题型05：多排问题 【典型例题1】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】C 【解析】前排人有个空,从甲乙丙人中选人插入,有种方法,对于后排,若插入的人不相邻有种,若相邻有种,故共有种,选C． 【典型例题2】6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种． 【答案】720【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列． 【解析】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有（种）． 【变式训练5-1】6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（    ） A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种 【答案】C 【解析】 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人 不同的排法共有：种故选：C. 【变式训练5-2】毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（    ） A．40种 B．20种 C．180种 D．90种 【答案】D 【解析】按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故种 【变式训练5-3】10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A．168 B．420 C．840 D．20160 【答案】B 【解析】从后排7人中抽2人有种方法；将抽出的2人调整到前排，前排3人的相对顺序不变有种，由分步乘法计数原理可得：共有种 【变式训练5-4】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（    ） A．36 B．90 C．360 D．720 【答案】B 【解析】解：6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 题型06： 错位排列 错位排列公式 【典型例题1】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】B 【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种. 【典型例题2】将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里， 对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.则对于编号为的小球，有个盒子可以放入， 对于编号为、的小球，只有种放法.综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种. 【典型例题3】同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有 A．8种 B．9种 C．10种 D．12种 【答案】B 【解析】方法一： 设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配， 所以共有3×3×1×1=9种分配方式;方法二： 根据题意，列举出所有的结果: 1、甲乙互换，丙丁互换； 2、甲丙互换，乙丁互换； 3、甲丁互换，乙丙互换； 4、甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的； 5、甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的； 6、甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的； 7、甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的； 8、甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的； 9、甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的． 通过列举可以得到共有9种结果． 【典型例题4】“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ） A．72 B．108 C．144 D．196 【答案】C【解析】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为． 【典型例题5】元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ） A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【答案】B 【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d， 当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式， 由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）． 【变式训练6-1】若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（    ） A．20 B．90 C．15 D．45 【答案】D 【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法， ②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有种. 【变式训练6-2】5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（   ） A．42 B．44 C．46 D．48 【答案】B 【解析】由题意，设五人分别为，重新站队时，可从开始，其中有种不同的选择，比如占据了的位置，可再由选取位置，可分为两类，1类：占据了的位置，则后面的重站，共有种站法；2类：没有占据的位置，则有种站法，后面的重站，共有种站法，所以共有种不同的站法. 【变式训练6-3】若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（  ）种不同的站法. A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【解析】根据题意，分2步分析：①先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有种选法；②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．故不同的调换方法有， 【变式训练6-4】个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________. 【答案】 【解析】根据题意，分步：第一步，先从个人里选1人恰好摸到自己写的卡片，有种选法， 第二步，对于剩余的人，因为每个人都不能选自己写的卡片，所以第一个人有种选法，卡片被选走的那个人也有种选法，剩下的人选法唯一，所以不同的选法有种. 【变式训练6-5】位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁. 假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种.综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为. 【变式训练6-6】一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位. 乘客 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 （1）若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)； （2）若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率. 【答案】见解析 【解析】（1）余下两种坐法如下表所示： 乘客 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若成客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为： 乘客 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以.即乘客坐到5号座位的概率是. 【变式训练6-7】将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求： （1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？ （2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ （3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ （4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？ 【答案】见解析 【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）； （2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、， 因此，所求放法种数为（种）；（4）按两步进行，空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板， 由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）. 【变式训练6-8】n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？ (1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品； (2)有人取回了他原来的物品； (3)恰好只有一人取回他原来的物品. 【答案】见解析 【解析】(1)（1）设没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品，可以先取贺卡，n个同学均没有取回他原来的贺卡（即n个元素排列有n个动点）有种.同理，再去取礼物，也有种， 由错排公式，共有 种.(2)（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有种,故有人取回他原来物品的取法有种. (3)（3）根据表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，那么用表示n个人中有一个人取回他原来的物品的可能数，因此恰好只有一人取回他原来的物品，有三种可能，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了.前二种情况各有种，后一种情况有种， 取法总数为: . 【变式训练6-9】将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求： (1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数； (2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数. 【答案】见解析 【解析】(1)全部无限制排列有种.如果有5个或6个卡片号码和盒子的号码对应相同，只有1种； 如果有4个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪4个号码相同，有种，剩下的两个号码只有一种插法，所以共有种； 如果有3个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪3个号码相同，有种，剩下的三个号码有2种插法，所以共有种； 如果有2个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪2个号码相同，有种，剩下的4个号码有9种插法，所以共有种； 如果有1个卡片号码和盒子的号码相同，首先，确定哪1个号码相同，有种，剩下的5个号码，先选1个号码放在最前面，有4种插法，剩下的4个号码有11种插法，所以共有种. 所以共有种. (2)先选择3张卡片号码与所在盒子号码相同，有种方法；再把剩下的3张卡片放在剩下的盒子里，要保证号码不同，只有2种方法，所以共有种方法. 题型07： 环排问题 【典型例题1】7颗颜色不同的珠子，可穿成________的珠子圈． 【答案】360 【解析】由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开，可看成个元素排成一排，即共有种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成（顺时针、逆时针两种情况）种不同的珠子圈． 【典型例题2】8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有______种不同的围法． 【答案】1260或 【解析】8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有种不同的围法．故答案为：1260或. 【典型例题3】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ） A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】当倒数第个人出来表演节目时，一共报数了次. 【典型例题4】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 【典型例题5】现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】8个人围成一圈,有种.其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由. 所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为. 【变式训练7-1】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 【变式训练7-2】如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）. A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种 【答案】D 【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法， 再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法. 【变式训练7-3】已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得，甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列， 其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为， 由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为. 【变式训练7-4】21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D． 【变式训练7-5】10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为__________ 【答案】 【解析】因为10位男生全排列有种排法，因为是围成一圈，所以不分头尾， 所以10位男生围成一圈有种，再把10位女生插入男生间的空隙中共有种方法， 所以10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，不同的排列数为. 【变式训练7-6】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 【变式训练7-7】4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答) 【答案】1440 【解析】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐， 则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5，所以共有种不同的作法. 【变式训练7-8】一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种. 【答案】 【解析】当学生选择相邻的四个偶数有，，，，，有种，以学生选为例，家长的排法有 ，，，有种，同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种， 当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有，，，，，有种， 以学生选择为例，家长的坐法有，，，，，，，，共种， 同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种， 当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有，，有种， 以学生选择为例，家长坐法有：，，，，，，，，有种， 同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，所以有种， 综上所述：满足要求的坐法共有种，故答案为：. 【变式训练7-9】有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）． （1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？ （2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？ 【答案】见解析 【解析】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法， 由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法； （2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定， 第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法， 第三步，排，二人的座位，有种坐法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法 题型08：特殊元素法 【典型例题1】小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解； 先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有种．故选：C 【典型例题2】甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.设“甲、乙在同一组”为事件， 教师随机分成三组，每组至少一人的分法为， 而甲、乙在同一组的分法有，故，故选：A. 【典型例题3】为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（    ） A．18种 B．36种 C．68种 D．84种 【答案】B 【解析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可 根据题意，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故一共有：种分派方法故选： 【典型例题4】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【解析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10．故选：C． 【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 【典型例题5】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ） A．8种 B．14种 C．20种 D．116种 【答案】B 【解析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B. 【变式训练8-1】某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（    ） A．72 B．84 C．90 D．96 【答案】B 【解析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果. 第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种； 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法； 若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法， 综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B 【变式训练8-2】运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（    ） A．360 B．720 C．1080 D．2160 【答案】D 【解析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排. 第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法， 第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法， 第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为， 【变式训练8-3】某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为甲不去打扫区域，所以可以安排甲去打扫中的一个区域， 若甲去打扫区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，若甲去打扫区域或区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫区域，故乙的安排方法有两种，再安排丙，丁两人，共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，由分类加法计数原理可得共有种安排方法. 【变式训练8-4】第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为， 则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场， 余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种. 【变式训练8-5】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单． （1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）利用捆绑法可求解； （2）利用特殊元素优先选择，即可求解； （3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解. （1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法； （2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； （3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 题型09：特殊位置法 【典型例题1】开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】B 由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2， 当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则种安排方式； 当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则种安排方式， 所以共有种；故选：B 【典型例题2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 【典型例题3】某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．56种 【答案】C 【解析】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，因为连续空座至多有个，所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座， 甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，则这种情况为， 同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，所以，满足要求的坐法有种. 【典型例题4】某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 【答案】C 【解析】根据题意，用间接法分析：甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况， 其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种，则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种， 【典型例题5】将编号为的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出任意放球共有种方法，再求出恰有一个小球与所在盒子编号相同的方法总数，最后利用古典概型的概率公式求解. 解：由题得任意放球共有种方法，如果有一个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设选的是1号球，则再对后面的2,3,4,5进行排列，且四个小球的编号与盒子的编号一个都不相同，假设2号盒子里放3号球，则有三种，所以 后面的小球的排列共有种方法. 所以剩下的四个球共有种方法. 由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为故选：A 【变式训练9-1】包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（    ） A．240种 B．252种 C．264种 D．288种 【答案】C 【解析】先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法： 一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间，故有种不同的站法； 另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有种不同的站法，所以共有264种不同的站法. 【变式训练9-2】过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】B 【解析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数. ①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法， 此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同； ②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法， 此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同； ③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法； 故选拔测试的安排方案有种. 故选：B. 【变式训练9-3】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（    ）个． A．600 B．300 C．360 D．180 【答案】B 【解析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案. 当最后一位为1时，共有种； 当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种， 把余下2个数字与9全排有种， 将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种， 共有种；综上，共有种.故选：B 【变式训练9-4】某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生参与毕业典礼志愿者工作，并把他们安排在3个不同的岗位，其中岗位不安排男生，则不同的安排方式种数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【解析】先抽取2名女生和1名男生，再把他们安排在3个不同的岗位上，减去男生安排在岗位的情形，即可得答案 解：先抽取2名女生和1名男生，共有种，再把他们安排在3个不同的岗位上，减去男生安排在岗位的情形，则不同的安排方式有种．故选：B 【变式训练9-5】因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（        ）种． A．379 B．360 C．243 D．217 【答案】A 【解析】依题意，重点要先排好7号位和3号位，余下的按部就班即可. 依题意作图如下： 上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比124567要高， 1，7两处是排列里最低的，3，9两处是最高点， 设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则 3号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置， 余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置， 8，9号放入最后两个位置，即；第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置， 余下的号和9号放入最后两个位置，即；第3个位置选9号：先从1，2，3，4，5，6，7，8号中选两个放入前两个位置，余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置， 余下的2个号放入最后两个位置，即；由分类计数原理可得共有种排列方式； 【变式训练9-6】某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________． 【答案】16 【解析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解． 根据题意，可分三步进行分析： （1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位； （3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种， 所以不同的排课方法的种数是种，故答案为：16． 题型10：间接法 【典型例题1】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（       ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D 【典型例题2】某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（       ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.故选：B 【典型例题3】中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（   ） A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为， 于是得， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.故选：A 【典型例题4】红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗诵类节目，1个戏曲类节目．演出时要求同类节目不能相邻，则演出顺序的排法总数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】所有演出方案有种， 歌舞类相邻有种，小品类相邻有种， 歌舞与小品均相邻有种， 所以总数有种.故选：C. 【典型例题5】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（    ）． A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种 【答案】D 【解析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解. 7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.故选：D 【变式训练10-1】某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种 A．9 B．36 C．54 D．108 【答案】C 【解析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答. 从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种， 选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种， 所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C 【变式训练10-2】公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（    ） A．720 B．1440 C．2280 D．4080 【答案】C 【解析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷. 一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1. 这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字. 当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14 当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字， 则大于3.14的不同数字的个数为故选：C 【变式训练10-3】2024年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（    ） A．8 B．18 C．19 D．24 【答案】C 【解析】不同选法种数为. 【变式训练10-4】甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（    ）种不同的参加方法 A．72 B．144 C．216 D．240 【答案】C 【解析】依题意将名同学分成、、、四组，再分配到四门学科中有种， 其中甲乙两人恰好参加同一学科竞赛的有种，所以不同的参加方法有种. 【变式训练10-5】四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A 【解析】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 【变式训练10-6】某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（    ） A．192种 B．120种 C．96种 D．24种 【答案】C 【解析】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）. 【变式训练10-7】现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．484 B．472 C．252 D．232 【答案】B 【解析】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种. 【变式训练10-8】中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【答案】B 【解析】利用间接法：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱， 不同的分配方法种数为；然后考虑甲、乙两人在同一舱的情形，只需将另外两人分成两组，每组一人，再将这三组人分配给三个舱，此时，不同的分配方法种数为种.综上所述，甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法种数为种. 【变式训练10-9】在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 【答案】ACD 【解析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答. 对于A，B，抽1件不合格品有种，再抽2件合格品有种，由分步计数乘法原理知， 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种，A正确，B不正确； 对于C，至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有种，2件是不合格品的抽法有种， 由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，C正确； 对于D，至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从100件产品中任意抽出3件有种， 抽出3件全是合格品有种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有()种，D正确. 故选：ACD 【变式训练10-10】将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）. 【答案】27 【解析】按照1号球是否放在B盒子分类，结合. 若1号球放在B盒子中，共有种放法； 若1号球放在C盒子中，共有种放法； 所以共有放法总数为.故答案为：27. 【变式训练10-11】2025年8月，南昌最美地铁7号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为______. 【答案】65 【解析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得. 由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有种， 若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有种， 故人民公园一定要有人去的不同游览方案有种.故答案为：65. 题型11：定序倍缩法 【典型例题1】将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种， 甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种． 【典型例题2】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（   ） A．120个 B．100个 C．300个 D．600个 【答案】B 【解析】数字0,1,2, 3,4,5可组成个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，共种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有个. 【典型例题3】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【解析】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 【典型例题4】某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（    ） A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】A 【解析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解. 先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，有，总共有种.故选：A. 【典型例题5】高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ） A．24种 B．40种 C．60种 D．84种 【答案】B 【解析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果. 五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B． 【变式训练11-1】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（    ） A．20种 B．30种 C．50种 D．60种 【答案】A 【解析】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，利用排列得到答案. 每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A 【变式训练11-2】有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有(    ) A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 【答案】B 【解析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解. 首先对五名学生全排列，则共有种情况， 又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况， 所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有种情况.故选：B 【变式训练11-3】某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（    ） A．240种 B．180种 C．120种 D．150种 【答案】A 【解析】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为 种，D和F进行插空共有种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以，符合要求的顺序有＝240种． 【变式训练11-4】现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（    ） A．36 B．24 C．20 D．12 【答案】D 【解析】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定， 所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，再与其余三人进行排列，共有种站法. 【变式训练11-5】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【答案】B 【解析】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 【变式训练11-6】小武是1999年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（    ） A．2760 B．3180 C．3200 D．3360 【答案】D 【解析】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为 【变式训练11-7】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答） 【答案】330 【解析】法1：先选后排，进行求解；法2：用消序法进行求解. 法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法； 第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为， 由分步计数原理可得共有种方法. 法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种， 其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.故答案为：330 【变式训练11-8】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果. 一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种 故答案为：. 题型12：定序问题——先选后排 【典型例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为． 故选：C． 【典型例题2】某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（       ） A．36 B．90 C．360 D．720 【答案】B 【解析】6个高矮互不相同的人站成两排， 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，故选：B 【变式训练12-1】五人并排站成一排，如果必须站在的右边，（可以不相邻）那么不同的排法有（   　） A．120种 B．90种 C．60种 D．24种 【答案】C 【解析】所有人排成一排共有：种排法 站在右边与站在右边的情况一样多 所求排法共有：种排法。本题正确选项： 【变式训练12-2】满足，且的有序数组共有（       ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．故选：A． 【变式训练12-3】DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（       ） A．20 B．40 C．60 D．120 【答案】C 【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为.故选：C 【变式训练12-4】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （       ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 【答案】A 【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取， 所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故一共有种，故选：A 题型13：合理的分类与分步 【典型例题1】为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年月日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】携带工具方案有两类： 第一类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种； 第二类，个勾子，个夹子，把铁锹，所以携带工具的方案数有种； 所以不同的安排方案共有种，故选：A 【典型例题2】用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（    ） A．600个 B．540个 C．480个 D．420个 【答案】A 【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数， 若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种， 再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字； 若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种， 再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字； 综上可得一共有个数字；故选：A 【典型例题3】某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 【答案】C 【解析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法；按照分步乘法原理，共有 种方法；故选：C. 【典型例题4】有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可 先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法， 然后将3个项目全排列，共有种排法， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种， 因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，故选：D 【典型例题5】将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置， ① 当C在位置1时，不同的摆法有种； ② 当C在位置2时，不同的摆法有种； ③ 当C在位置3时，不同的摆法有种； 由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同， 故摆放种数有.故选：B. 【变式训练13-1】志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（    ） A．14 B．12 C．24 D．28 【答案】A 【解析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法： ①丁扶贫点最先去，有种安排方法； ②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法， 综合①②知共有种安排方法.故选：A. 【变式训练13-2】用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【解析】当个位数为0时，有个， 当个位数为2或4时，有个， 所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故选：C. 【变式训练13-3】小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（    ） A．20160 B．20220 C．20280 D．20340 【答案】A 【解析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案. 依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能： （1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z. 若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能； 若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有种可能； 若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有种可能； 小计：1+12+12=25； （2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型 若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能； 若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有种可能； 若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有种可能； 若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+种可能； YXZ H※ H※ H※ H H※※ H※ H※ H※ ※ H※ H※ ※※ H 若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能； 小计：； （3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型 若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能； 若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能； 若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有种可能； 若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能； 若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能. 小计； 诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型 若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能； 若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能； 若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有种可能，故此小类有3种可能； 若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能； 小计； （5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z” 只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能； 综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为=种.故选：A 【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标准，要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不重不漏. 【变式训练13-4】有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】D 【解析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断. 选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误； 选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误； 选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误； 选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.故选：D. 【变式训练13-5】（多选题）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【答案】BCD 【解析】利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；计算出乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误. A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走， 则甲从到达处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达处，可分为两步： 第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种. 甲经过到达的方法数为种，B选项正确； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 甲、乙两人在处相遇的方法数为， 甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走， 乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确.故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解： 在平面直角坐标系中，从到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法种数为（或）种. 【变式训练13-6】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【答案】 【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得； 解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况， ①步：即步两阶，有种； ②步：即步两阶与步一阶，有种； ③步：即步两阶与步一阶，有种； ④步：即步两阶与步一阶，有种； ⑤步：即步两阶与步一阶，有种； ⑥步：即步一阶，有种； 综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种； 故7步登完楼梯的概率为。故答案为： 【变式训练13-7】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【答案】 【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种； 当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种， 根据分类计数原理得到共有个．故答案为：． 【变式训练13-8】有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________. 【答案】264 【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择； 当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择； 当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种， 综上：96+144+24=264种选择。故答案为：264 题型14：平均分组 【典型例题1】有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】D 【解析】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误； 选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误； 选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确. 【典型例题2】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解 由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1； 在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）. 因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个， 所以所求的概率．故选：A． 【典型例题3】某社区为了做好防控工作，安排6名志愿者进行检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【答案】A 【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人， 可分两种情况考虑：第一种：人数为的三组，共有种； 第二种：人数为的三组，共有种.所以不同的安排方法共有种， 【典型例题4】2024年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ） A．630种 B．600种 C．540种 D．480种 【答案】C 【解析】先把把6名工作人员分成三组，再安排到三个村，即先分组，再排列. 把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种； 所以共有90+90+360=540种.故选：C. 【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 【典型例题5】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（    ） A．150 B．240 C．390 D．1440 【答案】C 【解析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种.故选：C 【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题. 【变式训练14-1】将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（    ） A．36种 B．14种 C．22种 D．8种 【答案】B 【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：； 两个车间都安排两名工人的方案有：.所以，不同的安排方案有. 【变式训练14-2】将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（    ） A．24种 B．12种 C．6种 D．10种 【答案】C 【解析】均匀分组的计算公式，分组后进行分配，即可得解. 对四人均匀分为两组共有：，再将两组与甲、乙两校全排列共有：， 所以不同的实习安排方案.故选：C. 【变式训练14-3】将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（    ） A．240种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2， 共有种分法，再分配给3所学校，可得种. 【变式训练14-4】某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ） A．540种 B．300种 C．210种 D．150种 【答案】D 【解析】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，当按分组时，有种方法，当按按分组时，有种方法，所以不同的选择方式有种. 【变式训练14-5】某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（    ） A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 【答案】D 【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种； 所以不同的派遣方案共有种， 【变式训练14-6】将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案； 【变式训练14-7】若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（    ）种安排方法 A．335 B．100 C．360 D．340 【答案】C 【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组； ①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有 在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：， 根据分步计数原理可得共有不同安排方案为： 如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为： 所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为 ②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为： 若1同学只安排了一位辅导老师则 若1同学安排了四位辅导老师则。所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导， 甲老师不安排去辅导同学1的方法数为 ③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为； 若1同学只安排了一位辅导老师则 若1同学只安排了两位辅导老师则 若1同学只安排了三位辅导老师则 所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导， 甲老师不安排去辅导同学1的方法数为 综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为 故选：C 【变式训练14-8】将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（    ） A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种 【答案】B 【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有型与型， 对于型，女老师的分配情况有，其中只有一个社区女老师的人数超过，则名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为；对于型，女老师的分配情况有，其中有两个社区女老师的人数为，则将名男老师分配去两个社区，则分配方案有型、型与型，则分配情况有，即总分配情况为；综上所述，. 【变式训练14-9】有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（    ） A．96种 B．124种 C．150种 D．130种 【答案】C 【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有种分组方法； 当按照1,2,2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法； ②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；则安排方法共有种， 【变式训练14-10】一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种. 【答案】684 【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有种分组方法；则护士有种分组方法； 第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有种安排方法；根据分步乘法计数原理得种分配方法. 【变式训练14-11】A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）. 【答案】 【解析】根据题意，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况， 若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A和参加同一科的有种情况； 所以，满足题意的情况共有种.故答案为：. 【变式训练14-12】安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种． 【答案】210 【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有种情况，接下来4个班级可分为两种情况： 第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有．故答案为：210 【变式训练14-13】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【答案】见解析 【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有. （4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法. 【变式训练14-14】设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）. (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？ (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？ (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)；(7)；(8) 【解析】（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本有方法1种，列出式子即可；（2）和（1）类似，定向分配，分好组即可，不同的分法共有种；（3）先均分为3份，再将3份分配给3个人，不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，再列出式子即可；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，列出式子即可；（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，列出式子即可；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，列出式子即可；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，根据分析列出式子即可. （1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本.有方法1种， 不同的分法共有（种）； （2）与（1）类似，不同的分法共有（种）； （3）先平均分为3组，种分组方式，再分配给3个人， 得到不同的分法共有种； （4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本； 再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能， 不同的分法共有（种）； （5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）. （6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种）； （7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种） （8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种）； 题型15：部分平均分组 【典型例题1】安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案. 5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人； 当分为3,1,1人时，有种实习方案， 当分为2,2,1人时，有种实习方案， 即共有种实习方案， 其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种， 故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，故选：D. 【典型例题2】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 【答案】D 【解析】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，所以不同的选派方法共有种. 【典型例题3】中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 【答案】D 【解析】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30， 若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240，若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90，故不同的安排方法种数是360. 【典型例题4】某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 A．4680 B．4770 C．5040 D．5200 【答案】C 【解析】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C. 【点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 【变式训练15-1】将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（    ） A．81种 B．72种 C．63种 D．36种 【答案】B 【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，有种分组方法，②将分好的三组安排到三个路口，有种安排方法，则有种分派方法， 【变式训练15-2】某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（    ） A．360种 B．300种 C．90种 D．150种 【答案】D 【解析】先分类，分为3个社区的志愿者人数分别为3,1,1或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案，注意部分平均分组问题. 若3个社区的志愿者人数分别为3,1,1，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为2,2,1，此时不同的分配方案有种，综上：不同的分配方案有60+90=150种. 故选：D 【变式训练15-3】为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ） A．54种 B．240种 C．150种 D．60种 【答案】C 【解析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解. 根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程， 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种； ②三组人数为2、2、1，此时有种. 所以共有60+90=150种.故选：C 【变式训练15-4】（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种 【答案】AB 【解析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答. 记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有， 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确； 对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为， ，记第二次抽到3号球的事件为， ，B正确； 对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为， ，记第二次抽到1号球的事件为， ， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同， ，， ，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种， 将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法， 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.故选：AB 【变式训练15-5】甲乙丙丁4位大学生前往，，3个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少安排1人，其中甲只能去，两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．36 B．12 C．24 D．18 【答案】C 【解析】若甲去，则剩余3人，可只去，两个工厂，也可分为3组去，，3个工厂， 当剩余3人只去，两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有；当剩余3人分为3组去，，3个工厂，此时的分配方法有，综上可得，甲去工厂，不同的安排方法数是， 若甲去，则剩余3人，可只去，两个工厂，也可分为3组去，，3个工厂，当剩余3人只去，两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有；当剩余3人分为3组去，，3个工厂，此时的分配方法有，综上可得，甲去工厂，不同的安排方法数是，所以，不同的安排方法数是. 【变式训练15-6】感动中国十大人物之一的张桂梅老师为了让孩子走出大山，扎根基层教育默默奉献精神感动了全中国.受张桂梅老师的影响，有位志愿者主动到所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，每位志愿者只到一所学校支教，下列结论正确的有（    ） A．不同的安排方法数为 B．若甲学校至少安排两人，则有种安排方法 C．小晗被安排到甲学校的概率为 D．在小晗被安排到甲校的前提下，甲学校安排两人的概率为 【答案】AC 【解析】利用分组分配原理可判断A选项；利用特殊元素优先考虑法可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用条件概率公式可判断D选项. 对于A选项，将位志愿者分成组，每组至少一人，每组人数分别为、、或、、， 再将这三组志愿者分配给个地区，不同的安排方法种数为种，A对； 对于B选项，若甲学校至少安排两人，则甲校安排人或人， 则不同的安排方法种数为种，B错； 对于C选项，若小晗被安排到甲学校，则甲校可安排的人数为或或， 由古典概型的概率公式可知，小晗被安排到甲学校的概率为，C对； 对于D选项，记事件小晗被安排到甲校，事件甲学校安排两人， 则，， 由条件概率公式可得，D错.故选：AC. 【变式训练15-7】将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答） 【答案】36 【解析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得. 将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人， 可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：36 题型16：分配问题 【典型例题1】某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且每班安排名，则不同的安排方案种数为 __． 【答案】 【解析】先把名学生均分两组有种方法， 然后再把这两组分给这个班中的两个班有种方法， 根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有种．故答案为：. 【典型例题2】甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 __种 【答案】30 【解析】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：， 所以不同分法的种数有5＝30，故答案为：30． 【变式训练16-1】某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是______． 【答案】 【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点， 共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案.故答案为： 【变式训练16-2】某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________． 【答案】550 【解析】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种， 若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种， 若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种， 综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.故答案为：550 【变式训练16-3】将编号为1，2，3，4的四个小球放到三个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1，2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数有___________.（用数字作答）. 【答案】 【解析】由题意得4个小球有2个放在一个盒了里的种数是，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有种结果，而编号为1，2号小球放在同一个盒子里有种结果， 所以编号为1，2的小球不放到同一个盒子里的种数是.故答案为：30. 【变式训练16-4】有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________. 【答案】 【解析】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案， 则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案， 则公司的分派人数只能是1，1，则有种， 根据分类计数原理共有种，故答案为：14． 【变式训练16-5】我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是______种. 【答案】150 【解析】5人分成3组，各组人数有1,1,3或1,2,2两类， 当各组人数为1,1,3时，不同的安排方案有种， 当各组人数为1,2,2时，不同的安排方案有种， 所以，不同的安排方案有150种.故答案为：150 题型17：涂色问题 【典型例题1】用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（    ） A．6 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【解析】依题意，第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：①全染黑色，有 1 种方法； ②第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； ③第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法； 所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有种， 【典型例题2】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)． 【答案】420 【解析】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有种， 用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有种， 用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有种， 所以不同的着色方法共有（种）.故答案为：420 【典型例题3】七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种. 【答案】 【解析】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色. 又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色. ①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况； ②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况. 又板块颜色可排列，故共种.故答案为： 【典型例题4】用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色． （1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ （2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？ （3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意知题图①中的四个区域，每个区域有种涂色方案，共有种方案； （2）题图①：第一步，涂，有种不同的涂法；第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；第四步，涂，只需与的颜色不相同，有种不同的涂法．所以共有种不同的涂色方案. 题图②：第一步，涂，有种不同的涂法；第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法； 第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法．所以共有种不同的涂色方案； （3）前三步与题图①的涂法类似，分别有、、种不同的涂法， 第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法． 所以共有种不同的涂色方案， 所以，，所以． 【典型例题5】用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．72种 B．36种 C．12种 D．60种 【答案】A 【解析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算. 如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C与A同色1 2 C与A不同色1 1 总计 故选：A． 【变式训练17-1】有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．24种 【答案】A 【解析】如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果依题意可知，将区域标号如图. 用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有种.故选：A 【变式训练17-2】如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【解析】 由图知：两组颜色可以相同，若涂4种颜色：颜色相同，则4种选一种涂有，余下3种颜色涂3个区域有，共种，同理颜色相同也有24种；若涂3种颜色，则、分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有种，再所选3种中选一种涂5有种，余下2种颜色涂、个区域有，共有种；综上，共有72种. 【变式训练17-3】如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答. 依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类： 若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法， 最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种， 若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法， 涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.故选：C 【变式训练17-4】给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】A 【解析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种．故选：A． 【变式训练17-5】在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种． 所以共有方法数为种．故选：C． 【变式训练17-6】用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【解析】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， 若同色，有4种颜色可选； 若同色，有4种颜色可选； 若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种． 法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法； 当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法， ∴共有种涂色方法.故选：D. 【变式训练17-7】在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ） A．1440 B．720 C．1920 D．960 【答案】C 【解析】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择； 则区域E可选择的花卉有种， 故不同的种植方法种数是.故选：C 【变式训练17-8】如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 【答案】D 【解析】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法， ①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法， 最后E有2种涂色方法； ②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色， 若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法； 若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法. 综上，涂色方法总数为故选：D 【变式训练17-9】用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】分以下几种情况讨论： ①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择，此时共有种； ②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种，然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点，若点与点同色，则点只有一种颜色可选， 若点与点同色，则点有两种颜色可选，此时共有种； ③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种，点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择，此时共有.由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法. 【变式训练17-10】如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对 【答案】C 【解析】E，F，G分别有4，3，2种方法， 当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种， 若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法， 若C与F不同，则此时D有2种方法， 故此时共有：种方法； 当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法， 若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，  若C与F不同，则D有1种方法，   故此时共有：种方法； 当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法， 若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法； 若B不同于F，则B有1种方法， Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法； Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法； 故此时共有：种方法； 综上共有种方法．故选：C． 【变式训练17-11】如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　) A．420 B．210 C．70 D．35 【答案】A 【解析】按照的顺序：当相同时：染色方案为 当不同时：染色方案为 不同的染色方案为：种 【变式训练17-12】（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项ACD均可以对其每一步的方法数进行合理解释，而选项B方法总数错误，不能对其每一步的方法数进行合理解释. 选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有个方法，上面一格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法，故共有个不同方法.正确； 选项B：,方法总数不对.错误； 选项C：表示先对中间两格涂颜色. 从4种颜色取2种，共有个方法，上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个，有个方法.故共有个不同方法.正确； 选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有个不同方法. 综合①②可知方法总数为：个不同方法.正确.故选：ACD 【变式训练17-13】学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法. 【答案】66 【解析】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种， 当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法， 因此不同的涂色方法有种， 当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法， 因此不同的涂色方法有种， 当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种， 所以共有种不不同的涂色方法，故答案为：66 【变式训练17-14】如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域，，，和，，，分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域，，，和，，，分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种. 【答案】     24     216 【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有种，所以共有：种.先涂共有：种，设四种颜色为，假设涂的颜色分别为，则涂色情况如下： ，，，共9种，所以：种.故答案为：24；216. 【变式训练17-15】“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有______种． 【答案】48 【解析】由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有种涂色方法， 第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2种涂色方法， 所以共有种涂色方法，故答案为：48 【变式训练17-16】用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______． 【答案】120 【解析】根据题意，红色至少要涂2个圆，则红色可以涂2个圆或3个圆，共2种情况讨论： （1）红色涂3个圆，则红色只能涂第1，3，5个圆，此时有种涂法， （2）红色涂2个圆， 若红色涂第1，3个圆，有种涂法， 若红色涂第1，4个圆，有种涂法， 若红色涂第1，5个圆，则有种涂法， 若红色涂第2，4个圆，有种涂法， 若红色涂第2，5个圆，有种涂法， 若红色涂第3，5个圆，有种涂法， 此时有种， 所以共有种，故答案为：120 题型18：列举法 【典型例题1】从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（       ）个 A．98 B．56 C．84 D．49 【答案】A 【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况. 当公差为时，数列可以是：，共1种情况. 总的情况是. 又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减， 所以这样的等差数列共有个.故选：A 【典型例题2】三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（       ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 【答案】C 【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故选：C. 【变式训练18-1】三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.答案：C． 【变式训练18-2】设，，，那么满足的所有有序数组的组数为（       ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【解析】①当时，，则，共1组； ②当时，，则，不同时为2，共组； ③当时，，则，为中任一元素，共组； ④当时，，则，不同时为0，共组． 故满足题意的有序数组共有47组．故选：C. 【变式训练18-3】工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________． 【答案】60 【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60. 题型19： 多面手问题 【典型例题1】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 详根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会左边的都不选，有种； 第二类个只会左边的有人入选，有种； 第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A． 【典型例题2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种．综上分析，共可开出种． 【典型例题3】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．30种 C．37种 D．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：①从中选3人划左桨，划右桨的在（）中剩下的人中选取，有种选法，②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在（）中选取，有种选法， ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，则有种不同的选法． 【变式训练19-1】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．56种 B．68种 C．74种 D．92种 【答案】D 【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法． 【变式训练19-2】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（       ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种．故选：B． 【变式训练19-3】在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】按即会钳工又会车工的2人分类：2人都不选的情况有种， 只选1人且当钳工的情况有种，只选1人且当车工的情况有种， 选2人其中1人钳工1人车工的情况有种，选2人都当钳工的情况有种， 选2人都当车工的情况有种，由分类加法原理得选法有种. 【变式训练19-4】某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为 A．36种 B．33种 C．27种 D．21种 【答案】C 【解析】第一类，船两大人一小孩，船一大人一小孩：有种方法. 第二类，船一大人两小孩，船两大人：有种方法.第三类，船一大人两小孩，船一大人，船一大人：有种方法.第四类，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有种方法. 根据分类加法计数原理，共有种不同的方法. 故选C. 【变式训练19-5】6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法． 【答案】12 【解析】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：①既会电工又会木工1人没入选，有种选法；②既会电工又会木工1人入选充当电工，有种选法；③既会电工又会木工1人入选充当木工，有种选法；综上，共有种选法． 【变式训练19-6】在一次演唱会上共名演员，其中人能唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有___________种选派方法（填数字）. 【答案】 【解析】设既会唱歌又会跳舞的演员人数为，则，解得， 所以，只会唱歌的演员人数为，只会跳舞的演员人数为， ①若既会唱歌又会跳舞的演员一个人都没选，则不同的选派方法种数为；②若既会唱歌又会跳舞的演员只选了个人，则这个人要么唱歌，要么伴舞，此时，不同的选派方法种数为； ③若既会唱歌又会跳舞的演员选了个人，则这个人可以同时唱歌、同时伴舞或人唱歌人伴舞， 此时，不同的选派方法种数为； ④若既会唱歌又会跳舞的演员全选，则这个人有人唱歌人伴舞或人伴舞人唱歌，此时，不同的选派方法种数为.综上所述，不同的选派方法种数为. 【变式训练19-7】在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞. （1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？ （2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？ 【答案】见解析 【解析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人， ， 设既能唱歌又会跳舞的有3人。 （1）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞， ①只能唱歌选0人，， ②只能唱歌选1人，， ③只能唱歌选2人，，有228种选派方法. 题型20：分解与合成模型和最短路径问题 【典型例题1】夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（    ）条． A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【解析】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路，由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路，所以由到不经过的最短路径有. 【典型例题2】如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止. 则下列说法正确的是（       ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为 【答案】D 【解析】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有C种，故A错；对于B，第一步，甲从M到，有C种走法，第二步，从到N，有C种走法，所以共有种走法，故B错；对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C错；对于D，因为甲、乙两人只能在处相遇，由C可知D对. 【典型例题3】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 【变式训练20-1】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种， 【变式训练20-2】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【解析】先假设是实线，则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，所以，当不通时，最短路径有条. 【变式训练20-3】蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，且， 可推得，，所以，即，所以可能取到0，1，2，7，8，9， 所以解集为， 【变式训练20-4】一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（    ） A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 【答案】D 【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线． 故选：D 【变式训练20-5】下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ） A．14条 B．12条 C．9条 D．7条 【答案】B 【解析】由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径. 【变式训练20-6】（多选题）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则（    ） A．甲从M到达N处的走法有70种 B．甲从M必须经过到达N处的走法有12种 C．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法 D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法 【答案】AD 【解析】甲由道路网M处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走8步，共有种走法，故A正确；甲由道路网M处出发，随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走4步，有种走法， 从处沿街的最短路径到达N处需走4步，有种走法，所以共有种走法，故B错误； 由B可知，甲从M必须经过到达N处的走法有36种，同理乙从N必须经过到达M处的走法也有36种，则甲、乙两人在处相遇，共有种走法，故C错误； 甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在处相遇，他们在处相遇的走法有种，则，故D正确．故选：AD． 【变式训练20-7】某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？ 【答案】见解析 【解析】将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从到需要走段， 而这些段中，必须有东西方向的段， 其余的为南北方向的段，所以共有种走法. 【变式训练20-8】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】试题分析：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， 共有8种， 故选B． 【变式训练20-9】如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以 的方向行走至B，不同的行走路线有 A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】A 【解析】共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A. 【变式训练20-10】5400的正约数有（       ）个 A．48 B．46 C．36 D．38 【答案】A 【解析】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果， 所以正约数个数为．故选：A． 题型21：构造法模型、递推模型与化归策略 【典型例题1】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，满足条件的关灯方法有______种. 【答案】10 【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻， 则需要用插空法分析：先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位， 在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有种情况，即有10种关灯方法.故答案为：10． 【典型例题2】从1，2，3，…，15中选取三个不同的数组成三元数组，且满足，，则这样的数组共有______个.（用数字作答） 【答案】56 【解析】由，，得，，， 当时，可取中任一数，共有6种取法，则此时共有种取法； 当时，可取中的任一数，共有5种取法，则此时共有种取法； 同理当取时，对应的分别有10，6，3，1种取法. 综上，这样的数组共有（个）. 【典型例题3】从集合中选出4个数组成的子集，使得这4个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集个数是________. 【答案】 【解析】将和等于11放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6． 从每一小组中取一个，共故答案为：80． 【典型例题4】将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（    ） A．33 B．56 C．64 D．78 【答案】B 【解析】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图： 分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则， 其次证明：， 将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为， 行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为， 三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和， 定义当行含色方格时，，否则， 类似的定义， 所以 ， 由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而， 所以所以①， 由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边， 类似地，在列中至少有条分隔边， 则 ② ③， 下面分两种情况讨论： 1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个， 故至少有行含有色的方格，于是④， 由①③④得； 2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，， 从而由②可得； 综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B 【典型例题5】几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，． 倒霉的李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，， 先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后， 若在之间，有种可能： ①若在之间，有种可能，②若在之间，有种可能， ③若在之间，有种可能．若不在之间，则有种可能，此时有种可能， 可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，综上共有． 【变式训练21-1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．4种 B．10种 C．12种 D．22种 【答案】B 【解析】根据题意，设在第次传球后（），有种情况球在丙手中， 即经过次传递后，球又被传回给丙，而前次传球中，每次传球都有种方法， 则前次传球的不同的传球方法共有种，那么在第次传球后，球不在丙手中的情况有种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回丙，即； 易得，则，，. 【变式训练21-2】跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面说法正确的是（    ） A．进入第二个格子走法有2种 B．进入第二个格子走法有1种 C．进入第三个格子走法有2种 D．进入第八个格子走法有21种 【答案】BCD 【解析】设跳到第格的方法有，则达到第格的方法有两类， 第一种方法是从第个格子向右跳一格到达第格，方法数为，第二种方法是从第向右跳两格到达第格，方法数是，则，结合条件及数列的递推关系可得到数列的前8项分别是,A错误，BCD正确. 【变式训练21-3】几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（    ） A．23 B．24 C．32 D．33 【答案】D 【解析】不妨设代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置， 根据甲依次撞击到树枝；乙依次撞击到树枝；丙依次撞击到树枝；丁依次撞击到树枝；戊依次撞击到树枝可得， 在前四个位置，，，且一定排在后四个位置， （1）若排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法； （2）若不排在前四个位置中的一个位置，则按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法， 由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有种.故选：D. 【变式训练21-4】九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（    ） A．30 B．90 C．170 D．341 【答案】C 【解析】由题，，所以. 【变式训练21-5】马路上有编号为1，2，，2011的2011只路灯.为节约用电，要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯.则满足条件的关灯方法共有______.（用组合数符合表示）. 【答案】 【解析】问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯.所以，共有种关灯方法. 【变式训练21-6】16名社区志愿者组成4行4列的方阵，现从中选出2人，要求他们既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为______________. 【答案】72 【解析】从16人中选出2人，共有种选法，若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有种选法. 【变式训练21-7】个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法. 【答案】 【解析】从第行中选取一个代表，选法有种，从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种， 从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，由分步乘法计数原理可知，不同的选法数有：， 【变式训练21-8】某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）． 【答案】4200 【解析】先按顺序依次选三人共有，再去掉顺序数： 【变式训练21-9】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 【答案】 【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）． 解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，， ， ，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值） 故答案为：. 【变式训练21-10】蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，且，可推得，， 所以，即，所以可能取到0，1，2，7，8，9，所以解集为， 【变式训练21-11】将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________． 【答案】 【解析】任取一个分点记为P，然后将其余个分点这样标志， 自P点后，逆时针方向的连续n个点依次记为，顺时针方向的连续n个点依次记为． 先考虑以P为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集， 而另一个属于点集．且这种，含有圆心当且仅当． 现计算符合条件的三角形个数：当时，j可取值，共计k个值．因此这种含有圆心的个数为 ， 当点P取遍个位置，共得个三角形， 由于每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍， 因此符合条件的三角形个数为． 故答案为：. 【变式训练21-12】如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为． （1）求，，的值； （2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集． 【答案】见解析 【解析】（1）由题意可得，，且. ，； （2）由可推得， 不等式即为， ，，，，. 解不等式 ，可得的可能取值有、、、、、. 所以，不等式的解集为. 因为 【变式训练21-13】贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种. 【答案】     【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法; 设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种. 则2，即 因为 【变式训练21-14】一只蚂蚁从一个正四面体的顶点出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点的爬行方法种数是__________． 【答案】 【解析】解法一：第一次爬行可以到的任何一点，第二次爬行分到与不到，对于第二次不到的第三次爬行再分到与不到．爬行方法总数为（种）． 解法二：设从点出发爬行次仍在点的爬行方法种数为，则，，， ， ，．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值）故答案为：. 题型22：定序重排问题求幂策略 【典型例题1】满足，且的有序数组共有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为． 故选：A． 【典型例题2】已知，则满足的有序数组共有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】所有有序数组 中,满足的 有序数组 中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为 【典型例题3】在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ） A．100 B．120 C．300 D．600 【答案】A 【解析】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种， 如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有. 【变式训练22-1】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （    ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 【答案】A 【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故一共有种， 【变式训练22-2】元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（    ）． A．32种 B．70种 C．90种 D．280种 【答案】B 【解析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯， 即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有种． 【变式训练22-3】讲桌上放有两摞书，每摞本，现要把本不同的书发给位学生，每位一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则有不同取法的种数是______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】根据题意，问题等价于从一行六个空里选三个空把、、按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将、、从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种. 故答案为：. 【变式训练22-4】某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种 故答案为：. 【变式训练22-5】现有学号分别为号、号、号、、号的位同学依次站成一排，老师请他们从号同学开始依次从如图所示的装有标号为至号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能的不同站法有____________种（用数字作答）． 【答案】 【解析】相当于先将位同学看成个排成一列的盒子，先从这个不同的盒子中选出个，并从左往右依次放入、、号球，再从剩余的个盒子中选出个，并从左往右依次放入、、号球， 最后将、、号球，从左往右依次放入剩余的个盒子，共有种不同的站法． 题型23: 数字问题 【典型例题1】用数字、、组成五位数，且数字、、至少都出现一次，这样的五位数共有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先考虑全部的情况，即每个数位均有种选择，共有个， 其中包含数字全部相同只有种情况，还有只含有个数字的共有个， 因此，满足条件的五位数的个数为个. 【典型例题2】罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（    ） A．87 B．95 C．100 D．103 【答案】D 【解析】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）. 2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有 个. 3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有 个. 1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有 个. 2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有 个. 综上可知，可组成的三位数共有 个.故选：D. 【典型例题3】我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】因为所有数的和为，所以每行每列以及对角线的和都是15，采用列举法：492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672.共8种方法， 【典型例题4】用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成个不重复的四位数 B．可组成个不重复的四位偶数 C．可组成个能被整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为 【答案】BC 【解析】A选项，有个，错，B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，∴共有种，对，C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来， 即先选：，、、、，它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错。 【典型例题5】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【答案】 【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，根据分类计数原理得到共有个． 【变式训练23-1】数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（       ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】确定数字和为9的四个数组有：、、共三组，分别排列成无重复数字的四位数可得结论． 卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.故选：C． 【变式训练23-2】从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】C 【解析】由分步乘法计数原理结合排列直接求解即可. 根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能， 从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为．故选：C． 【变式训练23-3】将3个1和4个0随机排成一行，则3个1任意两个1都不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出总数为种，再利用插空法，得到符合题意的情况数目为种，则可得到概率. 先考虑总情况，7个位置选3个放1，有种，再考虑任意两个1都不相邻的情况，将3个1插入4个0形成的5个空中，有种，则概率为，故选：C. 【变式训练23-4】若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（    ） A．1224 B．1800 C．1560 D．840 【答案】B 【解析】首先为奇数，则为偶数，进而根据的奇偶分布情况求排列方法数，再为偶数，则为三个奇数，求排列方法数，进而加总. 当为奇数时，为偶数： 1、一偶两奇，此时不同排列方法为种； 2、两偶一奇，此时不同排列方法为种； 3、三个偶数，此时不同排列方法为种； 当为偶数时，为奇数，此时三个奇数，不同排列方法为种； 综上，不同排列方法有1800种.故选：B 【变式训练23-5】定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先判断出由组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有 个，即可求出波动数的概率. 由组成的没有重复数字的五位数一共有种. 而构成波动数，需满足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个. 所以波动数的概率为.故选：B. 【变式训练23-6】由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（    ） A．120 B．168 C．204 D．216 【答案】C 【解析】先不考虑0的情况， 则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168. 再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形. 所以共故选：C 【变式训练23-7】已知a1，a2，a3∈{2，4，6}，记N（a1，a2，a3）为a1，a2，a3中不同数字的个数，如∶N（2，2，2）=1，N（2，4，2）=2，N（2，4，6）=3，则所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】由题意，N（a1，a2，a3）共有种排列 若N（a1，a2，a3）=1，即共3种； 若N（a1，a2，a3）=2，有种； 若N（a1，a2，a3）=3，有种； 故所有的（a1，a2，a3）的排列的N（a1，a2，a3）平均值为故选：A 【变式训练23-8】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 【答案】504 【解析】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种， 当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种，所以由分类加法原理可得共有种， 【变式训练23-9】用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数． (1)能被25整除的数； (2)十位数字比个位数字大的数． 【答案】见解析 【解析】（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）． （2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）． 【变式训练23-10】（1）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个三位数？ （3）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （4）用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （5）用1、1、1、2、3、4这六个数字各一次，可以组成多少个六位数？ 【答案】见解析 【解析】（1）先排百位数，有5种选择，再排十位，有5种选择，最后排个位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成100个无重复数字的三位数； （2）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个三位数； （3）先排百位数，有5种选择，再排十位，有6种选择，最后排个位，有6种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数； （4）先排个位数，有3种选择，再排百位，有4种选择，最后排十位，有4种选择，故由分步乘法原理得共有种不同的方案，所以，可以组成个数字允许重复的三位数； （5）根据题意，只需从六个位置中选取三个位置排序2,3,4，剩下的三个位置自然都为1，故有种，所以，可以组成个六位数. 题型24：几何问题 【典型例题1】一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（　　） A．至多能剪成19块“L”形骨牌 B．至多能剪成20块“L”形骨牌 C．最多能剪成21块“L”形骨牌 D．前三个答案都不对 【答案】C 【解析】考虑2×3的6块方格，如图： 每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌 一共可以剪成10块这样的骨牌，和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共21块“L”形骨牌. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以一定能够剪成21块“L”形骨牌. 如图所示 故选：C 【典型例题2】已知分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（    ）个. A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】由结构图知：每个顶点同时在3个面内， 所以五边形面数为个，故选B. 【变式训练24-1】如图为一个直角三角形工业部件的示意图，现在AB边内侧钻5个孔，在BC边内侧钻4个孔，AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔可连成20条线段，在这些线段的交点处各钻一个孔，则这个部件上最多可以钻的孔数为（    ）． A．190 B．199 C．69 D．60 【答案】C 【解析】在AB边内侧的5个孔和BC边内侧的4个孔中各取两个可构成四边形， 当这些四边形对角线的交点不重合时，钻孔最多， 所以最多可以钻的孔数为个．故选：C 【变式训练24-2】宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（    ）个矩形 A．3025 B．2025 C．1225 D．2525 【答案】A 【解析】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边， 根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，故选：A. 【变式训练24-3】从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种， 所以可得到的四面体的个数为种，故选：A 【变式训练24-4】如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况， 因此，符合条件的三角形的个数为.故选：B. 【变式训练24-5】若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，否则，正方体绕着直线旋转不到一周后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示； 当过正方体的对角线两顶点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时的直线共有条； 当过正方体两相对棱中点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条； 当过正方体对面中心时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条； 综上，符合条件的直线有条. 故选：D. 【变式训练24-6】以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（       ） A．70 B．64 C．60 D．58 【答案】D 【解析】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面， 1、8个顶点任选4个，有种，2、8个顶点任选4个，共面的有12种， ∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个.故选：D 【变式训练24-7】正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（       ） A．36 B．21 C．12 D．6 【答案】B 【解析】考虑与平面平行的平面，平面，平面， 共有，故选：B. 1.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率． 提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析： ，对于区域，有5种颜色可选； ，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选； ，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选， 则区域有种选择， 则不同的涂色方案有种， 其中，区域涂色不相同的情况有： ，对于区域，有5种颜色可选； ，区域，有4种颜色可选； 对于区域，有3种颜色可选； ，若与颜色相同，区域有2种颜色可选； 若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选； 所以区域有种选择； 不同的涂色方案有种， 区域涂色不相同的概率为 ,故选D． 2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是 A．540 B．480 C．420 D．360 【答案】C 【解析】分两步，由题设四棱锥的顶点 所染颜色互不相同，则共有 ，当染好时，不妨设所染颜色依次为 ，若 染 ，则 可染 或 或，共三种，若 染 ，则 可染 或，共种，若 染 ，则 可染 或，共种，即当染好时， 还有 种染法，所以共有 ，故选C. 3.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】基本事件总数，其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，由此能求出高一年级3人不相邻的概率． 解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人， 采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数， 其中高一3人不相邻包含的基本事件个数， 高一年级3人不相邻的概率．故选：D． 4.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可. 首先先从后排6人中选2人出来，共种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4 人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有种不同排法，其余 位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是.故选：C 5.某校王老师带着2名女生和3名男生去参加数学建模比赛，比赛结束要进行拍照留念，若王老师不站在两端，2名女生相邻，则不同的站法共有（    ） A．120种 B．144种 C．158种 D．186种 【答案】B 【解析】法一：第一步：先把2名女生捆绑在一起有种情况， 第二步：把2名女生当成一个元素和3名男生进行排列有种站法， 第三步：利用插空法安排王老师，四个元素排好有五个空，且王老师不能站在两端， 所以王老师只能站在中间的三个空中，所以王老师有种站法， 由分步乘法计数原理可得不同的站法共有（种）． 故选：B． 法二：把2名女生捆绑在一起，与其他4个人排列，有（种）情况， 王老师站在两端的情况有（种）， 所以王老师不站在两端，2名女生相邻的不同站法有（种）．故选：B． 6.为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．14种 B．20种 C．10种 D．7种 【答案】A 【解析】第一步：将四名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有种分法； 第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，则不同的安排方法有（种）.故选：A． 7.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个； 综上所述：共有个.故选：B. 8.某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子（一男孩和一女孩）观看电影《八角笼中》，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为（    ） A B C D E F G H I J A．480 B．960 C．1040 D．1120 【答案】C 【解析】第一步：先让妈妈和女儿就座，第一行选一个位置，则第二行有4个位置可选择，故妈妈和女儿的就座方法数为； 第二步：让爸爸和儿子就座，不妨设妈妈和女儿分别选A，H， 则爸爸和儿子有BF，BI，BJ，CF，CG，CI，CJ，DF，DG，DJ，EF，EG，EI， 共13种选择，爸爸和儿子的顺序可换，故爸爸和儿子的就座方法数为； 根据分步乘法计数原理，共有（种）.故选：C． 9.设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．60 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【解析】由题意知集合中满足的元素的个数， 即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3， 故满足条件的元素的个数为（个），故选：D 10.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数， 即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数， 依题意可得甲组的中位数为或， 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组， 再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组， 再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个， 从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去， 同理可得，甲组的中位数不能大于； 若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个， 从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去， 同理可得，甲组的中位数不能小于； 综上可得不同的分组方法数是种.故选：B 11.年高考考场的规格为每场名考生，分为排列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为卷和卷，座位号为奇数的考生使用卷，座位号为偶数的考生使用卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（    ） 第五列 第四列 第三列 第二列 第一列 25 24 13 12 01 第一排 26 23 14 11 02 第二排 27 22 15 10 03 第三排 28 21 16 09 04 第四排 29 20 17 08 05 第五排 30 19 18 07 06 第六排 A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解析】先考虑甲、乙、丙三人使用卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论： （1）若这三人都在奇数列，则有一人需在第一列选一个奇数号的座位，有种情况， 然后有一人在第三列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能同在一排，只有种情况， 最后一人只能在第五列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一个， 此时，不同的排法有种； （2）三人中只有两人在奇数列，首先在第一、三、五列中选两列，有种选择， 其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有种选择， 此时，共有种不同的排法； （3）三人中只有一人在奇数列，第一个人在第一、三、五列中随便选择一个奇数号的位置，有种选择， 其次，第二个人在第二列中选择一个奇数号的位置，有种选择，例如第二个人选择号座位， 由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有种选择，即号和号两个位置可供选择， 此时，不同的排法种数为种不同的排法. 综上所述，当三个人都考卷时，不同的排法种数为. 由对称性可知，当三人都考卷时，不同的排法种数也为种. 综上，当三人的考卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为种.故选：A. 12.甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．342 B．390 C．402 D．462 【答案】B 【解析】去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览， 则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为； ②1，2，3型，则不同种数为； ③2，2，2型，则不同种数为． 所以共有种.故选：B 13.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人$