第02讲 排列与排列数讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦排列与排列数核心考点，涵盖概念辨析、公式应用及有限制排列（特殊元素、相邻、不相邻、定序等），按“基础概念-方法策略-综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破排列问题难点。 讲义突出“问题驱动-策略建模-分层提升”特色，如针对相邻问题采用捆绑法建模，引导学生用数学思维抽象问题本质，通过题型归纳（10类题型）和巩固提升分层练习，培养逻辑推理与创新意识。精准对接高考考情，为教师提供清晰复习路径，帮助学生在有限时间内高效掌握排列问题解题规律，提升应考能力。

第02讲 排列与排列数 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：排列的概念及判断 6 题型02: 简单的排列问题 9 题型03：排列数 11 （一）排列数的化简计算 11 （二）排列数的排列数方程 15 （三）排列数的不等式 17 （四）排列数证明题 20 题型04：全排列或无限制的排列 24 题型05：特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略） 25 题型06：相邻问题的排列——捆绑法 33 题型07：不相邻问题的排列——插空法 35 题型08：定序问题 43 题型09：其他排列问题 49 题型10：排列的综合应用 51 巩固提升 57 排列与排列数是高考高频基础+综合应用考点，多以5分小题（选择/填空）出现，偶在解答题与概率、统计等结合，重点考有限制条件的排列与公式应用，难度中低档为主，新高考卷略灵活。 一、考情定位（高考分析） 1. 题型与分值：全国卷、新高考卷中，排列与排列数多为5分小题；解答题多与概率综合，占6-12分，整体稳定。 2. 高频考点：①排列数公式（连乘/阶乘）与性质；②有限制排列（特殊元素/位置优先、相邻“捆绑”、不相邻“插空”、定序/分组等）；③与组合、概率、二项式定理等综合。 3. 难度与趋势：小题中低档，重基础与方法；新高考卷更强调实际情境转化与逻辑推理，综合化、应用化明显，核心考点不变。 4. 典型考法：2023新高考I卷第13题（排列数计算）；2024新高考II卷、全国甲卷涉及限制条件排列；全国乙卷多与组合结合考基础应用。 1. 概念理解：明确排列的有序性，区分排列与组合；掌握排列数定义与符号 2. 公式与性质：熟练掌握=n!牢记．①；②；③．性质。 3. 方法掌握：熟练运用特殊优先法、捆绑法、插空法、间接法、定序倍缩法解决限制排列问题。 4. 综合应用：能将实际问题转化为排列模型，与概率、统计等知识综合解题，提升运算与逻辑推理素养。 知识点一：排列定义 1.排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 注意:(1)排列定义的两个要素：一是“取出元素”， 二是“将元素按一定顺序排列” (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。 2.排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 排列数公式：，，并且． 特别的：（且）；规定： 3.全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．=n! 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．=1. 4.排列数的性质： ①；②；③． 知识点二：解排列应用题的基本思路 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点三：与排列数有关的计算 (1)拆项技巧：n·n!=(n+1)!-n!； = - . (2)化简技巧： =n ， +m = . 知识点四：解与排列数有关的方程或不等式的步骤 (1)转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式； (2)求解：解转化后的普通方程或不等式； (3)检验：将所求结果代入原方程或原不等式中检验. 知识点五:有限制条件排列问题常见类型 1. “在”与“不在”问题 　　解决此类问题，常用的方法是特殊位置(对象)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(对象)，即需先满足特殊位置(对象)的要求，再处理其他位置(对象). 如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题. 2、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 3、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”。 4. “定序”问题 在排列问题中，某些对象已排定了顺序，对这些对象进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个对象的全排列中有m(m≤n)个对象的顺序固定，则满足题意的排法有种. 5.正面考虑比较复杂的问题,“间接法”，反面入手 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 1. 基础题型（公式应用）：先判断“有序”，再代入公式计算；避免阶乘计算错误。 2. 有限制排列（核心）： ◦ 特殊元素/位置：先排特殊，再排其余（例：甲必须在首位，先定甲，再排剩余）。 ◦ 相邻：捆绑为整体，先排整体再内部排列（捆绑+内部排列）。 ◦ 不相邻：先排无限制元素，再在空隙中插入不相邻元素（插空法）。 ◦ 定序/分组：定序问题用“总排列数÷定序元素全排列数”，分组先分堆再排列。 ◦ 间接法：正面复杂时，用“总排列数-不符合条件排列数”求解。 3. 综合问题：先拆解为排列/组合模块，分步用乘法原理，分类用加法原理；结合概率时，先算基本事件总数与目标事件数，再求概率。 4. 易错提醒：区分“有序/无序”（排列vs组合）；注意“重复计数”（捆绑/插空时避免多算）；核对n,m范围与公式适用条件。 题型01：排列的概念及判断 【典型例题1】给出下列问题： ①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？ ③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题; 对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题; 对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题; 故答案为：② 【典型例题2】下面问题中，是排列问题的是（ ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【解析】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合， 与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A. 【变式训练1-1】给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话， 也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题； 对于②，假设10位同学中含甲乙， 甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的， 是有顺序区别的，故属于排列问题； 对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手， 没有顺序区别，故不是排列问题，故答案为：② 【变式训练1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】排列问题是与顺序有关的问题，据此对四个选项进行判断即可解决. 选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.故选：B． 【变式训练1-3】下列问题是排列问题吗？ （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）某班40名学生在假期相互写信； （3）会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （4）平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【答案】（1）不是排列问题.；（2）是排列问题. （3）选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题. （4）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题 【解析】（1）来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题. （3）任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人， 与顺序有关，故是排列问题. （4）直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关， 故确定射线是排列问题. 【变式训练1-4】判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是 【解析】根据排列定义分别判断即可. (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题． 【变式训练1-5】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 【答案】 正确 错误 正确 错误 【解析】根据排列的定义一一判断各小题，即得答案. （1）判断是否为排列问题就是看是否与顺序有关，正确. （2）根据排列的定义可知，在排列问题中总体内元素不能重复，故错误. （3）根据排列的定义可以判断123与321中数字顺序不同，是不同的排列，正确. （4）在圆上任取两点作弦与顺序无关，所以不是排列问题，故错误， 故答案为：正确；错误；正确；错误； 题型02:简单的排列问题 【典型例题】1．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据排列数的定义即可求解.根据排列数的定义， 可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是.故选：B 【变式训练2-1】8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列的含义，8名同学排成2排，每排4人，等价于8名同学排成一排，即可得答案. 因为8名同学排成2排，每排4人，等价于8名同学排成一排，故共有种排法，故选：D 【变式训练2-2】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【答案】见解析 【解析】根据排列的定义求解即可.任意取出两个元素的所有排列为： . 【变式训练2-3】多选题甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.故选：ABD 题型03：排列数 （一）排列数的化简计算 【典型例题1】（，）可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案. ， ， ， ，D正确.故选：D 【典型例题2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式训练3-1-1】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据排列数公式即可得答案.根据排列数公式可得，故选：C 【变式训练3-1-2】（    ） A．6 B．24 C．360 D．720 【答案】A 【解析】由排列数公式计算可得答案..故选：A. 【变式训练3-1-3】（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】利用排列数公式逐项计算、验证并判断作答. 对于A，，A正确； 对于B，，而，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， D正确. 故选：ACD 【变式训练3-1-4】阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据阶乘的定义可得，A正确； ，B正确； ，C正确； ，故D错误，故选:D 【变式训练3-1-5】_________． 【答案】0 【解析】根据排列数的定义计算．.故答案为：0. 【变式训练3-1-6】计算：______． 【答案】 【解析】由阶乘及排列数定义可得答案. ， 则.故答案为：. 【变式训练3-1-7】计算． 【答案】156 【解析】根据排列数计算公式求解. . 【变式训练3-1-8】计算： (1)；(2)． 【答案】(1)348；(2)64. 【解析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答. （1）. （2）. 【变式训练3-1-9】设n是一个不小于17的正整数，用排列数表示． 【答案】 【解析】根据排列数展开的连乘式即可求解.由题意得：且， 则． 【变式训练3-1-10】若，则的个位数字是（ ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【解析】当时，，此时的个位数字为0， ∴的个位数字为0， 又∵，∴的个位数字为3．故选：A． 【变式训练3-1-11】（多选）下列等式正确的是（ ） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确．故选：ACD． （二）排列数的排列数方程 【典型例题1】已知m，n，p均为正整数，则满足的一组解为 【答案】或 (写一个即可) 【解析】根据阶乘的性质，用列举法进行求解即可. 因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0，尾数为5， 所以，而， 所以可得或．故答案为： 【典型例题2】已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 【答案】A 【解析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案. 由题意得， 化简可得，解得或6， 因为，所以且，故.故选：A. 【变式训练3-2-1】已知，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】直接根据排列数的性质化简求解即可.因为， 则，整理可得，解得，经检验，满足题意． 故选：C. 【变式训练3-2-2】已知，则 . 【答案】 【解析】根据排列数公式得到方程，解得即可. 因为，所以，且， 解得或（舍去）.故答案为： 【变式训练3-2-3】解关于正整数n的方程：． 【答案】 【解析】根据排列数的计算公式即可求解. 由排列数的定义，有由此解得． 此外，原方程可化为， 再化简，可得， 即，即．舍去非整数的根，故． 【变式训练3-2-4】已知，求x的值． 【答案】. 【解析】根据给定条件，利用排列数公式直接计算作答. ，化为：， 即，解得， 所以x的值为. （三）排列数的不等式 【典型例题1】19．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数公式计算即可.由， 得，解得， 所以不等式的解集是.故选：D. 【典型例题2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 因为，所以， 所以，所以，又，， 所以，所以不等式的解集为，故选：D. 【变式训练3-3-1】满足不等式的的值可能为（    ） A．12 B．11 C．8 D．10 【答案】ABD 【解析】根据排列数公式得到不等式，解得的取值范围，即可判断. 由排列数公式得， 依题意可得，解得或（舍去）， 又，所以可以取，，．故选：ABD． 【变式训练3-3-2】（1）解不等式：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意得，化简得， 即，所以．因为，且，所以不等式的解集为． （2）易知所以，， 由，得，化简得， 解得，（舍去），（舍去）．所以原方程的解为． 【变式训练3-3-3】 （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得. （2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得 （1）由，得，， 于是，整理得，解得，所以. （2）原方程变形为，即，显然， 因此， 化简整理，得，而，解得，所以. （四）排列数证明题 【典型例题1】求证：（、为大于1的自然数）． 【答案】证明见解析 【解析】由排列数的计算公式证明即可 【典型例题2】（1）求证：； （2）求证：； （3）求和：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】按照阶乘的定义即可求解. （1）证明：． （2）证明：． （3）由（2）知， 所以； 综上，. 【变式训练3-4-1】求解下列问题： (1)计算：   (2)解方程： 【答案】(1)1；(2)7 【解析】根据已知条件，结合排列数公式，即可依次求解． （1）原式； （2）∵ ， ∴，化简整理可得，，解得 或（舍去），故； 综上，计算结果为（1）1，（2）7. 【变式训练3-4-2】求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据排列数公式证明即可. 由排列数公式可知， . 【变式训练3-4-3】证明： ． 【答案】证明见解析 【解析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 【变式训练3-4-4】求证： 【答案】证明见解析 【解析】利用排列数公式将展开，即可证结论. ， ， ， 综上，. 【变式训练3-4-5】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解，；(2). 【解析】由可得，先证出 式子成立，进而求出前项的和即可； 根据证出式子成立，求出前项的和即可； （1）解：证明：由可得， 则. 所以 （2）解：因为， 所以. 【变式训练3-4-6】证明，并用它来化简． 【答案】证明见详解； 【解析】利用排列数的计算公式即可证明. 证明，即证. 题型04：全排列或无限制的排列 【典型例题1】若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【解析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法，其中正确的有种，所以错误的有种.故选：B 【典型例题2】将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有 种不同的分配方案． 【答案】576 【解析】先分配4位司机，再分配4位售票员，相乘后得到答案. 这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有种． 故答案为：576 【变式训练4-1】．将不同的8封信随意放入8个写好地址的信封，共有多少种不同的放法？ 【答案】40320. 【解析】根据给定条件，利用全排列列式计算作答. 显然一个信封中放入1封信，因此8封不同的信随意放入8个写好地址的信封， 相当于8个不同元素放在8个位置上，每个位置放1个，即8个元素的全排列， 所以所求不同的放法种数是（种）. 【变式训练4-2】5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）根据全排列的定义即可求解； （2）先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可； （3）根据特殊元素优先考虑甲的安排，再利用排列数计算其余四人，结合分步乘法原理即可求解. （1）5名队员排成一排，作全排列，共有种排法， 所以5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排，共有不同的排法. （2）因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种不同的排法. （3）因为甲不能站排头，也不能站排尾，所以甲在中间位置，有种排法， 又其余4人进行全排列，有种排法， 则甲不能站排头，也不能站排尾，共有种排法， 故甲不能站排头，也不能站排尾，有种不同的排法. 题型05： 特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略） 【典型例题1】2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法， 所以共有 种排法；故选：B. 【典型例题2】如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个． A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【解析】自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1， 我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻， 十位数为0时，有100，或101，共2个； 十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个； 十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个； 十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个； 十位数为9时，有，899，898，998，999共4个． 综上共有：个．故选：． 【典型例题3】现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，每个岗位安排一个人，每个人只安排在一个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ） A．56种 B．64种 C．72种 D．96种 【答案】D 【解析】根据A是否入选进行分类求解即可. 由题意可知：根据A是否入选进行分类： 若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种， 再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法； 若A不入选：则4个人4个岗位全排有种方法， 所以共有种． 故选：D 【典型例题4】甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】C 【解析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C. 【典型例题5】某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、体育、生物共六门课，若数学不排第一节，则排法总数为（   ） A．720 B．600 C．120 D．240 【答案】B 【解析】根据特殊元素优限法排列即可. 若数学不排第一节，则数学课的排法有种，其他五门课没有要求全排列的排法有种， 所以排法总数为（种）.故选：B. 【变式训练5-1】用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ） A．24个 B．30个 C．36个 D．42个 【答案】B 【解析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答. 计算偶数个数有两类办法： 个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果， 个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位， 再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果， 由分类加法计数原理得，偶数共有种结果.故选：B 【变式训练5-2】某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【答案】D 【解析】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案， 丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案， 所以共有种方案.故选：D 【变式训练5-3】源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】B 【解析】先排两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2,3,4道程序选两个放，共有种放法； 再排剩余的3道程序，共有种放法； 则共有种放法.故选：B. 【变式训练5-4】用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（ ） A．2301 B．2304 C．2305 D．2310 【答案】A 【解析】依次计算首位为1、前两位为20、前两位为21的有多少个数，然后可得答案. 首位为1的有个，前两位为20的有个，前两位为21的有个， 所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301.故选：A. 【变式训练5-5】贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（    ）种表演顺序. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先确定贵州两名球员的顺序，再确定其余6人的表演顺序即可. 由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为，在确定其余6人顺序为，由分步乘法原理可得一共有种顺序.故选：C. 【变式训练5-6】“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（    ）种不同的出场顺序. A．72 B．78 C．96 D．120 【答案】B 【解析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可. 当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种； 当甲不在第一、三出场时，共有种； 故共有种不同的出场顺序.故选：B 【变式训练5-7】将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答） 【答案】36 【解析】根据特殊元素优先分类讨论即可. 先排B，由题意可知B能排在第3或第4或第5位的位置， 若B在第3位，则A在第2位；若B在第4位，则A在第2或第3位； 若B在第5位，则A在第2、3、4位，合计6种情况. 再排C、D、E，排完A、B后剩余3个位置，即有种， 所以共有种排法.故答案为：36 【变式训练5-8】某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排ABCD四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为_____ 【答案】18 【解析】由题意可知，第一个演讲的小组在BCD三个小组中选取，则共有3种可能， 剩余三个小组演讲次序共有种可能， 从而A组不是第一个演讲的方法数为 【变式训练5-9】用、、、、、这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位数？ （2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？ （3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由题意知，因为数字中有，不能放在首位， 先安排首位的数字，从五个非数字中选一个，共有种结果， 余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果， 由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位数； （2）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种， 剩下百位和十位任意排，方法数有种， 由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位奇数； （3）分以下三种情况讨论： ①首位是、、、中的一个，则其它数位可以任意排列，共有个； ②首位是，百位数字为或，剩余两个数位可以任意排列，共有个； ③首位是，百位数字为，则十位上的数字为或，个位数字可以任意排列， 共有个. 综上所述，由分类加法计数原理可知， 能组成个无重复数字且比大的四位数. 【变式训练5-10】（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？ （3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？ （4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）. 【解析】（1）利用捆绑法即可求得两个女生相邻的排法种数； （2）利用隔板法即可求得名额的分法种数； （3）利用插空法即可求得不同的排法种数； （4）按外科女医生来或不来分类讨论，再依据分步计数原理即可求得所有不同的派法种数. （1）两个女生相邻捆绑处理，有种； （2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板， 所以不同的放法种数为； （3）第1步，先排4个朗诵节目共种； 第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头， 从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法； （4）先分类： ①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1； 另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种； ②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2； 另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种； 由于分赴甲乙两地，所以共有种． 【变式训练5-11】某传统文化学习小组有7名同学，其中男生4名，女生3名．现要从中选出4名同学参加学校举行的汇报展示活动． (1)如果要求选出的4名同学中，男生、女生各有2名，那么有多少种不同的选法？ (2)如果要求选出的4名同学分别参加国学、书法、绘画、茶艺4种不同的项目，且参加茶艺的同学必须是女生，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)18种；(2)360种 【解析】（1）先从4名男生中任选2人，再从3名女生中任选2名女生，由分步乘法计数原理求满足条件的选法数； （2）从3名女生中选取1名女生参加茶艺项目，再从余下的6名同学中选取3名同学分别参加国学、书法、绘画3种项目，由分步乘法计数原理可求满足条件的选法数； （1）从4名男生中选取2名男生的选法有种， 从3名女生中选取2名女生的选法有种， 由分步乘法计数原理可得所求的不同选法有种． （2）从3名女生中选取1名女生参加茶艺项目，有种选法， 从余下的6名同学中选取3名同学分别参加国学、书法、绘画3种项目，有种选法， 由分步乘法计数原理可得所求的不同选法有种． 【变式训练5-12】．用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 【答案】可以组成个无重复数字的五位数；能被5整除的五位数有个. 【解析】根据排列数的计算公式以及题目的要求求得正确答案. 用可以组成个无重复数字的五位数. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 所以其中能被5整除的五位数有个. 题型06：相邻问题的排列——捆绑法 【典型例题1】由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【解析】由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2,一个3, 将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排有种.故选:B 【典型例题2】在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列， 因此方法数为．故选：A． 【变式训练6-1】2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ） A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种 【答案】B 【解析】依题意周明与李亮坐中间两个位置，则有种坐法， 此时周明家其余人有种坐法，同理李亮家其余人有种坐法， 所以他们不同的坐法有种.故选：B 【变式训练6-2】某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为， 其中三个歌唱节目都相邻的排法数为， 故满足条件的排法数为， 所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84，故选：C. 【变式训练6-3】六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．120种 D．144种 【答案】D 【解析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种， 再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：D. 【变式训练6-4】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ． 【答案】84 【解析】先考虑所有情况，再减去不满足的情况即可.先考虑五个音阶任意排列，有种情况， 再减去宫、角、羽三音阶都相邻的情况， 把宫、角、羽三音阶看做一个一个整体，则一共变成3个元素，有种情况， 而宫、角、羽三音阶又可以任意排列，有种情况， 所以一共的音序有种，故答案为：84 【变式训练6-5】将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有 种． 【答案】20 【解析】由A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学，分类讨论B在A与C之间，B在A的一侧，A与C之间为D、E中任一人两种情形，分类计数后相加即可. 根据题意，分2种情况讨论： 1、若A与C之间为B，即B在A、C中间且三人相邻， 考虑A、C的顺序，有种情况，将三人看成一个整体， 与D、E2人全排列，有种情况，则此时有种排法， 2、若A与C之间不是B， 先D、E中选取1人，安排A、C之间，有种选法， 此时B在A的另一侧，将4人看成一共整体，考虑之间的顺序，有种情况， 将这个整体与剩余的1人全排列，有种情况，则此时有种排法， 则一共有种符合题意的排法．故答案为：20． 题型07：不相邻问题的排列——插空法 【典型例题1】排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（    ） A．30 B．60 C．120 D．336 【答案】B 【解析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案. 将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素， 剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序. 所以种不同坐法.故选：B 【典型例题2】3男4女排成一排，3男不能相邻有（    ）种排法． A．50 B．25 C．825 D．1440 【答案】D 【解析】根据插空法直接求解即可 首先将4名女生排成一排，共有； 4名女生形成5个空，将3名男生插入5个空中的3个共有； 综上所述共有种情况.故选：D 【典型例题3】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有______种不同的排队方法． 【答案】240 【解析】利用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可.不同的排队方法有种． 故答案为：240 【典型例题4】六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有__________种．（用数字作答） 【答案】72 【解析】设另外两人为戊己，甲丁捆绑后和戊己排序，再将乙丙插空即可. 设另外两人为戊己．可以分步完成， ①甲丁捆绑后排序有 方法， ②捆绑后的甲丁戊己排序，有 种方法， ③将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有 种方法， 根据分步乘法原理，共有种方法．故答案为：72. 【典型例题5】从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答） (1)甲､乙两人必须跑中间两棒； (2)若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒． 【答案】(1)24(2)72 【解析】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共有种，根据分步计数原理即可求解. （2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求解. （1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种， 故有种； （2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种． 【变式训练7-1】班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲，乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间会形成个空位， 插入甲，乙2位同学有种.故选：B. 【变式训练7-2】5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法， 将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位， 让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法， 所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法， 其中甲排在乙的前面的有种方法， 所以甲、乙两人不相邻的概率为，故选:C. 【变式训练7-3】2022年11月30日,神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（ ）种 A．72 B．144 C．36 D．108 【答案】A 【解析】由题知,不妨先将神舟十四号三名航天员全排为:, 再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中, 因为神舟十四号三名航天员互不相邻, 故先将神舟十五号三名航天员中选出两名， 插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:, 最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共, 故不同站法有:种.故选:A 【变式训练7-4】琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为. 从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况， 再从排好的五种乐器的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况， 故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为. 所以所求的概率，故选：B. 【变式训练7-5】5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（ ） A．24 B．36 C．60 D．72 【答案】C 【解析】由题意可知，有的5个座位，如图所示 1 2 3 4 5 先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法， 剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法； ②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法， 剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法. 所以这5名同学坐成一排的不同坐法共有（种）.故选:C. 【变式训练7-6】某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【解析】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列， 又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种， 其中的每一种排法，C、D节目的排列有， 所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C 【变式训练7-7】杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 【答案】C 【解析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人， 所以不同的传递方案共有种. 故选：C 【变式训练7-8】A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ） A．48 B．96 C．144 D．288 【答案】C 【解析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解. 由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列， 然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可， 故共有,故选：C 【变式训练7-9】某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)． 【答案】24 【解析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数. 将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种， 排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种， 综上，共有种排法.故答案为： 【变式训练7-10】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【答案】12 【解析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可. 解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有种情况， 再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有种情况 最后将抽血放在第一位，有1种情况， 所以共有种情况，故答案为：12 【变式训练7-11】电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)720种；(2)1440种；(3)960种． 【解析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果； （2）根据题意，由插空法，即可得到结果； （3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果. （1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有种； （3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种． 【变式训练7-12】3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解； （3）利用插空法即可得解； （4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解. （1）依题意，先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种， 但应剔除其中乙在最右边的排法数种， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法， 再与其他元素进行全排列，有种排法， 故共有种. （3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种. （4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种， 将甲、乙看作一个整体，和其余2人排成一排的排法有种， 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可， 共有种. 【变式训练7-13】现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率； （2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？ 【答案】（1）；（2）720种 【解析】（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件， 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为， 所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为． （2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种，甲、乙的排列有种． 由分步乘法计数原理，得， 所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法． 题型08： 定序问题 【典型例题1】现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况． 则有种排法， 第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法， 再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，则歌手不相邻有种排法．故选：CD 【典型例题2】某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．72种 B．81种 C．144种 D．192种 【答案】D 【解析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案. 解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为， 由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D. 【典型例题3】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【解析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案. 先假设是实线， 则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， 所以，当不通时，最短路径有条.故选：D 【典型例题4】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________ 【答案】 【解析】结合全排列的概念即可. 由题意，对6盏不同的花灯进行取下， 先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取， 所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故共有取法总数为：.故答案为： 【典型例题5】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）. 【答案】24 【解析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即. 解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题, 则可排成不同的音序的种数为.故答案为：24． 【变式训练8-1】今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为（ ） A．1782 B．1720 C．2520 D．1260 【答案】D 【解析】同色球不加以区分可以理解为定序问题，故将这9个球排成一列的排法总数为种.故选：D 【变式训练8-2】某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）. A．42 B．56 C．30 D．72 【答案】B 【解析】增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种， 而原有的6个节目对应的不同排法共有种，所以不同的排法有（种）.故选：B. 【变式训练8-3】用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个 A．840 B．210 C．640 D．410 【答案】A 【解析】组成没有重复数字的七位数，共有个，的顺序有个， 所以所求的个数有，故选：. 【变式训练8-4】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）. A．60 B．120 C．336 D．504 【答案】C 【解析】将新买的3本书逐一插进去： 第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法； 第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法； 最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法. 由分步乘法计数原理，知不同的插法种数为6×7×8=336.故选：C 【变式训练8-5】某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 【答案】1259 【解析】million有7个字母，进行全排列，因为有两个i，两个l重复，总数要除以，则可能出现的错误再减去1种正确的，因此得解． 英文单词“million”中字母的顺序记错了， 因为有两个i，两个l重复，那么他在书写该单词时， 共有种可能， 而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259种.故答案为：1259 【变式训练8-6】某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答） 【答案】42 【解析】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况， ②当2个教师节目不相邻时有：种情况， 所以共有种情况，故答案为：42. 【变式训练8-7】（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60 【解析】（1）（i）利用隔板法求解即可； （ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可； （2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答； （3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答. （1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种； （ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法； （2）把4名干部按分成两组，有种分组方法， 按分成两组，有种分组方法， 所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）； （3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法， 其中中间一列按从下往上有1种，占， 最右一列按从下往上只有1种，占， 所以不同取法数是（种）. 题型09：其他排列问题 【典型例题1】从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 【答案】54 【解析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案. 若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案， 若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种， 所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种. 故答案为：54. 【典型例题2】回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．56个 B．64个 C．81个 D．90个 【答案】C 【解析】根据回文数的性质，结合排列的定义分类讨论进行求解即可. 根据题意，分2种情况讨论： ①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”； ②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况， 即此时有72个4位“回文数”，则一共有个4位“回文数”，故选：C 【变式训练9-1】某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法. 【答案】 【解析】先涂，再分与同色、与不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得. 如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，    先涂有种涂法，当与同色，再涂有种涂法， 若与同色，则有种涂法，最后涂有种涂法， 若与不同色，则有种涂法，最后涂有种涂法， 则有种涂法； 当与不同色，则涂有种涂法，涂有种涂法，此时与必同色且只有一种涂法，也只有种涂法，则有， 综上可得一共有种涂法.故答案为： 【变式训练9-2】在方程中，设系数a、b是集合中两个不同的元素．求这些方程所表示的不同直线的条数． 【答案】22 【解析】根据排列的方法以及直线方程的概念求解. 取集合中两个不同的元素分别为， 共有如下： 共有30种， 其中均表示同一条直线，只计数一次， 均表示同一条直线，只计数一次， 其余直线均不重复，所以共有条不同的直线. 题型10：排列的综合应用 【典型例题1】有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576；(5)1440；(6)720；(7)2520；(8)3720 【解析】(1)简单的排列问题；(2)个人全排列问题；(3)甲作为特殊元素，先排甲； (4)将所有女生看作一个整体，与三名男生进行全排列，再将四个女生进行全排列； (5)男生互不相邻，则采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生； (6)把甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑选人，最后与最终的两个人排列即可； (7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可； (8)当甲、乙不在两端时，可优先排好甲、乙，然后排其他人. （1）从人中选人排列，有（种）方法. （2）分两步完成，先选人站前排，有种方法，余下人站后排，有种方法，则共有（种）方法. （3）先排甲，有种方法，其余六人有种，则共有（种）方法. （4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法， 则共有（种）方法. （5）（插空法）：先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生， 有种方法，则共有（种）方法. （6）把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法， 再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列， 有种，共有（种）方法. （7）（消序法）：（种）方法. （8）（间接法）：无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端有种， 是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有（种）方法. 【典型例题2】直线的斜率大于零，且互不相同，那么这样的不重合直线的条数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【解析】由题意可得，不妨设，分，，三种情况讨论，注意排除重合的情况，即可得解. 因为直线的斜率大于零，所以且，则，不妨设， 当时，有种选法，有两种选法， 因为直线和直线重合，所以这样的直线有种， 当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合， 所以这样的直线有种， 当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合， 所以这样的直线有种， 综上所述，符合题意的直线有种.故选：A. 【变式训练10-1】如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按，再按），则和的最终状态都未发生改变的概率为______. 【答案】 【解析 】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可. 要使得的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，要使得的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个， 所以要使得和的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，故所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得和的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，是解题的关键. 【变式训练10-2】中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗，其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有______种（用数字作答） 【答案】624 【解析】分三种情况：任务分别排在首位，第二位和第三位，再结合捆绑法与加法计数原理，得解. 分三种情况： （1）任务排在首位，将捆绑在一起，与剩下任务全排列，有种排法； （2）任务排在第二位，先从除的任务中选一个安排在首位，再将捆绑在一起，与剩下任务全排列，有种排法； （3）任务排在第三位，分两类：①在之前，有种；②在之后，有种，共有48＋144=192种； 由分类加法计数原理知，共有240+192+192=624种不同的排法. 故答案为：624. 【变式训练10-3】现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． (1)求甲、乙不相邻且不在两端的概率； (2)如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)；(2)720种 【解析】（1）由插空法结合概率公式求解； （2）由捆绑法结合分步乘法计数原理求解； （1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件， 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为， 所以甲、乙不相邻且不在两端的概率为． （2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种，甲、乙的排列有种． 由分步乘法计数原理，得， 所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不同的排法． 一、单选题 1．已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 【答案】C 【解析】方法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去. 方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队3个小孩“捆绑”与2位母亲排队3个小孩“捆绑”内部排队. 方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为. 方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.故选：C. 2．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【解析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 则不同的排法共有种，故选：． 3．新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 【答案】B 【解析】当错误选项恰有1个时，直接全排列即可；当错误选项恰有2个时，利用插空法求解.最后将两种情况相加即可. 当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有种； 当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有种． 故共有种．故选：B． 4．某商场的展示台上有6件不同的商品，摆放时要求两件商品必须在一起，则摆放的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用捆绑法求解即可.首先捆绑两件商品，共有种情况，视为一个整体与余下的4件商品全排列，共有种情况，综上共有种.故选：A 5．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 【答案】A 【解析】利用分步乘法原理求解即可 从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法， C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法； 由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有2种颜色花卉摆放方法. 故共有种绿化方案.故选：A 6．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【解析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解. 从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数， 百位上的数字有除0外的5种选法， 十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法， 个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法， 所以总共有种不同的三位数，故选：C 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案. 由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序， 当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列， 此时有种次序， 故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种，故选：A． 8．已知某N95口罩厂的一条生产流水线上有编号依次为①至⑥的6个不同质检站，现将甲､乙､丙等6名质检员安排到这6个不同质检站进行产品检测，每个质检站安排1人，丙不在①和⑥质检站，则甲､乙所在质检站的编号相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】借助排列数分别计算丙不在①和⑥质检站安排方法数和丙不在①和⑥质检站，且甲､乙所在质检站的编号相邻安排方法数，再利用古典概型公式即可求解. 丙不在①和⑥质检站可以分两步： 第一步：先安排丙在其他4个不同质检站的其中一个有种安排方法； 第二步：再安排其他5人有种安排方法； 所以丙不在①和⑥质检站有种安排方法； 丙不在①和⑥质检站，且甲､乙所在质检站的编号相邻可以分三步： 第一步：甲乙捆绑有种； 第二步：甲乙捆绑后跟丙外的其他三人全排有种； 第三步：第二步全排后中间有3个空安排丙有种； 所以丙不在①和⑥质检站，且甲､乙所在质检站的编号相邻有种安排方法， 所以甲､乙所在质检站的编号相邻的概率．故选：B 9．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ） A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 【答案】C 【解析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答. 依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法： 最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个， 最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故选：C 10．某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【解析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答. 因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列， 又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种， 其中的每一种排法，C、D节目的排列有， 所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C 11．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案. 每个区域种不同颜色的花，有种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13; 23; 34;26; 48; 56; 67; 78; 89)，所以红色、白色种在相邻区域有种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，故选：D. 12.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A．120种 B．156种 C．192种 D．240种 【答案】C 【解析】丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为．故选：C． 13.若a∈N＋，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 14.在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】①甲在2道的安排方法有：种；②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.故选B. 15.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 【答案】A 【解析】解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得， 甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法， 甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A． 二、多选题 1.满足不等式的的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】BC 【解析】根据排列数公式化简后解一元二次不等式即可. ,, , 原不等式可化为，, 解得,,即或，故选：BC 2.从0，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（    ） A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为100 B．若数字可以重复，则可组成的四位偶数的个数为400 C．若数字不能重复，则可组成比45000大的整数的个数为40 D．若数字不能重复，则可组成数字2，3相邻的五位数的个数为36 【答案】ABD 【解析】由分步乘法计数原理判断AB；分类讨论万位为6、万位为4两种情况，结合排列知识判断C；由捆绑法判断D. 对于A，先安排百位，有4种排法，再安排十位和个位，均有5种排法，所以可组成数字可以重复的三位数的个数为，故A正确. 对于B，先安排千位，有4种排法，再安排个位，有4种排法，最后安排百位和十位，均有5种排法，所以可组成数字可以重复的四位偶数的个数为，故B正确. 对于C，若万位为6，则有个：若万位为4，则千位只能为6，所以有个，所以可组成数字不重复且比45000大的整数的个数为30，故C不正确. 对于D，不考虑0的特殊性，有种排法，其中0在首位的有种排法，所以可组成数字不能重复且数字2，3相邻的五位数的个数为，故D正确.故选：ABD 3.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，所以，故C错误； 对于D，由于，故D正确. 故选：ABD. 4.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABCD 【解析】A. 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确. B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故正确. C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确. D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.故选：ABCD. 三、填空题 1.用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有______个，其中偶数共有______个． 【答案】     96     60 【解析】五个数组成无重复数字的四位数只需满足首位不为0即可，其中偶数分为个位数是0和个位数不是0，即可得出答案. 由题可知，满足条件的四位数共有个， 其中偶数分为个位数是0和个位数不是0， 若这个偶数的个位数是0，则有个； 若这个偶数的个位数不是0，则有个. 故满足条件的四位数中偶数的总个数为； 故答案为：96；60 2.，则______. 【答案】5 【解析】由排列数公式变形求解． 因为， 所以， ，或，又，所以．故答案为：5． 3.2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答） 【答案】120 【解析】从8个车位里选择4个相邻的车位，共有5种方式，将4辆载有救援物资的车辆相邻停放，有种方式，则不同的泊车方案有种.故答案为：120. 4.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是_______个． 【答案】18 【解析】首先从2，4，6，8，10这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法， 又，，从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，共可得到的不同值的个数是：． 5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________． 【答案】192 【解析】（1）当“乐”课程排在第2，5，6周时，； （2）当“乐”课程排在第3或4周时，， 所有可能的排法种数为192. 6.一排个座位，现安排人就座，规定中间的个座位不能坐，且人不相邻，则不同排法的种数是_________. 【答案】 【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三个空位左侧时：共（种）， 同理，当两人在三个空位右侧时：共（种），当两人在三个空位异侧时：共（种），即共（种），故答案为：. 四、解答题 1.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）． (1)该铁路的客运车票有多少种？ (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值． 【答案】(1)56；(2)3 【解析】根据条件利用排列公示建立方程就可以解决. （1）铁路的客运车票有. （2）在新增了个车站后，共有个车站，因为客运车票增加了54种，则， 所以，解得. 2.解不等式：； 【答案】 【解析】根据排列数的计算公式，代入后解不等式即可. 因为 则原不等式可化为， 即，解得， ，所以，故原不等式的解集为. 3.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 【答案】见解析 【解析】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有； （2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有； （3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有. 4.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） （4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？ 【答案】见解析 【解析】（1）根据题意，分2步进行分析： ①将4名男生全排列，有种情况，排好后有5个空位. ②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况， 则三名女生不能相邻的排法有种； （2）根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲站在右端，其余6人全排列，有种情况， ②女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有种站法， 则此时有种站法， 则一共有种站法； （3）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果， 甲乙丙三人内部的排列共有种结果， 要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有； 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 排列与排列数 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：排列的概念及判断 6 题型02: 简单的排列问题 8 题型03：排列数 8 （一）排列数的化简计算 8 （二）排列数的排列数方程 10 （三）排列数的不等式 11 （四）排列数证明题 12 题型04：全排列或无限制的排列 14 题型05：特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略） 15 题型06：相邻问题的排列——捆绑法 18 题型07：不相邻问题的排列——插空法 19 题型08：定序问题 22 题型09：其他排列问题 26 题型10：排列的综合应用 27 巩固提升 30 排列与排列数是高考高频基础+综合应用考点，多以5分小题（选择/填空）出现，偶在解答题与概率、统计等结合，重点考有限制条件的排列与公式应用，难度中低档为主，新高考卷略灵活。 一、考情定位（高考分析） 1. 题型与分值：全国卷、新高考卷中，排列与排列数多为5分小题；解答题多与概率综合，占6-12分，整体稳定。 2. 高频考点：①排列数公式（连乘/阶乘）与性质；②有限制排列（特殊元素/位置优先、相邻“捆绑”、不相邻“插空”、定序/分组等）；③与组合、概率、二项式定理等综合。 3. 难度与趋势：小题中低档，重基础与方法；新高考卷更强调实际情境转化与逻辑推理，综合化、应用化明显，核心考点不变。 4. 典型考法：2023新高考I卷第13题（排列数计算）；2024新高考II卷、全国甲卷涉及限制条件排列；全国乙卷多与组合结合考基础应用。 1. 概念理解：明确排列的有序性，区分排列与组合；掌握排列数定义与符号 2. 公式与性质：熟练掌握=n!牢记．①；②；③．性质。 3. 方法掌握：熟练运用特殊优先法、捆绑法、插空法、间接法、定序倍缩法解决限制排列问题。 4. 综合应用：能将实际问题转化为排列模型，与概率、统计等知识综合解题，提升运算与逻辑推理素养。 知识点一：排列定义 1.排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 注意:(1)排列定义的两个要素：一是“取出元素”， 二是“将元素按一定顺序排列” (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同。 2.排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 排列数公式：，，并且． 特别的：（且）；规定： 3.全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．=n! 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．=1. 4.排列数的性质： ①；②；③． 知识点二：解排列应用题的基本思路 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）． 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用． 知识点三：与排列数有关的计算 (1)拆项技巧：n·n!=(n+1)!-n!； = - . (2)化简技巧： =n ， +m = . 知识点四：解与排列数有关的方程或不等式的步骤 (1)转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式； (2)求解：解转化后的普通方程或不等式； (3)检验：将所求结果代入原方程或原不等式中检验. 知识点五:有限制条件排列问题常见类型 1. “在”与“不在”问题 　　解决此类问题，常用的方法是特殊位置(对象)分析法，遵循的原则是优先排特殊位置(对象)，即需先满足特殊位置(对象)的要求，再处理其他位置(对象). 如果有两个及以上的约束条件，那么在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件；当直接求解困难时，可考虑用间接法解题. 2、解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。 3、解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”。 4. “定序”问题 在排列问题中，某些对象已排定了顺序，对这些对象进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个对象的全排列中有m(m≤n)个对象的顺序固定，则满足题意的排法有种. 5.正面考虑比较复杂的问题,“间接法”，反面入手 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 1. 基础题型（公式应用）：先判断“有序”，再代入公式计算；避免阶乘计算错误。 2. 有限制排列（核心）： ◦ 特殊元素/位置：先排特殊，再排其余（例：甲必须在首位，先定甲，再排剩余）。 ◦ 相邻：捆绑为整体，先排整体再内部排列（捆绑+内部排列）。 ◦ 不相邻：先排无限制元素，再在空隙中插入不相邻元素（插空法）。 ◦ 定序/分组：定序问题用“总排列数÷定序元素全排列数”，分组先分堆再排列。 ◦ 间接法：正面复杂时，用“总排列数-不符合条件排列数”求解。 3. 综合问题：先拆解为排列/组合模块，分步用乘法原理，分类用加法原理；结合概率时，先算基本事件总数与目标事件数，再求概率。 4. 易错提醒：区分“有序/无序”（排列vs组合）；注意“重复计数”（捆绑/插空时避免多算）；核对n,m范围与公式适用条件。 题型01：排列的概念及判断 【典型例题1】给出下列问题： ①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？ ③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题; 对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题; 对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题; 故答案为：② 【典型例题2】下面问题中，是排列问题的是（ ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【解析】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合， 与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A. 【变式训练1-1】给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【变式训练1-2】下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【变式训练1-3】下列问题是排列问题吗？ （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）某班40名学生在假期相互写信； （3）会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （4）平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 【变式训练1-4】判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 【变式训练1-5】判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 题型02:简单的排列问题 【典型例题】1．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据排列数的定义即可求解.根据排列数的定义， 可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是.故选：B 【变式训练2-1】8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【变式训练2-3】多选题甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 题型03：排列数 （一）排列数的化简计算 【典型例题1】（，）可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案. ， ， ， ，D正确.故选：D 【典型例题2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式训练3-1-1】等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-2】（    ） A．6 B．24 C．360 D．720 【变式训练3-1-3】（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-4】阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-5】_________． 【变式训练3-1-6】计算：______． 【变式训练3-1-7】计算． 【变式训练3-1-8】计算： (1)；(2)． 【变式训练3-1-9】设n是一个不小于17的正整数，用排列数表示． 【变式训练3-1-10】若，则的个位数字是（ ） A．3 B．8 C．0 D．5 【变式训练3-1-11】（多选）下列等式正确的是（ ） A． B． C．！ D． （二）排列数的排列数方程 【典型例题1】已知m，n，p均为正整数，则满足的一组解为 【答案】或 (写一个即可) 【解析】根据阶乘的性质，用列举法进行求解即可. 因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0，尾数为5， 所以，而， 所以可得或．故答案为： 【典型例题2】已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 【答案】A 【解析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案. 由题意得， 化简可得，解得或6， 因为，所以且，故.故选：A. 【变式训练3-2-1】已知，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式训练3-2-2】已知，则 . 【变式训练3-2-3】解关于正整数n的方程：． 【变式训练3-2-4】已知，求x的值． （三）排列数的不等式 【典型例题1】19．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数公式计算即可.由， 得，解得， 所以不等式的解集是.故选：D. 【典型例题2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 因为，所以， 所以，所以，又，， 所以，所以不等式的解集为，故选：D. 【变式训练3-3-1】满足不等式的的值可能为（    ） A．12 B．11 C．8 D．10 【变式训练3-3-2】（1）解不等式：； （2）解方程：． 【变式训练3-3-3】 （1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． （四）排列数证明题 【典型例题1】求证：（、为大于1的自然数）． 【答案】证明见解析 【解析】由排列数的计算公式证明即可 【典型例题2】（1）求证：； （2）求证：； （3）求和：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】按照阶乘的定义即可求解. （1）证明：． （2）证明：． （3）由（2）知， 所以； 综上，. 【变式训练3-4-1】求解下列问题： (1)计算：   (2)解方程： 【变式训练3-4-2】求证：. 【变式训练3-4-3】证明： ． 【变式训练3-4-4】求证： 【变式训练3-4-5】证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【变式训练3-4-6】证明，并用它来化简． 题型04：全排列或无限制的排列 【典型例题1】若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【解析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法，其中正确的有种，所以错误的有种.故选：B 【典型例题2】将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有 种不同的分配方案． 【答案】576 【解析】先分配4位司机，再分配4位售票员，相乘后得到答案. 这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有种方法． 由分步乘法计数原理知，分配方案共有种． 故答案为：576 【变式训练4-1】．将不同的8封信随意放入8个写好地址的信封，共有多少种不同的放法？ 【变式训练4-2】5名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排． (1)共有多少种不同的排法？ (2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？ (3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？ 题型05： 特殊元素(特殊位置)有限的排列（优先策略） 【典型例题1】2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法， 所以共有 种排法；故选：B. 【典型例题2】如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个． A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【解析】自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1， 我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻， 十位数为0时，有100，或101，共2个； 十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个； 十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个； 十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个； 十位数为9时，有，899，898，998，999共4个． 综上共有：个．故选：． 【典型例题3】现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，每个岗位安排一个人，每个人只安排在一个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ） A．56种 B．64种 C．72种 D．96种 【答案】D 【解析】根据A是否入选进行分类求解即可. 由题意可知：根据A是否入选进行分类： 若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种， 再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法； 若A不入选：则4个人4个岗位全排有种方法， 所以共有种． 故选：D 【典型例题4】甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】C 【解析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C. 【典型例题5】某一天的课程要排入政治、语文、数学、物理、体育、生物共六门课，若数学不排第一节，则排法总数为（   ） A．720 B．600 C．120 D．240 【答案】B 【解析】根据特殊元素优限法排列即可. 若数学不排第一节，则数学课的排法有种，其他五门课没有要求全排列的排法有种， 所以排法总数为（种）.故选：B. 【变式训练5-1】用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ） A．24个 B．30个 C．36个 D．42个 【变式训练5-2】某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【变式训练5-3】源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【变式训练5-4】用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（ ） A．2301 B．2304 C．2305 D．2310 【变式训练5-5】贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（    ）种表演顺序. A． B． C． D． 【变式训练5-6】“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（    ）种不同的出场顺序. A．72 B．78 C．96 D．120 【变式训练5-7】将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答） 【变式训练5-8】某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排ABCD四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为_____ 【变式训练5-9】用、、、、、这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位数？ （2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？ （3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？ 【变式训练5-10】（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？ （3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？ （4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 【变式训练5-11】某传统文化学习小组有7名同学，其中男生4名，女生3名．现要从中选出4名同学参加学校举行的汇报展示活动． (1)如果要求选出的4名同学中，男生、女生各有2名，那么有多少种不同的选法？ (2)如果要求选出的4名同学分别参加国学、书法、绘画、茶艺4种不同的项目，且参加茶艺的同学必须是女生，那么有多少种不同的选法？ 【变式训练5-12】．用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 题型06：相邻问题的排列——捆绑法 【典型例题1】由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【解析】由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2,一个3, 将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排有种.故选:B 【典型例题2】在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列， 因此方法数为．故选：A． 【变式训练6-1】2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ） A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种 【变式训练6-2】某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．120种 D．144种 【变式训练6-4】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是 ． 【变式训练6-5】将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有 种． 题型07：不相邻问题的排列——插空法 【典型例题1】排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（    ） A．30 B．60 C．120 D．336 【答案】B 【解析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案. 将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素， 剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序. 所以种不同坐法.故选：B 【典型例题2】3男4女排成一排，3男不能相邻有（    ）种排法． A．50 B．25 C．825 D．1440 【答案】D 【解析】根据插空法直接求解即可 首先将4名女生排成一排，共有； 4名女生形成5个空，将3名男生插入5个空中的3个共有； 综上所述共有种情况.故选：D 【典型例题3】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有______种不同的排队方法． 【答案】240 【解析】利用捆绑法，结合排列的定义进行求解即可.不同的排队方法有种． 故答案为：240 【典型例题4】六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有__________种．（用数字作答） 【答案】72 【解析】设另外两人为戊己，甲丁捆绑后和戊己排序，再将乙丙插空即可. 设另外两人为戊己．可以分步完成， ①甲丁捆绑后排序有 方法， ②捆绑后的甲丁戊己排序，有 种方法， ③将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有 种方法， 根据分步乘法原理，共有种方法．故答案为：72. 【典型例题5】从6名运动员中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答） (1)甲､乙两人必须跑中间两棒； (2)若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒． 【答案】(1)24(2)72 【解析】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共有种，根据分步计数原理即可求解. （2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有种结果，再根据分步计数原理即可求解. （1）甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种， 故有种； （2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故有种． 【变式训练7-1】班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲，乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式训练7-2】5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】2022年11月30日,神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（ ）种 A．72 B．144 C．36 D．108 【变式训练7-4】琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（ ） A．24 B．36 C．60 D．72 【变式训练7-6】某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．60 【变式训练7-7】杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 【变式训练7-8】A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（    ） A．48 B．96 C．144 D．288 【变式训练7-9】某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)． 【变式训练7-10】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【变式训练7-11】电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【变式训练7-12】3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 【变式训练7-13】现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率； （2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？ 题型08： 定序问题 【典型例题1】现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况． 则有种排法， 第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法， 再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，则歌手不相邻有种排法．故选：CD 【典型例题2】某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ） A．72种 B．81种 C．144种 D．192种 【答案】D 【解析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案. 解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为， 由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D. 【典型例题3】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【解析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案. 先假设是实线， 则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， 所以，当不通时，最短路径有条.故选：D 【典型例题4】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________ 【答案】 【解析】结合全排列的概念即可. 由题意，对6盏不同的花灯进行取下， 先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取， 所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故共有取法总数为：.故答案为： 【典型例题5】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）. 【答案】24 【解析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即. 解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题, 则可排成不同的音序的种数为.故答案为：24． 【变式训练8-1】今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列的排法总数为（ ） A．1782 B．1720 C．2520 D．1260 【变式训练8-2】某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）. A．42 B．56 C．30 D．72 【变式训练8-3】用组成没有重复数字的七位数，若的顺序一定，则符合条件的七位数有（ ）个 A．840 B．210 C．640 D．410 【变式训练8-4】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）. A．60 B．120 C．336 D．504 【变式训练8-5】某同学将英文单词“million”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有 种（用数字作答）． 【变式训练8-6】某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答） 【变式训练8-7】（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者. （i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ （2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示） （3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示） 题型09：其他排列问题 【典型例题1】从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 【答案】54 【解析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案. 若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案， 若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种， 所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种. 故答案为：54. 【典型例题2】回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．56个 B．64个 C．81个 D．90个 【答案】C 【解析】根据回文数的性质，结合排列的定义分类讨论进行求解即可. 根据题意，分2种情况讨论： ①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”； ②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况， 即此时有72个4位“回文数”，则一共有个4位“回文数”，故选：C 【变式训练9-1】某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法. 【变式训练9-2】在方程中，设系数a、b是集合中两个不同的元素．求这些方程所表示的不同直线的条数． 题型10：排列的综合应用 【典型例题1】有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576；(5)1440；(6)720；(7)2520；(8)3720 【解析】(1)简单的排列问题；(2)个人全排列问题；(3)甲作为特殊元素，先排甲； (4)将所有女生看作一个整体，与三名男生进行全排列，再将四个女生进行全排列； (5)男生互不相邻，则采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生； (6)把甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑选人，最后与最终的两个人排列即可； (7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可； (8)当甲、乙不在两端时，可优先排好甲、乙，然后排其他人. （1）从人中选人排列，有（种）方法. （2）分两步完成，先选人站前排，有种方法，余下人站后排，有种方法，则共有（种）方法. （3）先排甲，有种方法，其余六人有种，则共有（种）方法. （4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法， 则共有（种）方法. （5）（插空法）：先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生， 有种方法，则共有（种）方法. （6）把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法， 再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列， 有种，共有（种）方法. （7）（消序法）：（种）方法. （8）（间接法）：无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端有种， 是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有（种）方法. 【典型例题2】直线的斜率大于零，且互不相同，那么这样的不重合直线的条数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【解析】由题意可得，不妨设，分，，三种情况讨论，注意排除重合的情况，即可得解. 因为直线的斜率大于零，所以且，则，不妨设， 当时，有种选法，有两种选法， 因为直线和直线重合，所以这样的直线有种， 当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合， 所以这样的直线有种， 当时，则有种选法，有种选法，且其中任意两条直线都不重合， 所以这样的直线有种， 综上所述，符合题意的直线有种.故选：A. 【变式训练10-1】如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按，再按），则和的最终状态都未发生改变的概率为______. 【变式训练10-2】中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗，其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务D、E必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有______种（用数字作答） 【变式训练10-3】现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． (1)求甲、乙不相邻且不在两端的概率； (2)如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？ 一、单选题 1．已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（    ） A．288 B．144 C．72 D．36 2．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种． A．40 B．24 C．20 D．12 3．新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．60种 4．某商场的展示台上有6件不同的商品，摆放时要求两件商品必须在一起，则摆放的种数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 6．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种 A． B． C． D． 8．已知某N95口罩厂的一条生产流水线上有编号依次为①至⑥的6个不同质检站，现将甲､乙､丙等6名质检员安排到这6个不同质检站进行产品检测，每个质检站安排1人，丙不在①和⑥质检站，则甲､乙所在质检站的编号相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 9．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ） A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 10．某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．60 11．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（    ） A． B． C． D． 12.受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ） A．120种 B．156种 C．192种 D．240种 13.若a∈N＋，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ） A． B． C． D． 14.在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A．12 B．14 C．16 D．18 15.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 二、多选题 1.满足不等式的的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.从0，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（    ） A．若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为100 B．若数字可以重复，则可组成的四位偶数的个数为400 C．若数字不能重复，则可组成比45000大的整数的个数为40 D．若数字不能重复，则可组成数字2，3相邻的五位数的个数为36 3.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ） A． B． C． D． 4.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 三、填空题 1.用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有______个，其中偶数共有______个． 2.，则______. 3.2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答） 4.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是_______个． 5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________． 6.一排个座位，现安排人就座，规定中间的个座位不能坐，且人不相邻，则不同排法的种数是_________. 四、解答题 1.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从车站上车到车站下车为1种车票（）． (1)该铁路的客运车票有多少种？ (2)为满足客运需要，在该铁路上新增了个车站，客运车票增加了54种，求的值． 2.解不等式：； 3.用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ （1）六位奇数； （2）个位数字不是5的六位数； （3）不大于4 310的四位偶数. 4.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） （4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？ 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $