2.1.1平方根和算术平方根课件2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“平方根和算术平方根”核心知识点，通过正方形花坛面积问题情境导入，引导学生从x²=a的关系抽象出平方根定义，结合探究活动（如4的平方根唯一性论证）构建概念，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理意识设计探究过程，通过表格对比辨析概念，结合中考真题及高空抛物等跨学科实例，培养学生抽象能力与模型意识。学生能深化概念理解并提升应用能力，教师可借助梯度化内容高效开展培优教学。

湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 2.1.1平方根和算术平方根 第2章 实数 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 探 究 4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根. 类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 平方根和算术平方根教学过程幻灯片内容 幻灯片1：情境导入 问题1：一个正方形花坛的面积是25㎡，它的边长是多少？ 问题2：若正方形面积为a㎡，边长x满足什么关系式？（引导得出x²=a） 引出课题：当x²=a时，x叫做a的什么？今天我们学习——平方根和算术平方根 幻灯片2：平方根概念探究 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）。 示例：∵(±5)²=25，∴25的平方根是±5，记作±√25=±5 思考：（1）36的平方根是多少？（2）0的平方根是多少？（3）-4有平方根吗？ 小结：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 幻灯片3：算术平方根概念 定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根是0。 对比：25的平方根是±5，算术平方根是5（即√25=5） 练习：说出16、0.09的算术平方根，明确算术平方根的非负性（√a≥0，a≥0） 幻灯片4：概念辨析与应用 辨析：平方根与算术平方根的区别与联系（表格梳理：个数、符号、取值范围） 例题：求下列各数的平方根和算术平方根：（1）100 （2）0.49 （3）4/9 解题步骤：先判断数的正负，再根据定义求解 幻灯片5：课堂小结 1. 核心概念：平方根、算术平方根的定义及表示方法 2. 关键性质：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根和算术平方根都是0，负数无平方根；算术平方根非负 3. 求解方法：根据平方与开平方的互逆关系求平方根和算术平方根 又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2. 互为相反数 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r. 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ， 读作“根号 a”； 正数 a 的负平方根记作 ， 这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. x2 = a （x ≥ 0，a ≥ 0） 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作“正、负根号 a” 开平方 平方 互为逆运算 根据这种关系，可以求一个数的平方根. 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根. 4 的平方根是________， 4 的算术平方根是________， 2 的算术平方根是________. 2 的平方根是________， 思 考 0 的平方根是多少？负数有平方根吗？ 0 有一个平方根，就是 0； 负数没有平方根. 例 1 分别求下列各数的平方根： （1）36；（2） ；（3）1.21. 解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 . （2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ， 即 . 例 1 分别求下列各数的平方根： （3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 . （1）36；（2） ；（3）1.21. 例 2 分别求下列各数的算术平方根： （1）100；（2）1.96；（3） . 解：（1）因为 102 = 100， 所以 . （2）因为 1.42 = 1.96，所以 . （3）因为 ( )2 = ，所以 . 说说你发现了什么规律？ 正数越大，它的算术平方根也越大. 1. 的平方根的数学表达式是( ) D A. B. C. D. 2. 的算术平方根是( ) D A. B. C. D. 0.64 中考考法 11 3. 下面语句中正确的是( ) D A. 64的平方根是 B. 的平方根是 C. 的平方根是 D. 0的平方根和算术平方根都是0 中考考法 12 4. 的平方根是_______. 5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 ___. 6. 当为_ ___时， 有最小值，最小值为___. 5 6 中考考法 13 7. 教材P33习题T3 求下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） ； . 中考考法 14 （3） . . 中考考法 15 8. 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】，, , 解得 . （2） . ，， ， 解得或 . 中考考法 16 9. 已知一个正数的两个平方根分别是和 . （1）求这个正数； 【解】由题意可得 ， 解得 ， 所以这个正数是 . （2）求 的算术平方根. 由（1）知，所以 . 中考考法 17 10. 如果是一个整数，那么整数 可取的值 共有( ) A A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 若与 的和是单项式，则 的平方根为____. 【点拨】因为与的和是单项式，所以 ， .所以.所以 的平方根 是 . 中考考法 18 12. 如图，一个大正方形被 分割成四部分，其面积分别为， ， ， ，则大正方形的 边长为_________. 【点拨】因为大正方形被分割成四部分，其面积分别为 ，，， ,所以大正方形的面积为 .又因为 ， ，所以大正方形的边长为 . 中考考法 19 13. 已知，， 是两两不等的数，且满足下列等式： ，则 的值为___. 0 中考考法 20 【点拨】因为 且，，是两两不等的数，所以 ， ，，，即 ，所以 且.所以.所以.所以 .所以原式 . 中考考法 21 14. 小明每次回家进入电梯时，总能看见物 业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛 物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师， 得知高空抛物下落的时间（单位：）和下落高度 （单位：）近似满足公式，其中 为重力加速 度，.物体落地时产生的动能 物体质量 （单位：） 重力加速度（单位：） 高度 （单位：），动能的单位名称为焦耳.例如：一个 重 的花盆从 高空坠落到地面产生的动能约为 . 中考考法 22 （1）一个物体从 的高空坠落到地面大约需要几秒？ 【解】把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：一个物体从的高空坠落到地面大约需要 . 中考考法 23 （2）一个的物体坠落到地面产生了 的动能，请推 算该物体坠落到地面用了几秒. 由题意得，解得 . 把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：该物体坠落到地面用了 . 中考考法 24 15. 探究发现： （1）完成下列填空： ① ___； ② ____； ③ ___； 3 0.5 6 中考考法 25 ④ ___； ⑤ __； ⑥ __. 0 中考考法 26 （2）根据（1）的计算结果，你发现其中的规律了吗？请写 出规律：____________________________________________ ___________________________. 正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的 平方的算术平方根为其相反数 （3）利用你总结的规律计算：若，则 _______. 中考考法 27 （4）有理数，， 在数轴上对应点的位置如图. 化简： . 【解】由数轴可知，，且 ， 所以 . 中考考法 28 课堂小结 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 1. 平方根的定义 2. 平方根的性质 （1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数； （2）0 有一个平方根，就是 0； （3）负数没有平方根. 算术平方根： （a ≥ 0） 平方根： （a ≥ 0） 3. 平方根的表示方法 $