1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理课件-2025-2026学年 湘教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦整式乘法中的平方差公式和完全平方公式，通过复习多项式乘多项式法则，结合特殊算式引导观察结果特点，搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于注重公式推导的几何直观（如用正方形面积解释完全平方公式）和逆用训练（如已知a+b、ab求a²+b²），通过分层例题培养学生抽象能力与推理意识。学生能深化公式理解，教师可直接使用系统例题提升教学效率。

湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 第1章 整式的乘法 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 怎样计算下列各题？ （3）(x + y + 4)(x + y - 4). （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； （2）(a + 3)2 (a - 3)2； 运用乘法公式进行计算 讨论：选择什么 方法呢？ 1 运用乘法公式进行计算和推理 教学过程 第1页：复习导入（3分钟） 1. 提问回顾：多项式乘多项式法则是什么？请用字母表示。（学生回答：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn） 2. 引出问题：当多项式特殊时，是否有简便算法？计算：(x+1)(x-1)、(2a+b)(2a+b)，引导学生观察结果特点，导入乘法公式主题。 第2页：平方差公式推导与理解（8分钟） 1. 推导：引导学生计算(a+b)(a-b)，结合多项式乘法法则展开得a²-ab+ab-b²，合并同类项后得出平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。 2. 解读：强调公式结构特征——两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差；明确“a、b可表示数、单项式或多项式”。 第3页：完全平方公式推导与理解（8分钟） 1. 推导：计算(a+b)²和(a-b)²，展开后分别得到a²+2ab+b²和a²-2ab+b²，总结完全平方公式。 2. 解读：对比两个公式，强调“积的2倍项符号”差异；通过图形面积（正方形边长增减）辅助理解公式几何意义。 第4页：公式应用例题（12分钟） 1. 基础计算：例1：(3x+2y)(3x-2y)（平方差公式）；例2：(2m-3n)²（完全平方公式），分步演示代入过程，规范书写步骤。 2. 变式推理：例3：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值（引导学生逆用完全平方公式：a²+b²=(a+b)²-2ab），讲解公式逆用思路。 第5页：巩固练习与课堂小结（4分钟） 1. 快速练习：口算(5+a)(5-a)、(x+4)²，抽查学生回答，纠正常见错误（如完全平方公式漏写2ab项）。 2. 小结：回顾平方差、完全平方公式的结构与特征；强调“正用、逆用”的关键——找准公式中的“a、b”，灵活匹配表达式结构。 平方差公式 = x4 - 1. （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； 交换律 （2）(a + 3)2 (a - 3)2. = a4 - 18a2 + 81. 逆用积的乘方 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)( x2 + 1 ) 解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2 = (a2 - 9)2 （3）(x + y + 4)(x + y - 4) . = (x + y)2 - 16 = x2 + 2xy + y2 - 16. 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4] 例1 用乘法公式计算下列各题 = x4 - 81. = 16x4 - 72x2 + 81. 运用什么运算律？ 积的乘方的逆用 (2) (2x + 3)2(2x - 3)2 交换律 典例精析 例2 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b - c)2. (a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3 解：(x + y) = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21， 化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m. 1. 运用乘法公式计算 ,下列结果正确 的是( ) A A. B. C. D. 2. 已知 ，则代数式 的值为( ) A A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 中考考法 10 3. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 11 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 中考考法 12 4. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数 （即十位数字和个位数字组成的两位数）一定是25”.这一结 论可用下面的方法进行证明: 设个位数字是5的自然数为为自然数 ，则 . 这说明平方后的末两位数一定是25. 请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数，平 方后的末三位数（即依次由百位、十位和个位数字组成的三 位数）一定是多少？”并给出理由.#2.3 中考考法 13 【解】 平方后的末三位数一定是625. 理由：设末两位数是25的自然数为为自然数 ， 则 . 这说明平方后的末三位数一定是625. 中考考法 14 5. 两个连续奇数的平方差是( ) B A. 6的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数 中考考法 15 6. “幻方”最早记载于春秋时 期的《大戴礼记》中，现将数字 填入如 图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个 数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数 D A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 字的平方和分别记为，，，且 ，如果将 交点的三处填入的数字分别记为，，，则 的值为 ( ) 中考考法 16 【点拨】因为每个圆圈上的四个数字的和都 等于21，所以三个圆圈上的数字之和为 .又因为填入的数字之和为 ，所 以. 所以 . 因为 ，填入的数字的平方和为 ，所以 中考考法 17 .所以 .所以 . 所以 .因为 ，所以 .所以 .所以 .所以 . 故选D. 中考考法 7. 已知, ,则 的值为___. 中考考法 19 【点拨】因为，所以 , ,,所以 , , ,所以 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 . 中考考法 20 8. 有如下一系列等式： ; ; ; ; …… （1）根据你的观察，写出第8个等式： ______________________； 中考考法 21 （2）( ) . 【点拨】 ,即 是 的平方. 中考考法 22 9. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习 “整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观 地推导出了完全平方和公式： （如图①）.利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解 决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.#1 中考考法 23 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图②可得等式：_______________________________ ________________，利用该等式解决问题：若 ，，则 _____； 155 中考考法 24 （2）如图③，若用 其中张边长为 的 正方形， 张边长为 的正方形， 张边 长分别为， 的长方形纸片拼出一个面积为 的长方形（无空隙、无重叠地拼接），求 的值. 中考考法 25 【解】 可以看成是由2张边长为 的正方形，2张边 长为的正方形，5张边长分别为， 的长方形纸片拼成的大 长方形的面积. 所以，，.所以 . ， 中考考法 26 $