精品解析：湖南省衡南县一中云集校区（北斗星中学）2025-2026学年九年级上学期第三次检测数学试题

2025年下学期衡南一中云集校区九年级第三次检测试卷数学 本试卷共2页，26题．全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 画饼充饥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A．水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意； B．日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意； C．守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意； D．画饼充饥，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 8. 已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（　　） A. a=b B. ab=1 C. a=﹣b D. ab=﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先将b的分母有理化，再比较大小. 【详解】解：b=，则a=﹣1=b， 故选择A. 【点睛】本题考查了分母有理化的计算方法. 9. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 滑梯斜面的坡度， ， ， ， 故选：C． 10. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，， ∴， ， 而， ， ，经检验符合题意； 故选：A． 二、填空题（共8小题，，每题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，代入，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 13. 一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵袋中有形状材料均相同的白球2个， 红球4个，共6个球， ∴任意摸一个球是红球的概率 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14. 若，则锐角_______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出，根据等角对等边的性质可得，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出是解题的关键． 16. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 17. 如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是__________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】由线段垂直平分线、勾股定理结合即可求解； 【详解】解：∵的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键． 18. 已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____． 【答案】15或10 【解析】 【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD=， 则BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5，CD=， 则BC=BD-CD=4， ∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10． 综上，△ABC的面积是15或10， 故答案为15或10． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． 三、解答题（共8小题，共66分） 19 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，实数的运算，二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数，绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算性质计算即可． （2）利用平方差公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴，则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， 解得． 21. 阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列式子：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．利用分母有理化计算后，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】解： ． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由题意得，， ∵， ∴， ∴，解得：． 23. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别为，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴． 25. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 26. 如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． ‍ （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）当或时，为直角三角形 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，本题第（2）（3）问要注意分类讨论． （1）作于，得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由勾股定理得，即可求出； （2）①当时，得到，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值；②当时，得到，得出以点、、为顶点的三角形与相似的值； （3）①当时，即为直角三角形，过作于，根据相似三角形的判定得，由相似三角形性质推出，又由，根据相似三角形的性质得，从而当时，，即为直角三角形；②当时，即为直角三角形，根据相似三角形得判定得，根据相似的性质可得． 【小问1详解】 解：如图（1）作于， ∵，， ∴， 四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得：； 【小问2详解】 解：①当时，， ， 解得； ②当时，， ， 解得． 综上所述，当或时，以点A，P，Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 ①当时，即直角三角形． 如图（2），过作于， ， 当时，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形； ②当时，即为直角三角形， 如图（3）所示，作于点， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，即为直角三角形， 综上所述，当或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期衡南一中云集校区九年级第三次检测试卷数学 本试卷共2页，26题．全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 画饼充饥 3. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a=﹣1，b=，则a与b的关系（　　） A. a=b B. ab=1 C. a=﹣b D. ab=﹣1 9. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（ ） A. B. C. D. 10 二、填空题（共8小题，，每题3分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_______ 13. 一个袋中有形状材料均相同的白球2个红球4个，任意摸一个球是红球的概率______． 14. 若，则锐角_______°． 15. 如图，为的中位线，且平分交于点F．若，，则_____________． 16. 如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为______． 17. 如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是__________cm． 18. 已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列式子：． 22. 已知关于一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 23. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求长． 24. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 25. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升高度（结果精确到）． 26. 如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），． ‍ （1）用含t的代数式表示； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $