期末复习07数据的分析期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“数据的描述与评判”为核心，通过表格对比平均数、中位数、众数的优缺点及适用场景，步骤化呈现方差计算流程，结合易错点警示构建知识体系，清晰展现集中趋势与离散程度的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-决策”递进式练习设计，如“根据方差判断数据稳定性”典例结合跟踪专练，培养运算能力与数据意识，压轴题综合图表解读与统计量选择，分层题目满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

期末复习07数据的分析期末冲刺必备讲义 核心纲领：本章围绕“数据的描述与评判”展开，核心是通过平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，用极差、方差刻画离散程度，最终实现对数据的合理分析与决策，是期末解答题、应用题的高频考点 期末必备 知识点梳理 1.数据的集中趋势 2.数据的离散程度 3.数据的表示与分析 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.众数的计算方法 2.如何运用众数做决策分析 3.一组数据的平均数求解 4.已知平均数求未知数据的值 5.加权平均数的计算技巧 6.方差的具体求解步骤 7.根据方差判断数据的稳定性 8.借助方差开展决策应用 9.中位数的求解方法 10.运用中位数进行决策分析 11.选择合适的统计量解决决策问题 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 核心知识点精析（必背+必会） 【知识点01.数据的集中趋势--描述“数据的中心”】 集中趋势是数据最核心的特征，常用三个量表示，需熟练掌握定义、计算方法及适用场景。 【平均数（算术平均数）——“公平的代表”】 定义：一组数据中所有数据之和除以数据的个数，记作平均数。 计算公式：平均数 = 这组数据中所有数据的总和 ÷ 这组数据的个数。 特点：考虑了每一个数据的影响，易受极端值（极大值或极小值）的干扰。 注意：计算时需先检查数据是否完整，避免漏算或错算；若数据单位不同，需先统一单位再计算。 【加权平均数——“有侧重的代表”】 定义：当一组数据中各个数据的重要程度不同（即权重不同）时，需计算加权平均数。权重通常用比例、百分比或次数表示。 计算公式：加权平均数 = （每个数据 × 对应权重的总和） ÷ 所有权重的总和。 常见场景：期末成绩核算（平时成绩占30%、期末成绩占70%）、投票选举、产品评分等。例如：小明平时成绩80分，期末成绩90分，权重分别为3和7，则加权平均分为（80×3 + 90×7）除以（3+7），结果等于87分。 【中位数——“中间的代表”】 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于中间位置的数。若数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均数。 求法步骤： 1 排序； 2 找中间位置（个数为奇数时，位置为（n+1）除以2；个数为偶数时，位置为n除以2和（n除以2）+1） 3 确定中位数。 特点：不受极端值影响，稳定性强。例如：数据1,2,3,4,100，排序后为1,2,3,4,100，中位数为3，能更合理反映数据的中心趋势。 【众数——“最受欢迎的代表”】 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特点： 1 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且最多）； 2 不受极端值影响，适合描述数据的“多数水平”。 适用场景：确定最畅销的商品型号、最受欢迎的兴趣爱好等。 【三种量的对比与选择】 统计量 优点 缺点 适用场景 平均数 兼顾所有数据，反映整体平均水平 受极端值影响大 数据无极端值，需综合所有数据评价 中位数 不受极端值影响，稳定性强 忽略了中间数据的具体差异 数据含极端值，需反映中间水平 众数 反映数据的多数趋势，易理解 可能不唯一，无法反映整体水平 需确定最普遍、最频繁出现的数据 【知识点02.数据的离散程度--描述“数据的波动”】 离散程度反映数据之间的差异大小，波动越大，离散程度越强；波动越小，离散程度越弱，常用极差和方差表示。 【极差——“波动的范围”】 定义：一组数据中的最大值与最小值的差。 计算公式：极差 = 最大值 - 最小值。 特点：计算简单，只能反映数据的最大波动范围，无法体现中间数据的波动情况。 【方差——“波动的细节”】 定义：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作方差。方差越小，数据波动越小，越稳定；方差越大，数据波动越大，越不稳定。 计算公式;方差 = 先算出每个数据与平均数的差，再把所有差分别平方，求这些平方数的总和，最后用总和除以数据的个数。 计算步骤： 1 求平均数； 2 计算每个数据与平均数的差； 3 求每个差的平方； 4 求所有平方结果的平均数。 注意：方差的单位是原数据单位的平方，与原数据单位不一致，因此常通过标准差辅助描述，标准差单位与原数据一致。 【知识点03.数据的表示与分析--描述“图表结合解读”】 常结合条形统计图、折线统计图、扇形统计图呈现数据，需具备“读图→提取数据→计算统计量→分析结论”的能力。 条形统计图：直观展示各组数据的具体数量，便于比较大小，适合计算平均数、众数。 折线统计图：清晰反映数据的变化趋势，同时可观察数据的波动情况（离散程度）。 扇形统计图：体现各组数据占总体的百分比（权重），适合计算加权平均数。 【知识点04.易错点警示】 1. 计算中位数时，未先对数据排序，直接找中间数，导致结果错误； 2. 混淆加权平均数的权重与数据本身，尤其是权重为百分比时，未转化为小数或分数计算； 3. 计算方差时，步骤遗漏（如忘记平方、忘记除以数据个数），或因平均数计算错误导致方差出错； 4. 选择统计量时，忽略数据特点（含极端值仍用平均数），导致分析结论不合理； 5. 解读扇形统计图时，误将百分比当作具体数量，需结合总体数量换算。 【题型1.众数的计算方法】 【典例】某中学举办学科知识比赛，八年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些比赛成绩的众数是（   ） A．5 B．10 C．12 D．20 【跟踪专练1】为引导学生注重日常锻炼，提升体质健康水平，促进全面发展，学校会定期对学生的体育项目进行测试，为过程性评价提供依据．某校根据某次七年级男生引体向上的测试成绩绘制了如图所示的折线统计图，则测试成绩的众数为 个． 【跟踪专练2】老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（    ） A． B．平均数为4 C．添加一个数4后方差不变 D．这组数据的众数是2 【题型2.如何运用众数做决策分析】 【典例】请你举出一个生活中与众数有关的例子：______ ． 【跟踪专练1】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大. 【跟踪专练2】某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型3.一组数据的平均数求解】 【典例】六（1）班为备战学校运动会，举行了班级的选拔赛，小宏、小明、小力参加了跳远选拔赛，每人试跳三次，落点分别如图，（　　）的跳远平均成绩大约是1.6米． A．小宏 B．小明 C．小力 D．无法判断 【跟踪专练1】参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 【跟踪专练2】若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【题型4.已知平均数求未知数的值】 【典例】某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 【跟踪专练1】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差 米． 【题型5.加权平均数的计算技巧】 【典例】小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 【跟踪专练1】某地某月中午12时的气温（单位：℃）如下： 气温 合计 天数 10 7 3 8 2 30 根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是 ℃． 【跟踪专练2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型6.方差的具体求解步骤】 【典例】一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为 ． 【跟踪专练1】某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大 【跟踪专练2】若样本数据的平均数是5，方差是2，则样本数据，的平均数、方差分别是 ． 【题型7.根据方差判断数据的稳定性】 【典例】某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是，则成绩最稳定的选手是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练1】甲、乙两人次数学成绩如图所示，其中成绩较稳定的是 ． 【跟踪专练2】下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 【题型8.借助方差开展决策应用】 【典例】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【跟踪专练1】学校准备从甲、乙、丙三个小组中选出一组代表学校参加宜昌市第二届数理节，各组的平时成绩的平均数（单位：分），及方差如表所示： 甲 乙 丙 b 98 98 a c a 若按“选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛”要求定出的小组只能是乙组，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择 参加比赛．（填甲或者乙） 【题型9.中位数的求解方法】 【典例】祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这一成就在其著作《缀术》中记载，并领先世界约1000年．数学活动课上，云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的中位数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【跟踪专练1】一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为 ． 【跟踪专练2】在一次招聘活动中，共有人进入复试，他们的复试成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．众数是 C．中位数是 D．方差是 【题型10.运用中位数进行决策分析】 【典例】在学校举行的诗词大会中，某位选手想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该选取所有选手成绩的 进行比较（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【跟踪专练1】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 【跟踪专练2】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【题型11.选择合适的统计量解决决策问题】 【典例】学校计划面向全校学生对校服款式的喜欢情况进行调研，应该选用的统计量是（   ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【跟踪专练1】下列几种说法：①标准差不可能是0；②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20；③某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【跟踪专练2】服装店老板在清点库存时发现，某种男士衬衫L码卖得最多，他考虑以后要多进L码的男士衬衫，他参考的是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 1．某同学对数据36，36，38，48，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 2．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 3．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 4．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 5．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是 ． 6．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 7．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 8．五个整数按从小到大的顺序排列后，中位数是4．如果这组数据的众数是6，那么这五个整数的和的最大值是 ． 9．初二年级S班有学生48人，他们的学号分别为1，2，…，48．在一次数学兴趣小组活动课上，老师将他们随机分成两组（每组至少1人）．聪明的小厉（小厉的学号是9号）发现，如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加．请问： （1）小厉所在的第一组一共有 人； （2）第二组所有学生的学号分别是 ． 10．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 11．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 12．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 13．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 14．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 15．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习07数据的分析期末冲刺必备讲义 核心纲领：本章围绕“数据的描述与评判”展开，核心是通过平均数、中位数、众数反映数据集中趋势，用极差、方差刻画离散程度，最终实现对数据的合理分析与决策，是期末解答题、应用题的高频考点 期末必备 知识点梳理 1.数据的集中趋势 2.数据的离散程度 3.数据的表示与分析 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.众数的计算方法 2.如何运用众数做决策分析 3.一组数据的平均数求解 4.已知平均数求未知数据的值 5.加权平均数的计算技巧 6.方差的具体求解步骤 7.根据方差判断数据的稳定性 8.借助方差开展决策应用 9.中位数的求解方法 10.运用中位数进行决策分析 11.选择合适的统计量解决决策问题 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 核心知识点精析（必背+必会） 【知识点01.数据的集中趋势--描述“数据的中心”】 集中趋势是数据最核心的特征，常用三个量表示，需熟练掌握定义、计算方法及适用场景。 【平均数（算术平均数）——“公平的代表”】 定义：一组数据中所有数据之和除以数据的个数，记作平均数。 计算公式：平均数 = 这组数据中所有数据的总和 ÷ 这组数据的个数。 特点：考虑了每一个数据的影响，易受极端值（极大值或极小值）的干扰。 注意：计算时需先检查数据是否完整，避免漏算或错算；若数据单位不同，需先统一单位再计算。 【加权平均数——“有侧重的代表”】 定义：当一组数据中各个数据的重要程度不同（即权重不同）时，需计算加权平均数。权重通常用比例、百分比或次数表示。 计算公式：加权平均数 = （每个数据 × 对应权重的总和） ÷ 所有权重的总和。 常见场景：期末成绩核算（平时成绩占30%、期末成绩占70%）、投票选举、产品评分等。例如：小明平时成绩80分，期末成绩90分，权重分别为3和7，则加权平均分为（80×3 + 90×7）除以（3+7），结果等于87分。 【中位数——“中间的代表”】 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于中间位置的数。若数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均数。 求法步骤： 1 排序； 2 找中间位置（个数为奇数时，位置为（n+1）除以2；个数为偶数时，位置为n除以2和（n除以2）+1） 3 确定中位数。 特点：不受极端值影响，稳定性强。例如：数据1,2,3,4,100，排序后为1,2,3,4,100，中位数为3，能更合理反映数据的中心趋势。 【众数——“最受欢迎的代表”】 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特点： 1 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且最多）； 2 不受极端值影响，适合描述数据的“多数水平”。 适用场景：确定最畅销的商品型号、最受欢迎的兴趣爱好等。 【三种量的对比与选择】 统计量 优点 缺点 适用场景 平均数 兼顾所有数据，反映整体平均水平 受极端值影响大 数据无极端值，需综合所有数据评价 中位数 不受极端值影响，稳定性强 忽略了中间数据的具体差异 数据含极端值，需反映中间水平 众数 反映数据的多数趋势，易理解 可能不唯一，无法反映整体水平 需确定最普遍、最频繁出现的数据 【知识点02.数据的离散程度--描述“数据的波动”】 离散程度反映数据之间的差异大小，波动越大，离散程度越强；波动越小，离散程度越弱，常用极差和方差表示。 【极差——“波动的范围”】 定义：一组数据中的最大值与最小值的差。 计算公式：极差 = 最大值 - 最小值。 特点：计算简单，只能反映数据的最大波动范围，无法体现中间数据的波动情况。 【方差——“波动的细节”】 定义：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作方差。方差越小，数据波动越小，越稳定；方差越大，数据波动越大，越不稳定。 计算公式;方差 = 先算出每个数据与平均数的差，再把所有差分别平方，求这些平方数的总和，最后用总和除以数据的个数。 计算步骤： 1 求平均数； 2 计算每个数据与平均数的差； 3 求每个差的平方； 4 求所有平方结果的平均数。 注意：方差的单位是原数据单位的平方，与原数据单位不一致，因此常通过标准差辅助描述，标准差单位与原数据一致。 【知识点03.数据的表示与分析--描述“图表结合解读”】 常结合条形统计图、折线统计图、扇形统计图呈现数据，需具备“读图→提取数据→计算统计量→分析结论”的能力。 条形统计图：直观展示各组数据的具体数量，便于比较大小，适合计算平均数、众数。 折线统计图：清晰反映数据的变化趋势，同时可观察数据的波动情况（离散程度）。 扇形统计图：体现各组数据占总体的百分比（权重），适合计算加权平均数。 【知识点04.易错点警示】 1. 计算中位数时，未先对数据排序，直接找中间数，导致结果错误； 2. 混淆加权平均数的权重与数据本身，尤其是权重为百分比时，未转化为小数或分数计算； 3. 计算方差时，步骤遗漏（如忘记平方、忘记除以数据个数），或因平均数计算错误导致方差出错； 4. 选择统计量时，忽略数据特点（含极端值仍用平均数），导致分析结论不合理； 5. 解读扇形统计图时，误将百分比当作具体数量，需结合总体数量换算。 【题型1.众数的计算方法】 【典例】某中学举办学科知识比赛，八年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些比赛成绩的众数是（   ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义进行解答． 根据一组数据中，出现次数最多的数据叫众数进行解答． 【详解】解：∵10分出现了12次，出现的次数最多， ∴众数为10， 故选：B． 【跟踪专练1】为引导学生注重日常锻炼，提升体质健康水平，促进全面发展，学校会定期对学生的体育项目进行测试，为过程性评价提供依据．某校根据某次七年级男生引体向上的测试成绩绘制了如图所示的折线统计图，则测试成绩的众数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是折线统计图的运用，众数的定义．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据众数的定义解答即可． 【详解】解：测试成绩中个出现的次数最多，故众数是个． 故答案为：． 【跟踪专练2】老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（    ） A． B．平均数为4 C．添加一个数4后方差不变 D．这组数据的众数是2 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数，根据方差公式还原数据，得到数据为7、5、4、2、2，共5个数，平均数为4。逐一验证选项的正确性，重点计算添加一个数4后的方差变化． 【详解】解：方差公式中的项对应数据点： 对应7，对应5，对应4，对应两个2， 因此数据为7、5、4、2、2，共5个数，，平均数为， 选项A、B正确； 数据中2出现次数最多（2次），故众数为2， 选项D正确； 原方差：， 添加一个4后，数据变为6个数，总和仍为， 新方差：， 方差由3.6变为3，故方差改变， 选项C错误． 故选：C． 【题型2.如何运用众数做决策分析】 【典例】请你举出一个生活中与众数有关的例子：______ ． 【答案】调查某班学生的鞋码（答案不唯一） 【分析】本题考查众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题关键． 【详解】解：由众数是统计学中的概念，指在数据集中出现频率最高的数值，在生活中，例如在调查班级学生的鞋码时，通过收集所有学生的鞋码数据，出现次数最多的鞋码即为众数，这可以帮助鞋店确定最需要进货的鞋码尺寸 故答案为：调查某班学生的鞋码（答案不唯一）． 【跟踪专练1】某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 【详解】星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 【跟踪专练2】某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 【题型3.一组数据的平均数求解】 【典例】六（1）班为备战学校运动会，举行了班级的选拔赛，小宏、小明、小力参加了跳远选拔赛，每人试跳三次，落点分别如图，（　　）的跳远平均成绩大约是1.6米． A．小宏 B．小明 C．小力 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数的意义；小明第一次小于1.6米，第二次接近1.6米，第三次超过1.6米，超过的距离与第一次小于1.6米的距离差不多，所以平均成绩大约是1.6米；小宏的第一次距离1.6米较远，第二次接近1.6米，第三次超过1.6米，但超过距离小于第一次与1.6米相差的距离，所以平均成绩小于1.6米；小力第三次跳得最远，接近1.6米，前两次都小于1.6米，所以平均成绩小于1.6米． 【详解】解：根据分析可知，小明的跳远平均成绩大约是1.6米． 故选：B． 【跟踪专练1】参加某次数学竞赛的女生和男生人数比是，这次竞赛的平均分是82分，其中男生平均分是80分，女生平均 分． 【答案】88 【分析】本题考查了加权平均数，进行假设，进而根据平均成绩、人数和总成绩的关系进行解答即可．把女生人数看作1组，则男生人数为3组，根据“平均成绩人数全班成绩”先计算出全班成绩和男生总成绩，进而用“全班总成绩男生总成绩”求出女生总成绩；继而根据“女生总成绩女生人数女生平均成绩”解答得出结论． 【详解】解： （分）， 答：女生平均88分． 故答案为：88． 【跟踪专练2】若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 【题型4.已知平均数求未知数的值】 【典例】某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值．根据平均数×数量=总数可列关于x、y的等式，化简得出结果，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差 米． 【答案】 【分析】通过去掉不同成绩后的平均成绩，求出相应的总成绩，进而得出最好成绩和最差成绩，最后计算两者差值．本题主要考查了平均数的应用，熟练掌握平均数与总成绩的换算关系（总成绩 = 平均成绩×次数）是解题的关键． 【详解】解：设5次成绩分别为（最差）、、、、（最好）． 去掉最好和最差，总成绩为 ，即 ． 去掉最好，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 去掉最差，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 最好成绩与最差成绩相差： 故答案为： ． 【题型5.加权平均数的计算技巧】 【典例】小明参加以“诵读经典伴我行浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（   ） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.3分 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以相应的权重比，求和后除以权重总和． 【详解】最终成绩按的比例计算， 权重之和为， 加权和为， 最终成绩为分． 故选． 【跟踪专练1】某地某月中午12时的气温（单位：℃）如下： 气温 合计 天数 10 7 3 8 2 30 根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是 ℃． 【答案】20 【分析】本题考查了加权平均数，气温x取各组组中值，利用加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：该地本月中午12时的平均气温是， 故答案为：20 ． 【跟踪专练2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 应聘者项目 甲 乙 丙 丁 学历 70 75 80 80 能力 90 80 80 85 经验 70 80 70 65 如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的最终得分，进行判断即可． 【详解】解：甲的最终得分为：； 乙的最终得分为：； 丙的最终得分为：； 丁的最终得分为：； 故甲的最终得分最高，将被录用； 故选A． 【题型6.方差的具体求解步骤】 【典例】一组数据的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的方差为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了方差得求解，设原数据的平均数为，由方差公式得，表示新数据的各个数，计算新的平均数，代入方差公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据、、的方差是， ∴设原数据的平均数为， 由方差公式得， 由题意得，该组数据每一个数据都加上2后得到的新数据是：，，． ∴新数据组的平均数为 ∴新数据组的方方差为： ． 故答案为：5． 【跟踪专练1】某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大 【答案】A 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 由于小亮的补测成绩与原有平均分相同，因此平均分不变；根据方差公式，加入一个与平均分相同的分数后，方差会变小． 【详解】解：∵原44人的平均分为90分，小亮成绩为90分， ∴加入小亮后，45人的平均分仍为90分，平均分不变． ∵原方差，即， ∴． 加入小亮后，新方差为： ， ∵， ∴，方差变小． 故选：A． 【跟踪专练2】若样本数据的平均数是5，方差是2，则样本数据，的平均数、方差分别是 ． 【答案】10、 【分析】本题考查平均数和方差的性质：利用数据线性变换下平均数和方差的性质求解． 【详解】解：设样本数据，则的平均值为5，方差为2． 由， 因此的平均值为，方差为． 故答案为：10、8． 【题型7.根据方差判断数据的稳定性】 【典例】某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是，则成绩最稳定的选手是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差的性质 由于四人的平均成绩相同，因此只需比较方差的大小，方差越小，表示成绩越稳定． 【详解】解：∵， ∵， ∴乙的方差最小，成绩最稳定． 故选：B． 【跟踪专练1】甲、乙两人次数学成绩如图所示，其中成绩较稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】本题主要考查方差，关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由统计图可知， ， ， ， ， ∵ ∴乙次数学成绩的波动比甲小，成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 【跟踪专练2】下列各组数据的波动程度最小的是（   ） A．3，3，4，3，6，5 B．1，2，3，3，4 C．2，5，7，5 D．3，4，5，3，1 【答案】B 【分析】本题考查求方差，根据方差越小数据的波动程度程度越小判断即可． 【详解】解：A、平均数为，方差为； B、平均数为，方差为； C、平均数为，方差为； D、平均数为，方差为； ∴各个选项中，方差最小的是B选项，即数据的波动程度程度最小的是B选项， 故选：B． 【题型8.借助方差开展决策应用】 【典例】甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为，，那么成绩比较整齐的班级是 班． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差，根据方差的意义，方差越小，表示数据波动越小，成绩越整齐，据此求解即可． 【详解】解：甲班方差为，乙班方差为．由于， 因此乙班方差更小，成绩更整齐． 故答案为：乙． 【跟踪专练1】学校准备从甲、乙、丙三个小组中选出一组代表学校参加宜昌市第二届数理节，各组的平时成绩的平均数（单位：分），及方差如表所示： 甲 乙 丙 b 98 98 a c a 若按“选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛”要求定出的小组只能是乙组，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了数据的分析，熟悉理解方差的概念是解题的关键． 根据题意，乙组被选中需满足平均分较高且方差更小，结合表格数据求解即可． 【详解】解：∵乙组和丙组平均分均为98分，甲组平均分为b，若乙组被选中，则甲组平均分不能超过乙组， ∴； ∵乙组方差为c，丙组方差为a，乙组被选中，其方差需小于其它组， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差，乙运动员训练成绩的方差，你认为应该选择 参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【分析】此题考查了平均数和方差，根据平均数相同时方差越小的成绩越稳定即可解答，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵他们射击训练成绩的平均数相同，，， ∴， ∴应该选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 【题型9.中位数的求解方法】 【典例】祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这一成就在其著作《缀术》中记载，并领先世界约1000年．数学活动课上，云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的中位数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了中位数．将一组数据按大小顺序排列，当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，因为一共100个数字，故中位数为第50和第51个数字的平均值，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵云云对圆周率的小数点后100位数字进行了统计， ∴一共100个数字，中位数为第50和第51个数字的平均值， 观察表格，得出数字的出现的次数是， ∴第50个数字起为数字5，数字5的数量有8个 ∴第50和第51个数字均为5， ∴ 中位数， 故选：D． 【跟踪专练1】一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平均数和中位数的定义及求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数：是指将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据平均数先求得，进而根据中位数的定义，即可求解． 【详解】一组数据，，，，的平均数是， ， 解得＝， 将这组数据从小到大排列为：，，，，， 这组数据的中位数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】在一次招聘活动中，共有人进入复试，他们的复试成绩（单位：分）如下：，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．众数是 C．中位数是 D．方差是 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，计算数据的平均数、众数、中位数和方差，逐一验证选项即可，正确计算统计量是解题的关键． 【详解】解：、∵数据总和， ∴平均数，原选项错误，不符合题意； 、∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，原选项正确，符合题意； 、∵数据排序后为， ∴中位数，原选项错误，不符合题意； 、∵平均数为， ∴方差 ，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【题型10.运用中位数进行决策分析】 【典例】在学校举行的诗词大会中，某位选手想知道自己在所有选手中处于什么水平，应该选取所有选手成绩的 进行比较（填“平均数”“中位数”或“众数”）． 【答案】中位数 【分析】此题是中位数在生活中的运用，考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）． 根据中位数的意义求解即可． 【详解】解：∵某位选手想知道自己在所有选手中处于什么水平， ∴应该选取所有选手成绩的中位数进行比较． 故答案为：中位数． 【跟踪专练1】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施来提高工人的工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计某月产量如下： 生产零件数 260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 若你做为管理者，将每人每月合适的生产定额定为（    ） A．280件 B．290件 C．305件 D．310件 【答案】B 【分析】本题考查了求中位数和利用中位数作决策，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 根据当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势，据此找出这组数据的中位数即可． 【详解】解：每人每月合适的生产定额应为这组数据的中位数， 一共20个数据，表格里从左到右即从小到大排列，中位数为第10和第11个数据的平均数， 由表格可知，第10个数据为290件，第11个数据为290件， ∴中位数为290件． 故选：B ． 【跟踪专练2】某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】A 【分析】本题考查中位数．根据前5个盲盒的中位数是100，再加两个后中位数大于100，可知后选的两个盲盒质量都大于100，据此即可得到答案． 【详解】解：前5个盲盒的中位数是100，由图可知有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100． A、若选择甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，因此选项A符合题意； B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项B不符合题意； C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，因此选项C不符合题意； D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【题型11.选择合适的统计量解决决策问题】 【典例】学校计划面向全校学生对校服款式的喜欢情况进行调研，应该选用的统计量是（   ） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】C 【分析】本题主要考查了用众数做决策，调研校服款式的喜欢情况，需要找出最受欢迎的款式，即出现频率最高的款式，因此选用众数． 【详解】解：∵校服款式为类别数据，调研目的为找出最喜欢款式的集中趋势；而众数表示一组数据中出现次数最多的值，适用于类别数据； ∴应选用众数作为统计量， 故选；C． 【跟踪专练1】下列几种说法：①标准差不可能是0；②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20；③某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差 甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11 乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86 历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛． 以上说法中，正确的个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查方差、标准差．熟知方差、标准差的性质，利用数据做决策，是解决本题的关键． 按方差、标准差的概念、计算方法，利用做决策，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①当各个数据相等时，标准差是0，此说法错误； ②如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是，此说法正确； ③从两名跳远运动员10次的成绩来看，乙运动员成绩达到的次数多于甲运动员，更有可能打破记录，应该选乙参加这项比赛．此说法不正确． 因此正确的说法有1个． 故答案为：1． 【跟踪专练2】服装店老板在清点库存时发现，某种男士衬衫L码卖得最多，他考虑以后要多进L码的男士衬衫，他参考的是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了平均数、众数、中位数、方程的意义，准确对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个服装店的老板来说，他最关注的是数据的众数，据此来判断即可． 【详解】解：对这个服装店的老板来说最关注的是哪一型号的卖得最多，众数能帮助服装店老板了解进货时应该进哪种尺码的最多，因为这种尺码的鞋子需求量最大，销售量最多． 故他参考的是统计量中的众数． 故选：B． 1．某同学对数据36，36，38，48，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．中位数是数据排序后中间位置的数值，由于被涂污数字只影响较大数值的顺序，但不改变中间两个数的值，因此中位数与被涂污数字无关；而平均数、方差和众数都直接或间接依赖于被涂污数字，因此有关． 【详解】解：∵数据共6个，排序后第三和第四个数分别为38和48， ∴中位数为，与被涂污数字无关， 而平均数、方差和众数均依赖于被涂污数字，因此有关． 故选：A． 2．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（    ） A．丙、丁 B．乙、戊 C．甲、丁 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁；乙、戊； 故选：A． 3．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 【详解】解：由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为，则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为，则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 故， 故选：A． 4．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 5．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是 ． 【答案】0或5 【分析】本题主要考查了方差的性质，解决此题的关键是熟练方差的计算；根据方差公式进行计算得到答案． 【详解】解∶由平均数公式得： “1、2、3、4、x”的平均数为：， “11、12、13、14、15”的平均数为：， 由方差公式可得： “11、12、13、14、15”的方差为， ∴， 解得． 故答案为：0或5． 6．已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误； C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确． 故选：D． 7．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中， 班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据箱线图，第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，解答即可． 本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班． 故答案为：丙． 8．五个整数按从小到大的顺序排列后，中位数是4．如果这组数据的众数是6，那么这五个整数的和的最大值是 ． 【答案】21 【分析】根据题目条件，五个整数按从小到大排列后的中位数为，即第三个数为。众数为，说明出现的次数最多.需要构造满足条件的数列，并求和的最大值． 【详解】解：设五个整数从小到大依次为、、、、 由中位数是，得第个数为； 由众数是，得出现的次数最多，因此（使后两位尽可能大，且出现次数至少为两次）； 要使和最大，前两位、需满足（整数），且保证是唯一众数（即出现的次数多于其他数）； 若，则最大为（若，则出现两次，与出现的次数相同，众数不唯一，不符合要求）此时五个数为但与均出现两次，众数不唯一，不符合“众数是”的条件. 因此，为使和最大，应取最大整数。为保证是唯一众数，不能与相等，故，应取最大整数。此时这五个数为． 计算和：. 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，解题关键是根据中位数确定中间数，根据众数确定出现次数最多的数，同时结合“和最大”的要求，分析出各数的最大可能取值． 9．初二年级S班有学生48人，他们的学号分别为1，2，…，48．在一次数学兴趣小组活动课上，老师将他们随机分成两组（每组至少1人）．聪明的小厉（小厉的学号是9号）发现，如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加．请问： （1）小厉所在的第一组一共有 人； （2）第二组所有学生的学号分别是 ． 【答案】 40 1，2，3，4，5，6，7，8 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，平均数的应用和二元一次方程组的解法，根据题意列出关于人数和学号总和的方程组是解题的关键． （1）设第一组有m人，第二组有n人，根据调换后两组平均学号均增加的条件列出方程，结合总人数和学号总和求解，即可作答． （2）由（1）得，，即第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，总学号和为， 设第一组有m人，学号总和为，第二组有n人，学号总和为， 则， ∴第一组的平均学号为，第二组的平均学号为， ∵小厉的学号是9号， ∴小厉从第一组调到第二组后，第一组新平均学号为，第二组新平均学号为， ∵如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加， ∴，， 整理得，，， ∴ 即， ∵， ∴ ∴， 解得， 则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：40； （2）由（1）得，， ∴第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，故学号为1，2，3，4，5，6，7，8． 故答案为：1，2，3，4，5，6，7，8． 10．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 【答案】253或254 【分析】本题主要考查方差的计算，设，根据数据的方差为可化简为，推出要取到最小值，需最小且最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时的值，求得答案． 【详解】解：设，则数据的方差为 ， 显然且， 故要取到最小值，需最小，最小值为， 设（t为正整数，且），则， 则， 当或时，取到最小值， 即，或时，取到最小值， 故当数据的方差最小时，即或，的值为253或254， 故答案为：253或254． 11．（平均数）从1到n共n个连续自然数中，擦去其中的某一个数后，余下的数字的平均值为，求擦去的数，并说明理由． 【答案】18，理由见详解 【分析】本题考查了平均数的综合运用．n个连续自然数中擦去其中的某一个数后，余下的个数字的平均值为，所以是47的倍数，确定n的取值范围，计算求解． 【详解】解：这n个连续自然数，和为，平均值为，是正整数， 擦去一个数后平均值为， ∴应该是47的倍数， 去掉一个数后，剩下数的平均值与原来个数的平均值应该很接近 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 当时，和为，平均值为，最接近，符合题意， 当时，和为，平均值为，差距太大，不合题意， 所以可确定原有（个）数． ． 擦去后的和为． 因此擦去了． 12．三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如下： (1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差． (2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排列能使方差最小？ (3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？ 【答案】(1)第一组：；；第二组：，；第三组：， (2)因为，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三组排列，使方差最小 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键． （1）根据平均数和方差公式求解即可； （2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论； （3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，再根据箱线图的特点分析可得答案． 【详解】（1）解：第一组平均数（分）， 方差； 第二组：（分）， 方差； 第三组：（分）， 方差； （2）解：因为，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大； 因为所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小； （3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第二组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 第三组：最小值为0，下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最大值为4； 三个小组得分的箱线图如图所示： 由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大； 第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小； 第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分略微高于中位数，方差小，得分较稳定． 13．为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)人 (3)八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解析． 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据七年级人的得分可求出；根据扇形统计图和组得分可得出和； （）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可； （）根据平均数，众数和中位数的意义． 【详解】（1）解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普检测中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 14．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【答案】(1)平均数为，众数为 (2)舞台呈现效果更好的是甲组 (3)， 【分析】本题考查了平均数、众数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． （1）根据平均数和众数的意义求解； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【详解】（1）解：平均数为： ， 出现次数最多的数是，出现了3次， 众数为； （2）甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ， 舞台呈现效果更好的是甲组； （3）三名学生参赛，他们的身高分别为，，， 平均数为， 要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小， 根据数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：，， 且选择，时，平均数会增大， 但选择，或，时，导致组成的五名学生的极差增大，从而会使方差变大，当然平均数是增大的，故不符合题意． 故答案为：，． 15．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $