专题03二次根式期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学二次根式期末复习讲义通过表格化呈现核心概念与运算规则，结合关键点标注梳理二次根式的定义、性质、运算步骤及易错点，构建“概念-运算-应用”的递进知识脉络，突出被开方数非负性、最简二次根式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型训练与解题技巧指导，涵盖11种常考题型如“二次根式有意义的条件分析”“混合运算技巧”，通过典例解析与跟踪专练培养运算能力和推理意识。易错点避雷指南直指化简不彻底等高频丢分点，压轴题助力拔高，适配不同层次学生自主复习，便于教师实施精准分层教学。

期末复习03二次根式期末冲刺必备讲义 概念辨析 + 易错点避雷 + 分层题型训练 + 解题技巧总结，高效备战期末 期末必备 知识点梳理 1.二次根式核心概念梳理 2.重点运算规则 3.易错点避雷指南 4.分层题型训练 5.解题技巧总结 常考题型 精讲精炼 1.求二次根式中参数的值 2.二次根式有意义的条件分析 3.用二次根式的性质化简式子 4.二次根式的乘法运算规则 5.二次根式的除法运算方法 6.最简二次根式的判定方法 7.二次根式的加减运算步骤 8.二次根式的混合运算技巧 9.二次根式的分母有理化方法 10.实数的混合运算综合应用 11.新定义背景下的实数运算 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.核心概念梳理】 1.二次根式的定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 关键点 1：根指数是 2（可省略）；被开方数a非负（正数或 0）。 关键点 2：本身的值也是非负的，即≥0。 举例：、是二次根式；、不是二次根式。 2. 二次根式的性质（核心公式，必须熟记） 性质表述 符号表达式 适用条件 关键说明 算术平方根的平方 ()2=a a≥0 非负数先开方再平方，结果为其本身 一个数平方的算术平方根 =∣a∣= a为任意实数 先平方再开方，结果为该数的绝对值，易错点 .积的算术平方根 =⋅ a≥0,b≥0 两个非负数乘积的算术平方根，等于各自算术平方根的乘积 商的算术平方根 =​ a≥0,b>0 非负数除以正数的算术平方根，等于各自算术平方根的商（分母不能为 0） 3.最简二次根式（化简最终目标） 满足两个条件： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2.被开方数中不含分母。 4. 同类二次根式 化简后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 举例：=2与=3是同类二次根式；与不是。 【知识点02.重点运算规则】 1. 二次根式的加减运算 步骤：一化（化为最简二次根式）→ 二找（找出同类二次根式）→ 三合并（合并同类二次根式，系数相加减，根式部分不变）。 举例：+−=2+3−=4。 2. 二次根式的乘除运算 乘法：⋅=(a≥0,b≥0) 除法：=(a≥0,b>0) 注意：结果要化为最简二次根式。 3. 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律均适用。 【知识点03.易错点避雷指南(高频丢分点)】 1.忽略被开方数非负条件 错误：=−3→正确：=∣−3∣=3 2.化简不彻底 错误：=4→正确：=2 3.同类二次根式判断错误 错误：认为和不是同类二次根式 → 正确：=2，是同类二次根式 4.除法运算漏条件 错误：=→ 正确：==（先化正) 【知识点04.解题技巧总结】 1.“非负性” 妙用：≥0，常与绝对值、平方数结合求字母值。 2.化简技巧：被开方数拆成 “平方数 × 非平方数”，如==5。 3.分母有理化：含根式的分母，乘以它的有理化因式，如= 【题型1.求二次根式中参数的值】 【典例】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 【跟踪专练1】已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【跟踪专练2】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【题型2.二次根式有意义的条件分析】 【典例】已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入计算式子的值． 【详解】解：∵ 二次根式、有意义， ∴ 且， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 【跟踪专练2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 【题型3.用二次根式的性质化简式子】 【典例】 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简二次根式． 根据二次根式的性质，，然后计算绝对值即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 【题型4.二次根式的乘法运算规则】 【典例】若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 【跟踪专练1】估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法法则进行计算．先根据乘法分配律计算的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从而确定其所在的取值范围． 【详解】∵ 且 ，， 介于和之间， ∴ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∴ 值在和之间， 故选 C． 【跟踪专练2】若实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键； 根据非负数的性质求出x，y的值，再计算的值，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【题型5.二次根式的除法运算方法】 【典例】下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算． 根据运算法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：∵，∴A错误； 选项B：∵和不是同类二次根式，不能直接相加，∴B错误； 选项C：∵，∴C正确； 选项D：∵，∴D错误； 故选：C． 【跟踪专练1】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．利用作商法，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【题型6.最简二次根式的判定方法】 【典例】下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 【跟踪专练1】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【题型7.二次根式的加减运算步骤】 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 【跟踪专练1】已知，请你化简下列代数式 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简和加法，正确化简二次根式是关键． 由已知条件 可知 ，从而在化简时需考虑，即 ，由于 ，有 ，代入代数式 并合并同类二次根式即可． 【详解】解：由 ， ∵ ， ∴ ， 故，且 。 ∴， 代入 ， 得。 故答案为：． 【跟踪专练2】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加法，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，不符合题意； B、，故原选项计算正确，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，符合题意； D、，故原选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 【题型8.二次根式的混合运算技巧】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算平方根和绝对值，再求和． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 【跟踪专练2】若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及利用三角形面积公式求斜边上的高，首先根据勾股定理确定直角三角形的斜边为，直角边为和，然后利用面积公式（直角边乘积等于斜边乘以高）求解斜边上的高． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴斜边为，直角边为和， 设斜边上的高为h，由面积公式可得：，解得， 故答案为：． 【题型9.二次根式的分母有理化方法】 【典例】估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，无理数的估算，熟练掌握相关方法是解题的关键． 利用二次根式性质将原式变形，然后对和的进行估算，结合分子分母都是整数且分子小于分母，得到结果在到之间． 【详解】解：∵ ∵，， 即，， ∴ ∴ ∴ 的值在到之间， 故选：A． 【跟踪专练1】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 【题型10.实数的混合运算综合应用】 【典例】计算： 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后进行有理数加减运算． 【详解】解：原式 故答案为：0． 【跟踪专练1】以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A． B．4，3，5 C． D．8，15，17 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．因此，需要计算每组数中两小边的平方和与最大边的平方是否相等，从而判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】若为整数，且， ，是的小数部分，则的值为 ． 【答案】 4 0 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及绝对值的运算，熟练掌握无理数的估算方法（夹逼法）是解题的关键． 先估算的范围以确定整数，再根据小数部分的定义求出，最后代入式子计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：，． 【题型11.新定义背景下的实数运算】 【典例】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练1】若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“弗玖数”，对于一个“弗玖数”P，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数Q，记，则 ；对于一个“弗玖数”P，若能被5整除，则满足条件的“弗玖数”P的最大值是 ． 【答案】 53 441 【分析】本题考查了整式的加减运算． 对于，直接计算和交换后，代入公式求值；对于能被5整除，推导出，由整除条件，结合a的取值范围确定，再求P的最大值． 【详解】解：由题，，交换个位和十位数字得， 则； 设，其中均为1至9的整数，且， 则， ， 由，得， 则， 能被5整除，即能被5整除， 又为“弗玖数”的百位数字，其取值范围为， 所以， 时，，且均为1至9的整数， 要使“弗玖数”P的值最大，则， 所以满足条件的“弗玖数”P的最大值为441． 故答案为：53，441． 【跟踪专练2】对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答． 【详解】解：A、256第一次操作，第二次操作，第三次操作，第四次操作， ∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意； B、255第一次操作，第二次操作，第三次操作 ∴255需要进行3次操作才变为1； C、225第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴225需要进行3次操作才变为1； D、224第一次操作，第二次操作，第三次操作， ∴224需要进行3次操作才变为1； ∵， ∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255． 故选：B． 1．有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③的平方根是－3；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义，相反数定义，同类二次根式定义，绝对值的性质，解题的关键是理解各个知识点．运用平方根定义，相反数定义，平方根定义，同类二次根式定义，绝对值的性质 ，逐一对各个问题进行判断即可求解． 【详解】解：①，4的平方根是，的平方根是．①的说法错误； ②表示6的算术平方根的相反数．②的说法正确； ③，9的平方根是，的平方根是．③的说法错误； ④，，与不是同类二次根式，与不是同类二次根式．④的说法错误； ⑤的绝对值是，⑤的说法正确． 故选：． 2．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 3．设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 4．已知，，则代数式的值是 ； 【答案】181 【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等知识，综合性强，难度较大．先化简，，从而计算出，，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ； ∴， ， ∴ ． 5．已知，则 ． 【答案】 2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 6．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．由已知条件得到，则根据二次根式的性质化简得原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 7．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 8．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，用有序数对表示位置，求一个数的算术平方根解题关键是根据“蛇形”排列规则推导出第m排第n个数所对应的自然数序号． 9．已知表示不大于的最大整数，如，则 ． ． 【答案】 2 203 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，对于第一空估算出的取值范围即可得到答案；对于第二空，设m为正整数，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，分别求出这6种情形下满足题意的m的个数，再计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 设m为正整数， 当时，，满足题意的m有1，2，3，共3个， 当时，，满足题意的m有4，5，6，7，8，共5个， 当时，，满足题意的m有9，10，11，12，13，14，15，共7个， 当时，，满足题意的m有16，17，18，19，20，21，22，23，24，共9个， 当时，，满足题意的m有25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，共11个， 当时，，满足题意的m有36，37，38，39，40，41，42，43，44，45，46，47，48，共13个， ∴ ， 故答案为：2；． 10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握公式计算是解题的关键．本题根据计算即可． 【详解】解： ． 12．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先去绝对值和利用平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 14．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任一点P，把与点P相距个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)点A表示的数为，则______； (2)如果，那么点P表示的数是_____，a的值是_____； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【答案】(1) (2)1015，1011 (3)或 【分析】本题考查数轴上的距离与新定义“对称数组”的结合应用，紧扣“对称数组”的定义，将新定义转化为数轴上的距离与中点关系是解题关键． （1）根据题意可知表示数轴上与距离为3的点，据此进行解答； （2）点P是“对称数组”的中点，a是P到x或y的距离，据此进行解答； （3）分别设点P、Q表示的数为p、q，用p、q表示x、y、m、n，根据题意建立方程，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，与距离为3的点有，， 故． 故答案为：． （2）解：点P是“对称数组”的中点， ， a是P到x的距离， ． 故答案为：1015，1011． （3）解：设点P、Q表示的数分别为p、q，根据题意可得，，，， ， 可得， ①当时， 解得：； ②当时， 解得： , 综上，点P、Q之间的距离为或． 答：或． 15．对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03二次根式期末冲刺必备讲义 概念辨析 + 易错点避雷 + 分层题型训练 + 解题技巧总结，高效备战期末 期末必备 知识点梳理 1.二次根式核心概念梳理 2.重点运算规则 3.易错点避雷指南 4.分层题型训练 5.解题技巧总结 常考题型 精讲精炼 1.求二次根式中参数的值 2.二次根式有意义的条件分析 3.用二次根式的性质化简式子 4.二次根式的乘法运算规则 5.二次根式的除法运算方法 6.最简二次根式的判定方法 7.二次根式的加减运算步骤 8.二次根式的混合运算技巧 9.二次根式的分母有理化方法 10.实数的混合运算综合应用 11.新定义背景下的实数运算 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.核心概念梳理】 1.二次根式的定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 关键点 1：根指数是 2（可省略）；被开方数a非负（正数或 0）。 关键点 2：本身的值也是非负的，即≥0。 举例：、是二次根式；、不是二次根式。 2. 二次根式的性质（核心公式，必须熟记） 性质表述 符号表达式 适用条件 关键说明 算术平方根的平方 ()2=a a≥0 非负数先开方再平方，结果为其本身 一个数平方的算术平方根 =∣a∣= a为任意实数 先平方再开方，结果为该数的绝对值，易错点 .积的算术平方根 =⋅ a≥0,b≥0 两个非负数乘积的算术平方根，等于各自算术平方根的乘积 商的算术平方根 =​ a≥0,b>0 非负数除以正数的算术平方根，等于各自算术平方根的商（分母不能为 0） 3.最简二次根式（化简最终目标） 满足两个条件： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2.被开方数中不含分母。 4. 同类二次根式 化简后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 举例：=2与=3是同类二次根式；与不是。 【知识点02.重点运算规则】 1. 二次根式的加减运算 步骤：一化（化为最简二次根式）→ 二找（找出同类二次根式）→ 三合并（合并同类二次根式，系数相加减，根式部分不变）。 举例：+−=2+3−=4。 2. 二次根式的乘除运算 乘法：⋅=(a≥0,b≥0) 除法：=(a≥0,b>0) 3. 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里的。 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律均适用。 【知识点03.易错点避雷指南(高频丢分点)】 1.忽略被开方数非负条件 错误：=−3→正确：=∣−3∣=3 2.化简不彻底 错误：=4→正确：=2 3.同类二次根式判断错误 错误：认为和不是同类二次根式 → 正确：=2，是同类二次根式 4.除法运算漏条件 错误：=→ 正确：==（先化正) 【知识点04.解题技巧总结】 1.“非负性” 妙用：≥0，常与绝对值、平方数结合求字母值。 2.化简技巧：被开方数拆成 “平方数 × 非平方数”，如==5。 3.分母有理化：含根式的分母，乘以它的有理化因式，如= 【题型1.求二次根式中参数的值】 【典例】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【跟踪专练1】已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【跟踪专练2】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【题型2.二次根式有意义的条件分析】 【典例】已知x，y为实数，且，则 ． 【跟踪专练1】若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【跟踪专练2】若，则 ． 【题型3.用二次根式的性质化简式子】 【典例】 ． 【跟踪专练1】若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【题型4.二次根式的乘法运算规则】 【典例】若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【跟踪专练1】估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 【跟踪专练2】若实数，满足，则的值为 ． 【题型5.二次根式的除法运算方法】 【典例】下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小： ． 【跟踪专练2】化简（    ） A． B． C． D． 【题型6.最简二次根式的判定方法】 【典例】下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【跟踪专练1】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【题型7.二次根式的加减运算步骤】 【典例】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，请你化简下列代数式 ． 【跟踪专练2】下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.二次根式的混合运算技巧】 【典例】 ． 【跟踪专练1】估计的值应在（        ）之间 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【跟踪专练2】若的三条边分别为，，，则斜边上的高的长为 ． 【题型9.二次根式的分母有理化方法】 【典例】估计的值应在（   ） A．0到1 B．1到2 C．2到3 D．3到4 【跟踪专练1】的倒数是 ． 【跟踪专练2】对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【题型10.实数的混合运算综合应用】 【典例】计算： 【跟踪专练1】以下列四组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A． B．4，3，5 C． D．8，15，17 【跟踪专练2】若为整数，且， ，是的小数部分，则的值为 ． 【题型11.新定义背景下的实数运算】 【典例】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【跟踪专练1】若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“弗玖数”，对于一个“弗玖数”P，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数Q，记，则 ；对于一个“弗玖数”P，若能被5整除，则满足条件的“弗玖数”P的最大值是 ． 【跟踪专练2】对任何正实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：．这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1．那么只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是（   ） A．256 B．255 C．225 D．224 1．有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③的平方根是－3；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，，则代数式的值是 ； 5．已知，则 ． 6．已知，则 ． 7．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 8．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 9．已知表示不大于的最大整数，如，则 ． ． 10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 11．计算： 12．计算 (1) (2) 13．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 14．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任一点P，把与点P相距个单位长度的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)点A表示的数为，则______； (2)如果，那么点P表示的数是_____，a的值是_____； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 15．对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $