精品解析：浙江省绍兴市新昌县七星中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

浙江省绍兴市新昌县七星中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共10小题，每小题3分） 1. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定事件 D. 随机事件 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题不正确的是（ ） A. 过一点有无数个圆 B. 直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C. 过三点能作一个圆 D. 三角形外心是三角形三边的中垂线的交点 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示，连接并延长交于点，延长交于点．若，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若（），则______． 12. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 13. 已知三角形三边长为6，8，10，则它的内切圆半径是________. 14. 已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为_____． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 16. 在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④． （1）若点E是弧的中点，则______； （2）若，则______．（用关于n的代数式表示） 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知线段，线段是线段a，b的比例中项，求的值． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） （1）在图1中，画出的外心； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 19. 为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与；经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“做饭”“其他”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示． 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数（人） 10 12 10 m 根据上面图表信息，回答下列问题： （1） ； （2）在扇形统计图中，“其他”所占的圆心角度数为 ； （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 20. 如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿翻折，使对称点落在上，的对称点为，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，，求长． 21. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 22. 如图，为圆的直径，为圆上一点，为的中点，过作圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆的半径． 23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 24. 如图1，已知是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接相交于点E． （1）求证： （2）如图2，点F是弧上一点，若， ①求证：； ②若，，，求半径的长． ③如图3，连接，若，若是直角三角形，且，请求出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省绍兴市新昌县七星中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共10小题，每小题3分） 1. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 2. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是（　　） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件，进行求解即可． 【详解】解：∵网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号可以是奇数，也可以是偶数， ∴网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数这一事件是随机事件， 故选D． 【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知定义是解题的关键． 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 4. 如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：A． 6. 下列命题不正确的是（ ） A. 过一点有无数个圆 B. 直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 C. 过三点能作一个圆 D. 三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和三角形外接圆的性质，根据圆的基本性质判断各命题的正确性即可． 【详解】解：∵过一点可以作无数个圆，∴A正确； ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，直径是斜边，∴B正确； ∵过三点不一定能作圆，当三点共线时无法作圆，∴C不正确； ∵三角形的外心是三边中垂线的交点，∴D正确； 故选：C． 7. 点，，均在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，，， ， 故选：D． 8. 如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 9. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可． 详解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm． 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， ∴OB=3+2=5， ∴EC=5+3=8． 在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC， ∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C， ∴△OFC∽△BEC， ∴，即， 解得：OF=． 故选D． 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示，连接并延长交于点，延长交于点．若，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，令，，根据全等三角形的性质及正方形的性质可得，，，进而可得，，求得，，由可知，列出比例式，即可求解． 【详解】解：由，令，， ∵四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 则：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， 又∵， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11. 若（），则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质及比例的基本性质，由方程解出x与y的关系，需注意，再求比值． 【详解】解：由得， ∴． 故答案为：． 12. 已知抛物线经过，则该抛物线与x轴的另一个交点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入抛物线即可求出解析式，进而可求该抛物线与x轴的另一个交点． 详解】解：将点代入抛物线得： ，解得 ∴抛物线的解析式为： 令，则 解得： ∴该抛物线与x轴的另一个交点是 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，求出抛物线的解析式是解题关键． 13. 已知三角形三边长为6，8，10，则它的内切圆半径是________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，再根据题意画出图形，先根据正方形的判定定理判断出四边形ODCE是正方形，再根据切线长定理即可得到关于R的一元一次方程，求出R的值即可． 【详解】 如图所示：中， 即 是直角三角形， 设的内切圆半径为R，切点分别为D，E，F， ，，， 四边形是正方形，即 ，即 ，即 联立解得：R=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，以及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆与内心的相关概念． 14. 已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为黄金比，已知长，通过比例关系求宽即可． 【详解】解：设该长方形的宽为，由题意，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16. 在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④． （1）若点E是弧的中点，则______； （2）若，则______．（用关于n的代数式表示） 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用弧、弦、圆心角之间的关系得到，进而求出，然后根据圆周角定理即可得到答案； （2）连接，，，，作，交于点F，根据平行线分线段成比例得到，然后根据得到，然后利用正弦的定义解题即可． 【详解】解：（1）如图： 连接，，，，，，，可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图： 连接，，，，作，交于点F， 由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知线段，线段是线段a，b比例中项，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，比例中项，熟记特殊角的三角函数值，比例中项的定义，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） （1）在图1中，画出的外心； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的外接圆与外心、垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握利用网格作图基本方法． （1）由三角形外接圆的性质：圆心到三角形三个顶点的距离相等（为外接圆半径），因此，作三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心，找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示，即可得到答案； （2）找格点，连接交于点，如图所示，由三角形相似的判定与性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示： 是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 的外心即为所求； 【小问2详解】 解：找格点，连接交于点，如图所示： ， ， 则， ， 线段上点即为所求． 19. 为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与；经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“做饭”“其他”．班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示． 家务类型 洗衣 拖地 做饭 其他 人数（人） 10 12 10 m 根据上面图表信息，回答下列问题： （1） ； （2）在扇形统计图中，“其他”所占的圆心角度数为 ； （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与统计表，求扇形统计图中扇形的圆心角度数，用树状图或列表的方法求概率等知识； （1）由扇形统计图中做饭所占的百分比及人数可求得全班学生数，进而可求得m的值； （2）根据（1）中所求全班人数及m的值，即可求得百分比，进而求得圆心角的度数； （3）设两名男生分别用A、B表示，两名女生分别用C、D表示，画出树状图或列表，得到所有可能结果数及所选同学中有男生的结果数，由概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：由统计表知，做饭的同学有10人，由扇形统计图知，做饭的同学占了， 所以全班学生有：（人）； 所以； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：“其他”所占的圆心角度数为：； 故答案：； 【小问3详解】 解：设两名男生分别用A、B表示，两名女生分别用C、D表示， 列表如下： A B C D A B C D 由表知，所有可能的结果有12种，所选同学中有男生的结果有10种， 则所选同学中有男生的概率为：， 答：所选同学中有男生的概率． 20. 如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）根据矩形的性质得，得，由折叠得出，得，得，即得； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，，再结合，得，代入数值，得，所以． 【小问1详解】 ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵为中点，且，， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2）背垫旋转的度数为 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． 【小问2详解】 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 22. 如图，为圆的直径，为圆上一点，为的中点，过作圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是圆的切线； （2）若，求圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又是圆的半径， ∴是圆的切线； 【小问2详解】 解：∵、是圆的切线，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 即圆的半径为． 23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【答案】（1）b＝-6，c=-3 （2）x＝－3时，y有最大值为6 （3）m＝－2或 【解析】 【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解； （3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解． 【小问1详解】 解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． 【小问3详解】 解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 如图1，已知是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接相交于点E． （1）求证： （2）如图2，点F是弧上一点，若， ①求证：； ②若，，，求半径的长． ③如图3，连接，若，若是直角三角形，且，请求出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②；③1或2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角；两边成立比且夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例． （1）根据题意可证，得到即可求证； （2）①通过证明即可得到； ②易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，再由，得到，再利用勾股定理求得即可； ③连接，过作于，过作于，不妨设，，则，，根据得到，利用勾股定理求出，结合，求解即可． 小问1详解】 证明：连接， 是半圆O的直径， ， 又， ， ， 即； 【小问2详解】 ①证明：连接， ， 又， ， （同旁内角互补，两直线平行）， ②，， 四边形为平行四边形， ， ， （圆周角相等，弦长相等）， ， 即，解得， ， 所以半径的长为； ③连接，过作于，过作于， ， 不妨设，， 则，， 由（1）知，，即， ， ，且（同弧所对的圆周角相等）， ， 又，， （内错角相等，两直线平行）， 由①知， 所以四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 又， ，即， ， ， ， ，解得或， 又， ， 所以的值为1或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $