精品解析：福建福州第十九中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷

福建福州第十九中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 日期：2025.12.24 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 4. 在中，已知，，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 缩小到原来的 8. 设a，b，c满足，，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 9. 某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 10. 已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最小值，且最小值为 D. 有最大值，且最大值为 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 已知，，则_______． 13. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接．若，则_______． 15. 在的方格中有三个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添涂方法共有______种． 16. 已知，，，，则______． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上分别找一点D、E，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 23. 甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． （1）甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； （2）求出乙两次所购大米的平均单价？ （3）比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 24. 已知，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）在（1）的条件下，且为整数，求整数的值． 25. 如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． （1）求证：； （2）如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； （3）如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建福州第十九中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 日期：2025.12.24 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在给出的选项里只有一个正确选项） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2. 已知点关于y轴的对称点为，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接计算即可． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为， ∴， ∴． 故选：D． 3. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 4. 在中，已知，，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据，，得出为等边三角形，进而求解周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 7. 若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴该分式的值扩大到原来的3倍． 故选：B． 8. 设a，b，c满足，，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 9. 某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，分别求出三次方案提价后变为原来的多少，再进行比较即可． 【详解】解：方案一：两次提价后变为原来的， 方案二：两次提价后变为原来的， 方案三：两次提价后变为原来的， 所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误； ， ∵， ∴， ∴方案三提价最多，故③正确，④错误． 故选：A． 10. 已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最小值，且最小值为 D. 有最大值，且最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，不等式的性质，先根据及得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将转化为，据此可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 则， 解得， 又因为，且， 所以， 所以有最大值，且最大值为． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义：分母不等于0，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为已知条件的组合，进而代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，可得 ， 整理得 ． 已知 ，， 代入公式得 ． 故答案为 ：． 13. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键． 根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过除法运算和分母有理化求解． 【详解】解：设另一边长为，由长方形面积公式得， ； 故答案为． 14. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，连接．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再根据垂直平分线的性质可得，进而求得，，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在的方格中有三个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添涂方法共有______种． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】解：当分别填涂编号为1、6、7、8、13的正方形，可以与原来的三个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，因此这样的添涂方法共有5种．如图所示： 故答案为：5． 16. 已知，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质与化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，根据分式的性质得到，，，整理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 ， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 【答案】实际每天铺设25m长管道． 【解析】 【详解】试题分析：解：设原计划每天铺设x m管道，则实际每天铺设， 故，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，且符合题意， ，∴实际每天铺设25m长管道． 考点：分式方程应用 点评：本题难度中等，主要考查学生运用分式方程解决工程问题的实际应用能力．注意检验增根情况． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上分别找一点D、E，使得为等边三角形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形角平分线的定义等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． （1）按照角平分线的作法作出射线平分，交于点，以A点为圆心，为半径，画弧交与E； （2）由作图痕迹可知，平分，，，可得即为等边三角形，进而可得，进而可得，，然后求出的长度． 【小问1详解】 如图：按照角平分线的作法作出射线平分，交于点，以A点为圆心，为半径，画弧交与E，连接，即为等边三角形． 【小问2详解】 平分，， ， ， 即为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ． 23. 甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． （1）甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； （2）求出乙两次所购大米的平均单价？ （3）比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）乙所购买的大米的平均单价较低 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （3）二者相减比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴甲的平均单价为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴乙的平均单价为：； 【小问3详解】 解：乙所购买的大米的平均单价较低． 理由：， 因为是正数且， 所以，， 故， 即甲的平均单价大于乙的平均单价． 24. 已知，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）在（1）的条件下，且为整数，求整数的值． 【答案】（1）36； （2）5； （3）4或2或6或0． 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算及化简求值，掌握运算方法是解题的关键； （1）由，推出，即可求出的值； （2）先变形表示出，根据，得出的值； （3）先将，再根据为整数，推出的值； 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， 【小问3详解】 由（1）得， 为整数， 为整数 为整数， 或或3或 所求的的值为4或2或6或0． 25. 如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． （1）求证：； （2）如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； （3）如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 又，， 平分，平分， ，， ，， 又在中，，， ， ． （2） 证明：，， ，， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （3）， 证明如下： 如图，连接，在上截取，连接， AI ，， ，， ，， 又，等边三角形． ，， ，， ， 在和中， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的“三线合一”性质，结合“直角三角形角所对的直角边是斜边的一半”进行证明． （2）是等边三角形的中垂线，可得，再通过角的计算推导角的关系，结合全等三角形证明线段相等． （3）通过构造全等三角形，将、转化为的组成部分，进而推导线段的和差关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义．紧扣等边三角形的性质，通过证明全等三角形，将线段、角的关系进行转化是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $